Matematika 3 - 5.5 Modeliranje trigonometrijskim funkcijama

Na početku...

Sjetimo se grafičkog prikaza izmjenjivanja plime i oseke u Rijeci iz prošloga modula. Biste li mogli nacrtati graf funkcije koji prikazuje izmjenu plime i oseke unutar 12 sati? Na kraju jedinice, u kojoj ste crtali graf funkcije sinus, nabrojane su neke pojave koje možemo prikazati sinusoidom kao što je gibanje točke na kotaču, gibanje opruge, rad srčanog mišića...

Gibanje opruge u obliku valova — Gibanje u obliku valova na primjeru opruge

Pokušajmo neke od pojava/gibanja u prirodi prikazati sinusoidom.

Gibanje točke po kružnici

Zanimljivost

London Eye panoramski je vrtuljak u središtu Londona. Smješten je uz rijeku Temzu prekoputa Westminsterske palače. Otvoren je kao privremena atrakcija (uz dozvolu na 5 godina) 31. prosinca 1999., u povodu novog tisućljeća. Kada je otvoren, bio je najviši vrtuljak na svijetu. Ubrzo je dobio status trajne atrakcije koju je do sada posjetilo preko 30 milijuna posjetitelja.

London Eye ima 32 kapsule u koju može stati do 25 osoba. Promjer kotača je $120 m,$ a cijela konstrukcija visoka je $135 m .$

Pogledajte sljedeću animaciju kretanja kapsule na London Eye-u. Gibanje je prikazano u koordinatnom sustavu tako da os apscise predstavlja vrijeme, a os ordinate visinu koju kapsula dostigne prilikom rotacije kotača nakon vremena $t .$ Promatrajmo visinu na koju se kapsula diže od mjesta ulaska u kapsulu. Inače, kotač ne staje, već se, tijekom sporog kretanja, turisti na najnižoj točki ukrcavaju u kapsulu. Brzina kretanja kotača je $26 cm$ u sekundi.

Razmislite i odgovorite!

Zadatak 1.

Za sinusoidu oblika $y = A \sin (b x + c) + d$ povežite oznake s pripadajućim pojmovima.

$c$	vertikalni pomak
$d$	kružna frekvencija
$b$	amplituda
$A$	fazni pomak

null

Odredimo trigonometrijski model kojim se može prikazati gibanje kapsule prilikom rotacije London Eye-a.

I, na kraju, istražimo koliki je pomak po osi apscisa.

Kolekcija zadataka #3

Naša sinusoida na svom temeljnom periodu na početku i završetku postiže

. U sredini perioda postiže svoj

. Takve modele obično prikazujemo funkcijom

i to s

amplitudom.
Ako cijeli graf pomaknemo za četvrtinu perioda po osi apscisa, možemo ga prikazati funkcijom

maksimum

kosinus

sinus

negativnom

minimum

null

Četvrtina perioda našeg grafa iznosi

null

Želimo li ovaj graf prikazati funkcijom sinus i to s pozitivnom amplitudom, pomičemo ga za $6$

Ulijevo

Udesno

null

Sada možemo izračunati fazni pomak $c .$

Iz prikaza $y = A \sin (b x + c) = A \sin (b (x + \frac{c}{b}))$ izjednačimo dobiveni pomak s izrazom $- \frac{c}{b} = 6 \Rightarrow c = - 6 \cdot b = - 6 \cdot \frac{π}{12} = - \frac{π}{2}$

Zadatak 2.

Kako glasi funkcija kojom možemo prikazati vožnju u London Eye-u?

Nacrtajte pripadajući graf.
Ima li ta funkcija nultočke? Ispišite ih.
Ispišite sve ekstreme funkcije.

$f (x) = 60 \sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{2}) + 60$

Nultočke postoje. To su ujedno i minimumi funkcije. Graf na intervalu duljine temeljnog perioda sadrži dvije nultočke, odnosno dva minimuma i jedan maksimum.

$x_{m} \in \{24 \cdot k : k \in Z\}$ i minimum iznosi $0 .$

$x_{M} \in \{12 + 24 \cdot k : k \in Z\}$ i maksimum iznosi $120 .$

Sinusoida koja predstavlja vožnju London Eye-om. — Sinusoida - grafički prikaz vožnje London Eye-om

Zadatak 3.

Uz pomoć rješenja iz prethodnog zadatka odgovorite na sljedeća pitanja.

Koliko minuta traje vožnja London Eye-om?
Ako se nalazite u kapsuli i uživate u pogledu, što za vas znači da je maksimum funkcije $120 m ?$
Nakon koliko minuta ćete biti na visini od 80 metara?
Na kojoj ćete visini biti nakon 10 minuta vožnje? Kada ćete ponovno biti na toj visini?
Kako biste te rezultate grafički prikazali?

Vožnja traje oko 24 minute.
Promatrate London s visine od $120 m$ (plus podnožje, što ukupno iznosi $135 m$ ).
Na visini od 80 metara naći ćete se oko 7. minute $(7.3 \min)$ i ponovno pri silasku oko 17. minute $(16.7 \min) .$
U 10. minuti vožnje bit ćete na visini oko $112 m$ i ponovno pri spuštanju u 14. minuti vožnje.

Grafički prikaz rješenja 3. zadatka. — Grafički prikaz rješenja postavljenih pitanja

Istražimo

Znate li što je Ferissov kotač? London Eye jedan je od svjetski najpoznatijih Ferissovih kotača. Istražite povijest Ferissovog kotača, kako je i kada nastao sam pojam. Potražite najpoznatije svjetske Ferissove kotače te, uz pronalazak određenih karakteristika, pokušajte odrediti funkciju koja opisuje njihovo gibanje u ovisnosti o vremenu. Prikažite grafički. Kod grafičkog prikaza omjer koordinatnih osi ne mora uvijek biti $1 : 1 .$

Modeliranje trigonometrijskom funkcijom

Primjer 1.

Toni je odlučio napraviti pauzu i otići biciklom do prijatelja. Ubrzo mu je tijekom vožnje na kotaču ostao zalijepljen papirić. Zastao je i dobio ideju za projektni zadatak iz matematike. Treba pronaći primjer u prirodi koje se može opisati nekom trigonometrijskom funkcijom. Došao je do prijatelja i uz malo mjerenja i zaokruživanja, da bi se dobio "lijep" rezultat, osmislio je zadatak. Udaljenost papirića od pločnika može se modelirati funkcijom $f (t) = A \sin (b \cdot t) + d .$ U trenutku $t = 0$ papirić je na pola puta između pločnika i njene maksimalne visine (polumjer kotača). Maksimalnu udaljenost od pločnika koja iznosi $70 cm$ dostiže nakon $\frac{π}{20}$ sekundi. Treba odrediti funkciju $f (t) .$

Uz pomoć sljedećih potpitanja modelirajmo trigonometrijsku funkciju i potražimo rješenje ovog primjera.

Kolekcija zadataka #6

Kolika je amplituda?

A = 35

A = 70

A = 17.5

A = \frac{π}{20}

null

U vremenu od $\frac{π}{20}$ sekundi kotač se okrenuo za

kruga, što znači da će puni krug napraviti za

sekundi. Kako je formula za temeljni period funkcije sinus

, zaključujemo da je

b =

\frac{2 π}{b}

10

\frac{1}{4}

\frac{π}{5}

null

Još treba izračunati vertikalni pomak. Tu će nam pomoći podatak početnog položaja za $t = 0 .$ Koliko je $d ?$

0

35

70

\frac{π}{20}

null

Imamo sve elemente kojima možemo prikazati udaljenost papirića od pločnika u ovisnosti o vremenu.

$f (t) = 35 \sin (10 t) + 35$

Zadatak 5.

Nakon koliko vremena će papirić iz prethodnog primjera biti u dodiru s pločnikom s obzirom na zadani početak mjerenja?

Budući da se radi o $3 / 4$ kruga, odgovor je nakon $\frac{3 π}{20} .$

...i na kraju

Pokušajte modelirati izmjenu plime i oseke unutar 12 sati. Aktualne podatke potražite na stranicama Instituta za oceanografiju i ribarstvo.

Prisjetimo se podataka za Rijeku, dok nove podatke o plimi i oseki možete pronaći na stranicama Sportsko ribolovne udruge Marlera.

6. 11. 2019. u ponoć je razina mora bila $28 cm,$ u 4:36 $50 cm$ i u 11:12 $24 cm .$ Kojom biste trigonometrijskom funkcijom modelirali ovu pojavu? Odaberite neke druge intervale od 12 sati za modeliranje jedne izmjene plime i oseke u danu.

Grafički prikaz plime i oseke u RIjeci 6.11-8.11.2019. — Periodično izmjenjivanje plime i oseke

Uzmimo da je u intervalu od 12 sati (period) oseka bila 2 puta i to $0.24 m$ te plima jednom $0.5 m .$ Iz tih podataka lako dobijemo $A = 0.13 .$ Kako su nam zadana tri ekstrema, ovu pojavu ćemo lakše prikazati pomoću funkcije kosinus s temeljnim periodom 12. Sada još trebamo izračunati $b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6} .$ $f (t) = - 0.13 \cos (\frac{π}{6} t),$ ako pomaknemo sinusoidu za $0.37 m$ po osi ordinata (aritmetička sredina ekstrema) konačno je rješenje $f (t) = - 0.13 \cos (\frac{π}{6} t) + 0.37 .$

Napomena: ako crtate ovu krivulju u geogebri možete koordinate osi postaviti u omjer $x Os : y Os = 10 : 1 .$

$f (x) = 3 \sin (3 x)$	$2$
$g (x) = 3 \cos (π x)$	$\frac{2 π}{3}$
$h (x) = 3 \cos (\frac{π}{2} x)$	$4$

$h (x) = 3 \cos (\frac{π}{2} x)$	$1$
$g (x) = 3 \cos (π x)$	$\frac{1}{2}$
$f (x) = 3 \sin (3 x)$	$\frac{π}{3}$

Amplituda
Period
Kružna frekvencija
Vetikalni pomak

5.5 Modeliranje trigonometrijskim funkcijama

Na početku...