Matematika 4 - 5.1 Tangenta na graf funkcije

Jednadžba tangente u točki grafa funkcije

Prisjetite se problema tangente o kojemu ste čitali u jedinici $4.1 .$ Određivali ste koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f$ u točki $(x, f (x))$ grafa funkcije. Prisjetite se i definicije derivacije u točki. Riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Koeficijent smjera sekante grafa funkcije $f$ računamo kao:

\frac{Δ f}{Δ x}

\frac{f (x)}{x}

\frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta

omjer prirasta argumenta i prirasta funkcije

null

Koeficijent smjera

koeficijenata smjera

kada

sekanata

tangente

limes

Δ x \to 0

null

Koeficijent smjera tangente u nekoj točki $(x, f (x))$ grafa funkcije računa se kao $k = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} .$

null

Derivacija funkcije $f$ u točki $x \in D (f)$ je broj $f^{'} (x) = \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} .$

null

Zaključujemo da je koeficijent smjera

k

tangente na graf funkcije

f

u točki grafa

(x, f (x))

jednak

funkcije

f

u točki

x,

k =

^{'} (

) .

null

Zadatak 1.

Odredite koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f (x) = \frac{5}{x^{2}}$ u točki $(\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2})) = (\frac{1}{2}, 20) .$

Odredimo najprije derivaciju funkcije

f :

f^{'} (x) = {(5 x^{- 2})}^{'} = 5 \cdot (- 2 x^{- 3}) = - \frac{10}{x^{3}} .

Koeficijent smjera tangente je

k = f^{'} (\frac{1}{2}) = - 80

Primjer 1.

Odredimo jednadžbu tangente na graf funkcije $f (x) = x^{2} - x$ u točki grafa $(3, f (3)) .$ Pogledajte rješenje u animaciji.

Zapišimo općenito jednadžbu tangente.

Jednadžba tangente na graf funkcije

Jednadžba tangente na graf funkcije $f$ u točki $(x_{1}, f (x_{1}))$ je $y - f (x_{1}) = f^{'} (x_{1}) (x - x_{1}) .$

Zadatak 2.

Uparite funkciju i jednadžbu tangente u točki grafa.

$f (x) = \frac{12}{x}, x = 2$	$y = - 3 x + 12$
$f (x) = x^{3} - 2, x = 2$	$y = - 3 x + 10$
$f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 26, x = 4$	$y = 12 x - 18$
$f (x) = 22 - 12 \sqrt{x}, x = 4$	$y = 12 x - 50$

null

Zadatak 3.

Tangenta na graf funkcije $f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ u točki grafa s negativnom apscisom paralelna je s pravcem $y = - \frac{1}{3} x .$ Odredite točku dodira i jednadžbu tangente.

Paralelni pravci imaju jednake koeficijente smjera pa je $k = f^{'} (x) = - \frac{1}{3} .$ Derivacija funkcije je $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x + 2)}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ pa ćemo točku dodira dobiti rješavajući jednadžbu $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{1}{3},$ ${(x - 1)}^{2} = 9,$ $x_{1} = 4, x_{2} = - 2 .$ Po uvjetu zadatka apscisa je negativna pa je točka dodira $(- 2, f (- 2)) = (- 2,0),$ a jednadžba tangente $y = - \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} .$

Linearna aproksimacija

Tangenta na graf funkcije ne razlikuje se mnogo od grafa u blizini točke dodira. Zbog tog svojstva pomoću tangente možemo odrediti približne vrijednosti funkcije. Pogledajmo na primjeru.

Primjer 2.

Neka je $f (x) = \sqrt{x} .$ Odredimo približnu vrijednost $\sqrt{3.9} .$

Pronađimo broj koji je blizu broju $3.9,$ a čiji korijen znamo izračunati napamet. To je broj $4 .$ Odredimo tangentu na graf funkcije u točki $(4, f (4)) = (4,2) .$

Derivacija je $f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ pa je koeficijent smjera tangente $f^{'} (4) = \frac{1}{4} .$

Jednadžba tangente je $y = \frac{1}{4} x + 1 .$

Pogledajte sliku. Vrijednosti funkcije i ordinate točaka na tangenti ne razlikuju se mnogo za apscise koje su blizu broju $4 .$ Zato je

$\sqrt{3.9} \approx \frac{1}{4} \cdot 3.9 + 1 = 1.975 .$

Linearna aproksimacija

Zadatak 4.

Odredite približnu vrijednost $\sqrt[3]{8.1} .$

Jednadžba tangente na graf funkcije $f (x) = \sqrt[3]{x}$ u točki $(8,2)$ je $y = \frac{1}{12} x + \frac{4}{3}$ . Koristeći se tangentom, dobivamo $\sqrt[3]{8.1} \approx 2.0083 .$

Funkcija zadana po dijelovima

Istražimo

Promotrite graf funkcije $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 3 \\ x + 6, x > 3 \end{array}$ pa odgovorite na pitanja.

Kolekcija zadataka #2

Funkcija $f$ neprekidna je u točki $3 .$

null

Graf funkcije $f$ "gladak" je u točki $(3,9) .$

Pomoć:

Vidimo da se graf funkcije $f$ lomi u točki $(3,9),$ ne prelazi glatko iz jednog oblika u drugi.

null

Istražimo

Pomaknite točku $A$ na polupravcu tako da dobijete "glatki" prijelaz iz parabole u polupravac u točki $(3,9) .$ Očitajte koeficijent smjera tog polupravca. Odredite koeficijent smjera tangente na graf funkcije $g (x) = x^{2}$ u točki $(3,9) .$ Usporedite. Što možemo zaključiti?

Koeficijent smjera polupravca podudara se s koeficijentom smjera tangente na graf funkcije $g (x) = x^{2}$ u točki $(3,9) .$

Zadatak 5.

Odredite koeficijente $a$ i $b$ tako da na grafu funkcije $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + b, x \leq 1 \\ \frac{4}{x}, x > 1 \end{array}$ nema naglih promjena smjera.

Funkcija mora biti neprekidna pa je $a \cdot 1 + b = \frac{4}{1} .$ Da ne bi bilo naglih promjena smjera, derivacije u točki $1$ moraju se podudarati pa je $a = - \frac{4}{1^{2}} .$ Zaključujemo da je $a = - 4, b = 8 .$

...i na kraju

Vlak u zabavnom parku sastoji se od dvaju ravnih dijelova i jednog zakrivljenog. Nagib lijevog ravnog dijela je $1.4,$ a desnog $- 1.36 .$ Točke prijelaza iz ravnih u zakrivljeni dio razmaknute su $10 m$ u horizontalnom smjeru i $2.5 m$ u vertikalnom. Aproksimirajte zakrivljeni dio kubnom funkcijom tako da staza nema naglih promjena smjera.

Pomičemo pravac — Vlak smrti s krivuljama

Smjestimo ishodište u lijevu točku prijelaza. Tražimo koeficijente kubne funkcije $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d .$ Uvjeti zadatka su:

Staza mora biti neprekidna pa je $f (0) = 0$ i $f (10) = - 2.5 .$
Staza nema naglih promjena smjera pa je $f^{'} (0) = 1.4$ i $f^{'} (10) = - 1.36 .$

Rješavanjem sustava jednadžbi dobivamo $a = 0.0054, b = - 0.219, c = 1.4, d = 0 .$

Na početku...

Jednadžba tangente u točki grafa funkcije

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 1.

Primjer 1.

Jednadžba tangente na graf funkcije

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Linearna aproksimacija

Primjer 2.

Zadatak 4.

Funkcija zadana po dijelovima

Istražimo

Kolekcija zadataka #2

Istražimo

Zadatak 5.

...i na kraju