Na početku...

Na slici je graf funkcije $f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3} + 2 .$ $f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3} + 2 .$ Kako biste ga opisali?

Što se događa s grafom u točkama $x = 0 i x = 3 ?$ $x = 0 i x = 3 ?$

Na slici je graf funkcije za koju ćemo promatrati predznak derivacije u nekim točkama. — Graf funkcije

Istražimo

Da biste jednostavnije odgovorili na to pitanje, promotrite u sljedećoj animaciji kako se mijenja predznak derivacije i tangenta na graf funkcije $f .$ $f .$

Koristeći se prethodnom animacijom, odgovorite na sljedeća pitanja povezana s funkcijom

$f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3} + 2 .$ $f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3} + 2 .$

Kolekcija zadataka #1

Je li funkcija $f$ $f$ derivabilna na intervalu $⟨- 3,5⟩ ?$ $⟨- 3,5⟩ ?$

Ima derivaciju u svakoj točki tog intervala.

null

Uparite tako da dobijete točne tvrdnje.

Funkcija $f$ $f$ raste na intervalu	$⟨- \infty, 3⟩ .$ $⟨- \infty, 3⟩ .$
Funkcija $f$ $f$ pada na intervalu	$⟨3, \infty⟩ .$ $⟨3, \infty⟩ .$

null

Na intervalu $⟨- \infty, 3⟩$ $⟨- \infty, 3⟩$

f^{'} (x) \geq 0

$f^{'} (x) \geq 0$

f^{'} (x) > 0

$f^{'} (x) > 0$

f^{'} (x) \leq 0

$f^{'} (x) \leq 0$

f^{'} (x) < 0

$f^{'} (x) < 0$

null

Na intervalu $⟨3, \infty⟩$ $⟨3, \infty⟩$

f^{'} (x) \geq 0

$f^{'} (x) \geq 0$

f^{'} (x) > 0

$f^{'} (x) > 0$

f^{'} (x) \leq 0

$f^{'} (x) \leq 0$

f^{'} (x) < 0

$f^{'} (x) < 0$

null

Koja je od sljedeći tvrdnji točna?

f^{'} (0) > 0

$f^{'} (0) > 0$

f^{'} (0) < 0

$f^{'} (0) < 0$

f^{'} (0) = 0

$f^{'} (0) = 0$ i derivacija

f^{'}

$f^{'}$ u toj točki mijenja predznak

f^{'} (0) = 0

$f^{'} (0) = 0$ i derivacija

f^{'}

$f^{'}$ u toj točki ne mijenja predznak

null

Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

f^{'} (3) > 0

$f^{'} (3) > 0$

f^{'} (3) < 0

$f^{'} (3) < 0$

f^{'} (3) = 0

$f^{'} (3) = 0$ i derivacija

f^{'}

$f^{'}$ u toj točki mijenja predznak

f^{'} (3) = 0

$f^{'} (3) = 0$ i derivacija

f^{'}

$f^{'}$ u toj točki ne mijenja predznak

null

U točki $x = 0$ $x = 0$ i točki $x = 3$ $x = 3$ nagib tangente na graf funkcije $f$ $f$ je

Stoga zaključujemo da su tangente

Tangenta u

x = 0

$x = 0$

a tangenta u točki

x = 3

$x = 3$

U točki

x = 3

$x = 3$ funkcija ima

vrijednost.

Pomoć:

Tangenta u točki $x = 0$ $x = 0$ prelazi s jedne strane grafa na drugu. Kažemo da ga presijeca.

null

Ekstremi

Ekstrem, prema latinskom extremum, znači: krajnja točka, krajnost, pretjeranost. Ljudska je priroda sklona pretjerivanju, krajnostima. Čovjek često traži nešto najmanje, najveće, najviše...

U matematici je ekstremna vrijednost sinonim za najmanju ili najveću vrijednost.

Na slici je prikaz penjača po stjenama kao asocijacija na ekstrem. — Ekstrem

Primjer 2.

Promotrimo graf funkcije $f .$ $f .$ Što se događa s vrijednosti funkcije na nekom malom intervalu oko stacionarnih točaka $x_{1}$ $x_{1}$ i $x_{2}$ $x_{2}$ ? U kojoj točki na tom intervalu funkcija poprima ekstremnu vrijednost?

Ekstremi

Ako promatramo mali interval oko točke $x_{1},$ $x_{1},$ lijevo od točke $x_{1}$ $x_{1}$ funkcija $f$ $f$ raste, a desno od točke $x_{1}$ $x_{1}$ pada pa u točki $x_{1}$ $x_{1}$ funkcija poprima najveću vrijednost $(y_{1})$ $(y_{1})$ na tom intervalu. Tu vrijednost zovemo lokalni maksimum.

Isto tako, ako promatramo mali interval oko točke $x_{2},$ $x_{2},$ lijevo od točke $x_{2}$ $x_{2}$ funkcija $f$ $f$ pada, a desno od točke $x_{2}$ $x_{2}$ raste pa u točki $x_{2}$ $x_{2}$ funkcija poprima najmanju vrijednost $(y_{2})$ $(y_{2})$ na tom intervalu. Tu vrijednost zovemo lokalni minimum.

Ako je $x$ $x$

funkcije

f

$f$ u kojoj

f^{'}

$f^{'}$ mijenja predznak onda je točka

x

$x$

lokalnog ekstrema.
Ako derivacija

f^{'}

$f^{'}$ ne mijenja

u stacionarnoj točki

x,

$x,$ tada

x

$x$

lokalnog ekstrema.

stacionarna točka

nije točka

točka

predznak

null

Lokalni maksimum;lokalni minimum

Neka je funkcija $f$ $f$ derivabilna na nekom intervalu oko točke $x = x_{0} .$ $x = x_{0} .$

Točka $x_{0}$ $x_{0}$ je točka lokalnog maksimuma ako je $x_{0}$ $x_{0}$ stacionarna točka, odnosno $f^{'} (x_{0}) = 0$ $f^{'} (x_{0}) = 0$ i ako derivacija $f^{'}$ $f^{'}$ u točki $x_{0}$ $x_{0}$ mijenja predznak iz plus u minus. Broj $f (x_{0})$ $f (x_{0})$ je lokalni maksimum.

Točka $x_{0}$ $x_{0}$ je točka lokalnog minimuma ako je $x_{0}$ $x_{0}$ stacionarna točka, odnosno $f^{'} (x_{0}) = 0$ $f^{'} (x_{0}) = 0$ i ako derivacija $f^{'}$ $f^{'}$ u točki $x_{0}$ $x_{0}$ mijenja predznak iz minus u plus. Broj $f (x_{0})$ $f (x_{0})$ tada je lokalni minimum.

Primjer 3.

Odredimo lokalne ekstreme funkcije $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ i točke u kojima se postižu.

Derivacija dane funkcije je $f^{'} (x) =$ $f^{'} (x) =$

. Rješavanjem jednadžbe

dobivamo stacionarne točke

. U točki

x = - 1

$x = - 1$

f^{'}

$f^{'}$ mijenja predznak

, a u točki

x = 3

$x = 3$

Stoga je u točki

x = - 1

$x = - 1$

, a u točki

x = 3

$x = 3$

. Lokalni je maksimum jednak

, a lokalni je minimum jednak

f (- 1) = 7

$f (- 1) = 7$

iz minus u plus

x = - 1 i x = 3

$x = - 1 i x = 3$

iz plus u minus

lokalni minimum

lokalni maksimum

3 (x - 3) (x + 1) = 0

$3 (x - 3) (x + 1) = 0$

f (3) = - 25

$f (3) = - 25$

3 x^{2} - 6 x - 9

$3 x^{2} - 6 x - 9$

null

Zadatak 2.

Neka je $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 2 .$ $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 2 .$

Derivacija funkcije je:

f^{'} (x) =

$f^{'} (x) =$

x^{3} +

$x^{3} +$

x^{2} =

$x^{2} =$

x^{2} (x +

$x^{2} (x +$

) .

$) .$

null

Popunite tablicu predznaka za $f^{'} .$ $f^{'} .$

Stacionarne točke (od manje prema većoj) funkcije

f

$f$ su:

x =

$x =$

x =

$x =$

U točki

x =

$x =$

funkcija

nema ekstrem, a u točki

x =

$x =$

funkcija

ima lokalni minimum koji iznosi

y =

$y =$

null

Zadatak 3.

a. Koja je od sljedećih tvrdnji točna za funkciju $f (x) = \frac{3}{x}$ $f (x) = \frac{3}{x}$ ?

Funkcija ima stacionarnu točku.

Funkcija ima stacionarnu točku, ali nema ekstrem.

Funkcija nema stacionarnu točku, ali ima ekstrem.

Funkcija nema ni stacionarnu točku ni ekstrem.

null

Postupak:

$f^{'} (x) = - \frac{3}{x^{2}} \neq 0$ $f^{'} (x) = - \frac{3}{x^{2}} \neq 0$ za sve realne brojeve iz domene funkcije $f .$ $f .$ Stoga derivacija dane funkcije nema nultočke, odnosno nema stacionarne točke, a tada ne može imati ni ekstreme.

b. Koje su od sljedećih tvrdnji točne za funkciju $f (x) = 3 x^{5} + 5 x^{3} - 5 ?$ $f (x) = 3 x^{5} + 5 x^{3} - 5 ?$

f^{'} (x) = 15 x^{4} + 15 x^{2}

$f^{'} (x) = 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Funkcija ima lokalni ekstrem.

Funkcija nema stacionarnu točku.

Funkcija ima jednu stacionarnu točku.

Funkcija je rastuća na cijeloj domeni.

null

Postupak:

Derivacija funkcije može se zapisati u obliku $f^{'} (x) = 15 x^{2} (x^{2} + 1),$ $f^{'} (x) = 15 x^{2} (x^{2} + 1),$ iz čega zaključujemo da je jedina stacionarna točka $x = 0 .$ $x = 0 .$ No uočimo da derivacija, osim u nuli, uvijek ima pozitivan predznak pa je funkcija rastuća na cijeloj domeni i nema lokalnih ekstrema.

...i na kraju

Bilo bi dobro upamtiti...

Na ilustraciji je prikazan dijagram u kojem su navedene sve važne činjenice iz jedinice. — Dijagram

Procijenite svoje znanje

Nulišta prve derivacije zovemo

točke.

null

Neka je funkcija

f

$f$ derivabilna na nekom intervalu oko točke

x_{0} .

$x_{0} .$ Ako je

x_{0}

$x_{0}$ točka lokalnog ekstrema, tada je

f^{'} (x) =

$f^{'} (x) =$

null

Ako $f^{'}$ $f^{'}$ u stacionarnoj točki $x_{0}$ $x_{0}$ mijenja predznak iz minus u plus, onda je $x_{0}$ $x_{0}$ točka lokalnog minimuma.

Ako $f^{'}$ $f^{'}$ u stacionarnoj točki $x_{0}$ $x_{0}$ ne mijenja predznak, onda je $x_{0}$ $x_{0}$ točka lokalnog maksimuma.

null

Koje su od sljedećih tvrdnji točne za $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 32 ?$ $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 32 ?$

x = - 2, x = 2

$x = - 2, x = 2$ stacionarne su točke funkcije

f .

$f .$

x = - 2

$x = - 2$ točka je lokalnog minimuma, a

x = 2

$x = 2$ točka lokalnog maksimuma.

x = - 2

$x = - 2$ točka je lokalnog maksimuma, a

x = 2

$x = 2$ točka lokalnog minimuma.

Lokalni minimum je

0 .

$0 .$

Pomoć:

$f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x + 2)$ $f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x + 2)$

Postupak:

Lokalni minimum je $- 64,$ $- 64,$ a lokalni maksimum je $0 .$ $0 .$

Neka je $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 2} .$ $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 2} .$

Funkcija nije definirana za

.
Stacionarne su točke

.
Točka lokalnog minimuma i njegov iznos jesu

.
Točka lokalnog maksimuma i njegov iznos jesu

x = 2

$x = 2$

x = 0,

$x = 0,$

f (0) = 1

$f (0) = 1$

x = 0

$x = 0$ i

x = 4

$x = 4$

x = 4,

$x = 4,$

f (4) = 9

$f (4) = 9$

Pomoć:

$f^{'} (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ $f^{'} (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

$- \infty$ $- \infty$		$- 1$ $- 1$		$0$ $0$		$1$ $1$		$\infty$ $\infty$

$f'$ $f'$	$+$ $+$		$-$ $-$		$-$ $-$		$+$ $+$
$f$ $f$	$↗$ $↗$		$↘$ $↘$		$↘$ $↘$		$↗$ $↗$

$- \infty$ $- \infty$		$0$ $0$		$3$ $3$		$\infty$ $\infty$

$f'$ $f'$	$+$ $+$		$+$ $+$		$-$ $-$
$f$ $f$	$↗$ $↗$		$↗$ $↗$		$↘$ $↘$

$- \infty$ $- \infty$		$0$ $0$		$3$ $3$		$\infty$ $\infty$

$f'$ $f'$	$-$ $-$		$-$ $-$		$+$ $+$
$f$ $f$	$↘$ $↘$		$↘$ $↘$		$↗$ $↗$

Lokalni maksimum iznosi	$6 .$ $6 .$
Lokalni minimum iznosi	$- 6 .$ $- 6 .$

Točka $x = - 1$ $x = - 1$	je točka lokalnog minimuma.
Točka $x = 1$ $x = 1$	nije u domeni funkcije.

5.3 Stacionarne točke i ekstremi funkcije

Na početku...

Istražimo

Kolekcija zadataka #1

Stacionarne točke

Stacionarne točke

Primjer 1.

Zadatak 1.

Ekstremi

Primjer 2.

Lokalni maksimum;lokalni minimum

Primjer 3.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Ekstremi racionalnih funkcija

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: