Matematika 4 - 5.2 Monotonost funkcije i derivacija

Na početku...

Promotrite putanju rakete. Raketa se najprije penje pa se visina rakete povećava. Zatim počinje padati i visina se smanjuje. U ovoj ćete jedinici odrediti u kojim intervalima funkcija raste, a u kojima pada.

Putanja rakete je u obliku parabole. — Putanja rakete

Monotonost i tangenta

U jedinici 3.5. definirali smo monotone funkcije. Prisjetite se definicija pa riješite zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Za funkciju $f$ koja je rastuća na $R$ vrijedi:

$f (2) \leq f (5)$

Manji

$x$ ima manju vrijednost.

Veći

$x$ ima manju vrijednost.

$f (5) \geq f (3)$

$f (3) \leq f (2)$

null

Funkcija $f$ strogo je rastuća na intervalu $⟨a, b⟩$ ako

dva

broja

$x_{1}, x_{2}$ vrijedi: ako je

$x_{1}$ manji od

$x_{2},$ onda je

$f (x_{1})$

$f (x_{2})$ .

null

Za funkciju $f$ vrijedi: za svaka dva broja $x_{1}, x_{2}$ iz intervala $I$ takva da je $x_{1} < x_{2}$ vrijedi $f (x_{1}) \geq f (x_{2}) .$ Funkcija $f$ je na intervalu $I :$

rastuća

strogo rastuća

padajuća

strogo padajuća.

null

Istražimo

Promotrite u animaciji tangentu na graf rastuće funkcije. Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?

Koeficijent smjera tangente je pozitivan.

Zadatak 1.

Na slici je prikazana tangenta na graf padajuće funkcije. Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?

Koeficijent smjera tangente je negativan.

Primjer 1.

Na slici je graf funkcije $f (x) = x^{3} + 1$ i tangente na graf u točkama $(- 2, - 7),$ $(0,1)$ i $(1,2) .$ Je li funkcija $f$ rastuća ili padajuća? Što vrijedi za koeficijent smjera tangente?

Tangenta i monotonost

Funkcija je rastuća. Koeficijent smjera tangente u točkama $(- 2, - 7)$ i $(1,2)$ je pozitivan. Tangenta u točki $(0,1)$ ima jednadžbu $y = 1,$ koeficijent smjera je $0 .$ Vidimo da su koeficijenti smjera tangente rastuće funkcije pozitivni ili nula.

Koeficijent smjera tangente na graf padajuće funkcije također može biti nula. Na primjer, koeficijent smjera tangente na graf funkcije $g (x) = - x^{3} + 2$ u točki $(0,2)$ jednak je $0 .$

Zaključimo prethodna razmatranja.

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije koja je rastuća na nekom intervalu je veći ili jednak nula u svakoj točki tog intervala. Vrijedi i obratno: ako je koeficijent smjera tangente na graf derivabilne funkcije veći ili jednak nula u svim točkama nekog intervala, funkcija je rastuća na tom intervalu.

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije koja je padajuća na nekom intervalu je manji ili jednak nula u svakoj točki tog intervala. Vrijedi i obratno: ako je koeficijent smjera tangente na graf derivabilne funkcije manji ili jednak nula u svim točkama nekog intervala, funkcija je padajuća na tom intervalu.

Zadatak 2.

Čemu je jednak koeficijent smjera tangente na graf funkcije? Što vrijedi za rastuće, a što za padajuće funkcije?

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije u točki $(x_{1}, f (x_{1}))$ jednak je vrijednosti derivacije funkcije $f$ u točki $x_{1} .$

Za rastuće funkcije koeficijent smjera tangente veći je ili jednak nula pa je derivacija veća ili jednaka nula.

Za padajuće funkcije koeficijent smjera tangente manji je ili jednak nula pa je derivacija manja ili jednaka nula.

Vrijedi i obratno.

Monotonost i derivacija

Neka je funkcija $f$ derivabilna na intervalu $I .$

Funkcija $f$ rastuća je na intervalu $I$ ako i samo ako je $f^{'} (x) \geq 0$ za svaki $x \in I .$

Funkcija $f$ padajuća je na intervalu $I$ ako i samo ako je $f^{'} (x) \leq 0$ za svaki $x \in I .$

Intervali monotonosti

Interval na kojemu funkcija raste ili pada nazivamo interval monotonosti. Odredit ćemo intervale monotonosti derivabilne funkcije pomoću predznaka derivacije.

Zadatak 3.

Dokažite da je funkcija $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$ rastuća na skupu $R .$

Odredimo derivaciju: $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x + 6 = 6 ({(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}) > 0 .$ Derivacija je veća od nule pa je funkcija rastuća.

Primjer 2.

Odredimo intervale na kojima funkcija $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ pada.

Odredimo najprije derivaciju:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 .$

Funkcija pada ako je $f^{'} (x) \leq 0$ pa treba riješiti nejednadžbu $3 x^{2} - 6 x - 9 \leq 0 .$

Nultočke derivacije su $x_{1} = - 1$ i $x_{2} = 3 .$

Skiciramo graf derivacije i čitamo intervale na kojima je derivacija manja ili jednaka $0 .$

To je interval $[- 1,3] .$ Intervali monotonosti su otvoreni pa je rješenje $⟨- 1,3⟩ .$

Interval pada

Istražimo

Određivanje intervala monotonosti svodi se na rješavanje nejednadžbi. Možemo li jednostavnije odrediti intervale na kojima je derivacija pozitivna ili negativna? Odgovorite na pitanja povezana s grafom derivacije na slici.

Promjena predznaka derivacije. — Promjena predznaka

Primjer 3.

Odredimo intervale na kojima se predznak derivacije funkcije $f (x) = \frac{x^{3} - 4}{x^{2}}$ ne mijenja.

Derivacija funkcije je:

$f^{'} (x) = \frac{3 x^{2} \cdot x^{2} - 2 x (x^{3} - 4)}{x^{4}} = \frac{x^{4} + 8 x}{x^{4}} = \frac{x^{3} + 8}{x^{3}} .$

Derivacija može promijeniti preznak u nultočkama i u točkama u kojima nije definirana.

Nultočka je rješenje jednadžbe $f^{'} (x) = 0,$ $x^{3} + 8 = 0,$ $x = - 2 .$

Derivacija nije definirana u nultočki nazivnika, $x^{3} = 0,$ $x = 0 .$

Točkama $- 2$ i $0$ brojevni se pravac dijeli na intervale $⟨- \infty, - 2⟩,$ $⟨- 2,0⟩,$ $⟨0, \infty⟩$ na kojima se predznak derivacije ne mijenja. Odredite koji su to predznaci.

Predznak derivacije ne mijenja se na dobivenim intervalima. Dovoljno je izračunati vrijednost derivacije u nekoj točki intervala jer će predznak biti isti za sve točke tog intervala.

Odaberimo neki broj iz intervala $⟨- \infty, - 2⟩,$ na primjer $- 3 .$

$f^{'} (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3} + 8}{{(- 3)}^{3}} = \frac{19}{27} > 0$ pa je derivacija pozitivna na cijelom intervalu $⟨- \infty, - 2⟩ .$

Odaberimo neki broj iz intervala $⟨- 2,0⟩,$ na primjer $- 1 .$

$f^{'} (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 8}{{(- 1)}^{3}} = \frac{7}{- 1} = - 7 < 0$ pa je derivacija negativna na cijelom intervalu $⟨- 2,0⟩ .$

Odaberimo neki broj iz intervala $⟨0, \infty⟩,$ na primjer $1 .$

$f^{'} (1) = \frac{1^{3} + 8}{1^{3}} = 9 > 0$ pa je derivacija pozitivna na cijelom intervalu $⟨0, \infty⟩ .$

Primjer 4.

Odredimo intervale monotonosti funkcije $f (x) = \frac{x^{3} - 4}{x^{2}} .$

U Primjeru $3$ odredili smo intervale na kojima derivacija ne mijenja predznak te predznake derivacije na tim intervalima.

Na intervalu $⟨- \infty, - 2⟩$ derivacija je pozitivna pa funkcija raste.

Na intervalu $⟨- 2,0⟩$ derivacija je negativna pa funkcija pada.

Na intervalu $⟨0, \infty⟩$ derivacija je pozitivna pa funkcija raste.

Pregledno ćemo ove podatke prikazati u tablici predznaka.

$- \infty$ $- 2$ $0$ $\infty$

$f'$ $+$ $-$ $+$

$f$ $↗$ $↘$ $↗$

Zadatak 4.

Zadana je funkcija $f,$ $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x .$ Riješite sljedeće zadatke povezane s funkcijom $f .$

Zadatak 5.

Zadana je funkcija $f,$ $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x} .$ Riješite sljedeće zadatke povezane s funkcijom $f .$

Zadatak 6.

Neka je $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2 .$ U sljedećoj interakciji popunite tablicu predznaka pa pomoću nje odredite intervale monotonosti funkcije $f .$

Razvrstajte intervale s obzirom na monotonost funkcije $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2 .$

$⟨- \infty, - 1⟩$

Intervali rasta

Intervali pada

Nisu intervali monotonosti

null

Zadatak 7.

Neka je $f (x) = 2 x^{3} + \frac{3}{x^{2}} .$ U sljedećoj interakciji popunite tablicu predznaka pa pomoću nje odredite intervale monotonosti funkcije $f .$

Razvrstajte intervale s obzirom na monotonost funkcije $f (x) = 2 x^{3} + \frac{3}{x^{2}} .$

$⟨1, \infty⟩$

Intervali rasta

Intervali pada

Nisu intervali monotonosti

null

Kutak za znatiželjne

Dokažite da je kvadratna funkcija $f (x) = a x^{2} + b x + c$ s tjemenom $T (x_{0}, y_{0})$ padajuća na intervalu $⟨- \infty, x_{0}⟩$ i rastuća na intervalu $⟨x_{0}, \infty⟩$ ako je $a > 0 .$

$f^{'} (x) = 2 a x + b,$ $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{2 a} = x_{0} .$ Ako je $a > 0,$ derivacija je negativna za $x < x_{0}$ i pozitivna za $x > x_{0} .$

...i na kraju

Funkcija $f$ definirana je na skupu $R .$ Na slici je graf derivacije funkcije $f .$ Odredite intervale monotonosti funkcije $f .$

Funkcija $f$ pada na intervalima $⟨- \infty, - 2⟩$ i $⟨0,5⟩ .$

Funkcija $f$ raste na intervalima $⟨- 2,0⟩$ i $⟨5, \infty⟩ .$

5.2 Monotonost funkcije i derivacija

Na početku...

Monotonost i tangenta

Kolekcija zadataka #1

Istražimo

Zadatak 1.

Primjer 1.

Zadatak 2.

Monotonost i derivacija

Intervali monotonosti

Zadatak 3.

Primjer 2.

Istražimo

Kolekcija zadataka #2

Primjer 3.

Primjer 4.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #3

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #4

Zadatak 6.

Intervali rasta

Intervali pada

Nisu intervali monotonosti

Zadatak 7.

Intervali rasta

Intervali pada

Nisu intervali monotonosti

Kutak za znatiželjne

...i na kraju