5.4 Tijek funkcije

Trebamo odrediti vrijednosti broja $x$ za koji je $f\left(x\right)=0,$ znači $\frac{x^2-5x+6}{2x+1}=0.$

Znamo da će razlomak biti jednak nula ako je njegov brojnik jednak nula. Zbog toga trebamo riješiti jednadžbu $x^2-5x+6=0.$ To je jednostavna kvadratna jednadžba koju znamo riješiti na razne načine te su rješenja $x_1=2$ i $x_2=3.$ Dobivene su vrijednosti nulišta zadane funkcije $f.$ Konačno, nultočke funkcije $f$ su točke s koordinatama $\left(2,0\right)$ i $\left(3,0\right).$

Prvo ćemo odrediti derivaciju funkcije $f.$

$f^{\prime }\left(x\right)=-8x+16$

Stacionarne točke tražimo kao rješenja jednadžbe $f^{\prime }\left(x\right)=0.$

$-8x+16=0\Rightarrow 8x=16\Rightarrow x=2$

$x_0=2$ je stacionarna točka.

Pogledajmo kakav je predznak derivacije ispred, a kakav iza stacionarne točke.

Uvrstimo neki broj manji od $2,$ primjerice $0.$ Slijedi $f^{\prime }\left(0\right)=16>0.$

Broj $3$ je veći od $2,$ a $f^{\prime }\left(3\right)=-8·3+16=-24+16=-8<0.$

Kada te podatke složimo u tablicu i primijenimo naučeno, slijedi:

Pogledajmo što se događa u stacionarnoj točki. Derivacija mijenja predznak, funkcija je bila rastuća ispred, a padajuća iza  $x_0=2$ pa zaključujemo da funkcija ima maksimalnu vrijednost.

Uvrstimo $x_0=2$ u pravilo funkcije $f,$

$f\left(2\right)=-4·4+32-12=4$

Lokalni maksimum je $4.$

S obzirom na to da je $f$ kvadratna funkcija, znamo da postiže minimalnu ili maksimalnu vrijednost u tjemenu funkcije. Apscisu tjemena računali smo s pomoću formule $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{16}{-8}=2,$ a to je upravo stacionarna točka dobivena s pomoću derivacije. S obzirom na to da je vodeći koeficijent negativan, znamo oblik grafa funkcije. Funkcija prvo raste, postiže maksimum pa dalje pada. 

1. Domena funkcije $T\left(v\right)=1200v+\frac{60000}{v}$

Iz zapisa vidimo da nazivnik ne smije biti jednak nula, a iz stvarne situacije znamo da brzina mora biti pozitivna. Stoga će domena ove funkcije biti pozitivni realni brojevi.

2. Nultočke funkcije

$1200v+\frac{60000}{v}=0\Rightarrow \frac{1200v^2+60000}{v}=0\Rightarrow 1200v^2+60000=0,$ pa ova jednadžba nema realnih rješenja.

3. Intervali monotonosti i ekstremi

Odredimo derivaciju funkcije $T^{\prime }\left(v\right)=1200+\frac{-60000}{v^2}$ i tražimo stacionarne točke, $1200+\frac{-60000}{v^2}=0\Rightarrow \frac{1200v^2-60000}{v^2}=0\Rightarrow 1200v^2-60000=0\Rightarrow v=\sqrt{50}\approx 7.07.$
Broj između $0$ i $7.07,$ primjerice $1,$ uvrstimo u derivaciju, $T^{\prime }\left(1\right)=1200-\frac{60000}{1}=-58800<0.$

Za broj veći od $7.07,$ primjerice 10, vrijedi: $T^{\prime }\left(10\right)=1200-\frac{60000}{100}=600>0.$

Očito je u $v_0=7.07$ lokalni minimum i $T\left(7.07\right)=16970.56.$

Nacrtajmo tablicu tijeka funkcije.

Nacrtajmo sada graf funkcije.

Troškovi su vlaka minimalni pri brzini od $7.07 \text{km/h}$ i iznose $16970$ kuna. Iz grafa vidimo da se troškovi smanjuju od brzine $0 \text{km/h}$ do $7.07 \text{km/h},$ a pri brzinama većim od $7.07 \text{km/h}$ troškovi rastu.

Iz grafa derivacije funkcije vidimo da funkcija pada na intervalu $⟨-\infty ,3⟩$ i raste na intervalu $⟨3,\infty ⟩.$ Znači da u točki s apscisom $3$ ima minimum. Znamo gdje su joj nultočke, ali ne znamo točno vrijednost minimuma pa je ovo jedno od mogućih rješenja.