Matematika 4 - 3.1 Pojam funkcije

Na početku...

Prilikom ronjenja tlak vode povećava se s dubinom zarona. Gustoća morske vode iznosi $1 030 \frac{kg}{m^{3}}$ pa svakih $10 m$ dubine tlak naraste za $1.03$ bara. Tu vezu možemo prikazati i sljedećom tablicom.

Dubina $d (m)$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$
Tlak $p (bar)$	$1.03$	$2.06$	$3.09$	$4.12$	$5.15$	$6.18$	$7.21$

Broju $20$ pridružili smo broj $2.06 .$ To možemo zapisati $p (20) = 2.06 .$

Što znači $p (60) = 6.18 ?$

Možemo li odrediti tlak na dubini od $27$ metara? Za koje sve vrijednosti $d$ možemo odrediti tlak?

Je li moguće da na nekoj dubini imamo dvije različite vrijednosti tlaka?

Funkcija, domena (područje definicije), kodomena (područje vrijednosti)

Neka su $D$ i $K$ dva neprazna skupa. Funkcija sa skupa $D$ u skup $K$ pravilo je koje svakom elementu skupa $D$ pridružuje jedan i samo jedan element skupa $K .$

Funkciju označavamo $f : D \to K$ i čitamo $f$ s $D$ u $K .$

Skup $D$ zovemo domena ili područje definicije funkcije, skup $K$ kodomena ili područje vrijednosti funkcije, a $f$ pravilo pridruživanja.

Elemente domene $x$ kojima pridružujemo zovemo argumenti funkcije ili nezavisne varijable, a pridružene elemente kodomene $y$ zovemo vrijednosti funkcije ili zavisne varijable. Pišemo $y = f (x),$ odnosno $x \mapsto f (x) .$

Zanimljivost

Oznaku $f (x)$ za standardni zapis realne funkcije Leonard Euler uveo je 1734. godine. Godine 1755. objavio je knjigu pod naslovom Institutiones calculi differentialis u kojoj definira pojam funkcije. Prema Euleru, ako neka veličina ovisi o drugoj veličini na način da se mijenja čim se mijenja i druga veličina, ona se naziva funkcijom druge veličine, koju tada nazivamo i nezavisnom veličinom.

Proučavat ćemo funkcije kojima su domena i kodomena podskupovi skupa realnih brojeva. Takve funkcije zovemo realne funkcije.

Pogledajmo uvodni primjer. Je li to pridruživanje funkcija?

Ako se svakih $10$ metara dubine tlak poveća za $1.03$ bara, znamo otprije da je veza linearna pa je riječ o linearnoj funkciji s pravilom pridruživanja $p (d) = 0.103 d$ .

Odredimo joj domenu i kodomenu.

Brojevi kojima pridružujemo vrijednosti tlaka predstavljaju dubinu mora. To su očito nenegativni realni brojevi. Koja je najveća dubina mora? Po nekim je izvorima to dubina Marijanske brazde koja iznosi oko $11 000$ metara. Možemo reći da je domena skup $D = [0, 11 000⟩ .$ Kodomena će biti skup realnih brojeva.

Ova je funkcija bila zadana opisom i tablicom. Kako je još možemo zadati?

Vrijednosti $d$ i $p$ možemo smjestiti na dva paralelna brojevna pravca i povezati odgovarajuće vrijednosti.

Dva paralelna pravca. — Dva paralelna pravca

Riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Je li sljedećom tablicom zadana neka funkcija?

$D$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$K$	$0$	$1$	$0$	$1$	$0$

null

Je li sljedećom tablicom zadana neka funkcija?

$D$	$1$	$2$	$1$	$3$	$4$
$K$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

null

Određuju li uređeni parovi $(9, 9), (5, 9), (8, 7), (7, 5), (9, 5), (6, 10)$ neku funkciju?

null

Određuju li uređeni parovi

(- 3, - 2), (- 1, 0), (5, 7), (12, - 2)

neku funkciju?

null

Graf funkcije

Podsjetimo se, graf linearne funkcije je pravac, graf kvadratne funkcije je parabola. Kako smo ih crtali?

U koordinatni smo sustav ucrtavali točke s koordinatama $(x, y)$ pri čemu smo $y$ dobili tako što smo vrijednost broja $x$ uvrstili u pravilo pridruživanja funkcije. Stoga možemo zapisati:

Graf funkcije $f : D \to K$ skup je svih uređenih parova $(x, f (x)), x \in D,$ tj.

$Γ_{f} = \{(x, f (x)) |x \in D\} .$

Kada će skup točaka u koordinatnom sustavu biti graf neke funkcije?

Primjer 1.

Predstavlja li skup točaka prikazan na slici graf neke funkcije?

Proučimo li točke, uočit ćemo da postoje dvije točke kojima je apscisa jednaka $3$ ; to su $(3, 3)$ i $(3, 6) .$ Za funkciju mora vrijediti da za svaki broj iz domene postoji jedinstvena vrijednost iz kodomene što ovdje očito nije slučaj, za broj $3$ postoje vrijednosti $3$ i $6$ .

Zaključimo da ovaj skup točaka prikazan u koordinatnom sustavu ne predstavlja graf neke funkcije.

Graf funkcije

Budući da te dvije točke imaju istu apscisu $3,$ one se nalaze na pravcu $x = 3 .$ Drugim riječima, vertikalni pravac $x = 3$ siječe prikazani skup točaka u više od jedne točke.

Vertikalni test

Skup točaka u koordinatnom sustavu graf je neke funkcije ako svaki pravac okomit na os $x$ siječe taj skup točaka u najviše jednoj točki.

Zadatak 1.

Koji od navedenih skupova točaka u koordinatnom sustavu predstavlja graf neke funkcije?

U koordinatnom sustavu su ucrtane neke točke.

null

Prirodna domena funkcije

U uvodnom je primjeru domena funkcije $p$ skup $D (p) = [0, 11 000⟩ .$ Zašto?

Funkcija $p$ računa tlak na određenoj dubini mora. Dubina mora zadaje se kao nenegativni realni broj, iako se u pravilo pridruživanja $p (d) = 0.103 d$ mogu uvrštavati i negativni brojevi.

Pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 2.

Odredimo funkciju koja će realnom broju $x$ pridružiti količnik toga broja i broja koji je za 3 manji od toga broja.

Iz opisa možemo zapisati pravilo pridruživanja $f (x) = \frac{x}{x - 3} .$

Trebamo još odrediti domenu i kodomenu.

Za kodomenu možemo uzeti skup realnih brojeva. Može li i domena biti skup realnih brojeva?

Iz definicije funkcije znamo da za svaki element domene mora postojati element koji ćemo mu pridružiti. Možemo li za svaki realni broj $x$ izračunati vrijednost $f (x) ?$ Možemo li bilo koji realni broj uvrstiti u formulu?

Očito ne smijemo dijeliti s nulom pa nazivnik ne smije biti jednak nuli. To znači

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ pa je domena ove funkcije skup svih realnih brojeva osim broja $3,$ odnosno $D (f) = R\ \{3\} .$

Prirodna domena ili prirodno područje definicije za realne funkcije realne varijable zadane formulom sastoji se od svih brojeva za koje je izraz definiran.

Zadatak 2.

Povežite pravilo pridruživanja funkcije i njezinu prirodnu domenu.

$f (x) = \sqrt{2 - x}$	$D (f) = [- 2, 2]$
$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$	$D (f) = R\ \{- \frac{1}{2}, 2\}$
$f (x) = \frac{1}{(2 x + 1) (x - 2)}$	$D (f) = ⟨\frac{1}{2}, + \infty⟩$
$f (x) = \frac{3 x}{1 - 2 x}$	$D (f) = ⟨- \infty, 2]$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$	$D (f) = R\ \{- 2\}$
$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 2}$	$D (f) = R\ \{\frac{1}{2}\}$

null

Kutak za znatiželjne

Odredite prirodnu domenu funkcije $f (x) = \sqrt{\log_{0.2} (3 - x)} .$

Uvjet

$l o g_{0.2} (3 - x) \geq 0 \Rightarrow 0 < 3 - x \leq 1 \Rightarrow D (f) = [2, 3⟩$

3.1 Pojam funkcije

Na početku...

Funkcija, domena (područje definicije), kodomena (područje vrijednosti)

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #1

Graf funkcije

Primjer 1.

Zadatak 1.

Prirodna domena funkcije

Primjer 2.

Zadatak 2.

Kutak za znatiželjne

Slika funkcije

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju