Limes u beskonačnosti

Primjer 1.

Promotrimo funkciju $f\left(x\right)=2+\frac{10}{x}.$ Zanimaju nas vrijednosti funkcije kada je $x$ velik broj. Ako je $x$ velik broj, onda je $\frac{10}{x}$ blizu nule pa se vrijednosti funkcije približavaju broju $2.$ Reći ćemo da je limes funkcije $f$ kad $x$ teži u beskonačno jednak $2.$ Opišimo preciznije što to znači da se vrijednosti funkcije približavaju nekom broju.

Istražimo

Za odabrani interval svi se realni brojevi od nekog broja $M$ nadalje preslikavaju u zadani interval. Pronađite realni broj $M$ za odabrani interval. Mijenjajte interval oko broja $2.$ Možete li uvijek pronaći broj $M?$

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

U intervalu $⟨1.5,2.5⟩$ nalaze se vrijednosti funkcije $f\left(x\right)=2+\frac{10}{x}$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M.$  $M=$

$0$

$10$

$20$

ne postoji takav $M.$

null

null

U intervalu $⟨1.9,2.1⟩$ nalaze se vrijednosti funkcije $f\left(x\right)$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M.$  $M=$   

$20$ 

$50$ 

$100$ 

ne postoji takav $M.$

null

null

U intervalu $⟨1.99,2.01⟩$ nalaze se vrijednosti funkcije $f\left(x\right)$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M.$  $M=$

$100$

$500$

$1000$

ne postoji takav $M.$

null

null

U intervalu $⟨2.99,3.01⟩$ nalaze se vrijednosti funkcije $f\left(x\right)$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M.$  $M=$

$0$

$10$

$100$

ne postoji takav $M.$

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Određivanje limesa u beskonačnosti

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2
3. 3

Ima li funkcija $f$ čiji je graf na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu ${\mathrm{R}}^{\mathrm{+}}?$ Ako ima, odredite taj limes. 

Da

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ 

Ne

null

null

Ima li funkcija $f$ čiji je graf prikazan na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu ${\mathrm{R}}^{+}?$ Ako ima, odredite taj limes.

Da

Ne

null

null

Ima li funkcija $f$ čiji je graf prikazan na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu ${\mathrm{R}}^{+}?$ Ako ima, odredite taj limes.

Da

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=4$ 

Ne

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Funkcije koje teže u beskonačno

Primjer 2.

Promotrite graf funkcije $f$ na slici. Vrijednosti funkcije postaju neograničeno velike kad se $x$ povećava. Za svaki veliki broj $E$ možemo pronaći broj $M$ tako da su vrijednosti funkcije $f\left(x\right)$ veće od $E$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M.$ Reći ćemo da je limes funkcije $f$ beskonačno.

Pišemo: $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty .$

Označite funkcije $f$ za koje je $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty .$

$f\left(x\right)=x$ 

$f\left(x\right)=x^2$ 

$f\left(x\right)=\sin x$ 

$f\left(x\right)=2^x$ 

$f\left(x\right)={0.5}^x$ 

$f\left(x\right)={\log }_{2}x$ 

$f\left(x\right)={\log }_{0.5}x$ 

null

null

Primjer 3.

Promotrimo eksponencijalnu funkciju $f\left(x\right)=a^x$ i njezin graf. Razlikujemo dva slučaja: $0<a<1$ i $a>1.$ U prvom je slučaju funkcija padajuća, a u drugom rastuća. Vrijedi:

$\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=0$ ako je $0<a<1$

$\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=\infty$ ako je $a>1.$

Limes eksponencijalne funkcije

Limes eksponencijalne funkcije

Prethodna Sljedeća

Primjer 4.

Riješimo problem iz uvodnog primjera. Prema Newtonovu zakonu hlađenja temperatura tijela nakon $t$ minuta hlađenja računa se kao $T\left(t\right)=T_s+\left(T_0-T_s\right)e^{kt},$ pri čemu je početna temperatura $T_0,$  temperatura okoline $T_s,$ a $k$ negativna konstanta karakteristična za određeno tijelo. Ako je u prostoriji temperatura od $25{ }^{\circ }\mathrm{C},$ a posude se vade iz peći kod temperature od ${40}^{ \circ }\mathrm{C},$ dobivamo: $T\left(t\right)=25+15e^{kt}.$

Ako nas zanima temperatura nakon jako dugo vremena, računali bismo limes:

$\underset{t\to \infty }{\lim }\left(25+\frac{15}{e^{-kt}}\right)=25.$

Ovaj je rezultat logičan jer temperatura posude neće postati manja od temperature prostora.

Limes funkcije u točki

Istražimo

Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x-2}{x-2}.$ Vrijednosti funkcije možemo računati za sve realne brojeve $x$ osim za $2.$ Popunite tablice u bilježnici. Što možemo pretpostaviti o vrijednostima funkcije za brojeve koji su blizu broja $2?$

$x$	$f$ $\left(x\right)$		$x$	$f$ $\left(x\right)$
$1.9$			$2.1$
$1.99$			$2.01$
$1.999$			$2.001$

Primjer 5.

Možemo pretpostaviti da se vrijednosti funkcije $f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x-2}{x-2}$ približavaju broju $5$ kad se $x$ približava broju $2.$ Zapišimo pravilo pridruživanja u jednostavnijem obliku i nacrtajmo graf funkcije $f:$

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\end{array}$

$\frac{2x^2+x-4x-2}{x-2}=$

$\frac{x\left(2x+1\right)-2\left(2x+1\right)}{x-2}=$

$\frac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)}{x-2}=2x+1,$ za $x\ne 2.$ Za $x=2$ funkcija nije definirana.

Istražimo

Na karticama su prikazani grafovi funkcija. Promotrite brojeve $x$ koji su blizu broja $2$. Kojem su broju blizu vrijednosti $f\left(x\right)?$ Zapišite odgovore u bilježnicu pa provjerite na drugoj strani kartice.

Okreni

Vrijednosti funkcije blizu su broja $5$ kad je $x$ blizu broja $2.$ Limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2$ jednak je $5.$ Pišemo $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Povratak

Okreni

Funkcija je definirana za $x=2$ i $f\left(2\right)=8$ što nije blizu broja $5.$ Ali za brojeve $x$ različite od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $5.$ I u ovom slučaju limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2$ jednak je $5.$ Pišemo $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Povratak

Okreni

Funkcija je definirana za $x=2$ i $f\left(2\right)=8.$ Za brojeve $x$ manje od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $5.$ Za brojeve $x$ veće od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $8.$ Postoje dva različita broja kojima se vrijednosti funkcije približavaju kad se $x$ približava broju $2.$ U ovom slučaju ne postoji limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2.$

Povratak

Označite primjere iz prethodne interakcije za koje je točna rečenica:

Za svaki interval $l$ oko broja $5$ možemo pronaći interval $k$ oko broja $2$ koji se cijeli, osim možda broja $2,$ preslikava u interval $l.$

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Primjer 4

Za male intervale $l$ neki se brojevi iz intervala $k$ preslikavaju izvan intervala $l$ bez obzira kako mali interval $k$ odaberemo.

null

null

Promotrite sliku pa složite tvrdnje po redoslijedu tako da odgovaraju definiciji limesa funkcije u točki $c.$

• za svaki $x$ za koji je
• limes funkcije u točki $c$
• postoji $\delta >0$ takav da
• ako za svaki $\epsilon >0$ 
• $0<\left|x-c\right|<\delta$ 
• Realni broj $L$ je
• vrijedi $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon .$

Pomoć:

$f\left(x\right)$ je u intervalu $⟨L-\epsilon ,L+\epsilon ⟩$ ako i samo ako je $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon .$

$x\ne c$ je u intervalu $⟨c-\delta ,c+\delta ⟩$ ako i samo ako je $0<\left|x-c\right|<\delta .$

null

Označite točne odgovore.

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=$	534ne postoji
$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=$	534ne postoji
$\underset{x\to 6}{\lim }f\left(x\right)=$	534ne postoji
$\underset{x\to 8}{\lim }f\left(x\right)=$	534ne postoji

null

null

Primjer 6.

Promotrite graf funkcije na slici. U točkama $a$ i $b$ limes ne postoji. Ali, budući da vrijednosti funkcije u okolini točke $a$ postaju izrazito velike, pisat ćemo $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\infty .$ Nacrtajte u bilježnici graf funkcije $g$ za koju je $\underset{x\to c}{\lim }g\left(x\right)=-\infty .$

U okolini točke $b$ vrijednosti funkcije postaju iznimno velike po modulu, ali su različitih predznaka pa ne možemo reći da funkcija teži u beskonačno ili u minus beskonačno.

Neprekidne funkcije

Zadatak 5.

Vidjeli smo da pri određivanju limesa funkcije u točki nije važno je li funkcija u toj točki definirana ili nije, te ako jest definirana, kolika je ta vrijednost. Promotrite graf funkcije $f$ na slici pa odgovorite na pitanja.

Kolekcija zadataka #3

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9

Funkcija $f$ definirana je u točki $a.$ 

Da

Ne

null

null

Postoji $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right).$

Da

Ne

null

null

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ 

Da

Ne

null

null

Funkcija $f$ definirana je u točki $b.$

Da

Ne

null

null

Postoji $\underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right).$

Da

Ne

null

null

$\underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$  

Da

U ovom ćemo slučaju reći da je funkcija $f$ neprekidna u točki $b.$

Ne

null

null

Funkcija $f$ definirana je u točki $c.$

Da

Ne

null

null

Postoji $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right).$

Da

Ne

null

null

Označite točku u kojoj nema prekida grafa funkcije.

$a$ 

$b$ 

$c$  

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Elementarne funkcije su neprekidne.

Računanje limesa funkcije u točki

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: