Limes u beskonačnosti

Primjer 1.

Promotrimo funkciju $f (x) = 2 + \frac{10}{x} .$ Zanimaju nas vrijednosti funkcije kada je $x$ velik broj. Ako je $x$ velik broj, onda je $\frac{10}{x}$ blizu nule pa se vrijednosti funkcije približavaju broju $2 .$ Reći ćemo da je limes funkcije $f$ kad $x$ teži u beskonačno jednak $2 .$ Opišimo preciznije što to znači da se vrijednosti funkcije približavaju nekom broju.

Istražimo

Za odabrani interval svi se realni brojevi od nekog broja $M$ nadalje preslikavaju u zadani interval. Pronađite realni broj $M$ za odabrani interval. Mijenjajte interval oko broja $2 .$ Možete li uvijek pronaći broj $M ?$

Koristeći se prethodnom interakcijom, riješite zadatke.

Za svaki smo interval oko $2$ mogli pronaći broj $M$ takav da su vrijednosti funkcije $f (x)$ u zadanom intervalu za sve brojeve $x$ veće od $M .$ Broj $M$ nismo mogli pronaći za sve intervale oko broja $3 .$ Broj $M$ ne bismo mogli pronaći ni za intervale oko brojeva različitih od $2$ . Prema tome, limes funkcije u beskonačnosti definiramo na sljedeći način.

Limes funkcije f u beskonačnosti

Za realni broj $L$ kažemo da je limes funkcije $f$ u beskonačnosti ako za svaki interval oko $L$ postoji realni broj $M$ takav da vrijednosti funkcije $f (x)$ pripadaju zadanom intervalu za sve brojeve $x$ veće od $M .$

Pišemo $\lim_{x \to \infty} f (x) = L .$

Kutak za znatiželjne

Pokažimo da je $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 .$ Neka je $⟨- ε, ε⟩$ interval oko $0 .$ Vrijednosti $\frac{1}{x}$ pripadaju tom intervalu ako je $- ε < \frac{1}{x} < ε .$ Za pozitivne brojeve $x$ to znači da je $x > \frac{1}{ε} .$

Stavimo li $M = \frac{1}{ε},$ za sve će pozitivne brojeve $x$ veće od $M$ vrijediti $0 < \frac{1}{x} < ε$ pa je $\frac{1}{x} \in ⟨- ε, ε⟩ .$

Dokažite po definiciji da je $\lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 1}{x} = 3 .$

Limes funkcije jedan kroz iks je nula. — Limes u beskonačnosti 1/x

Određivanje limesa u beskonačnosti

Limes funkcije u beskonačnosti računamo slično kao limes niza.

Zadatak 1.

Izračunajte limese:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{x}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 3}{x + 1} .$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{x} = \lim_{x \to \infty} (3 - \frac{2}{x}) = 3$
$\lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{5 + 0}{1 + 0} = 5$

Odredimo limes funkcija zadanih grafom.

Kolekcija zadataka #2

Ima li funkcija $f$ čiji je graf na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu $R^{+} ?$ Ako ima, odredite taj limes.

Da

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 3$

Ne

null

Ima li funkcija $f$ čiji je graf prikazan na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu $R^{+} ?$ Ako ima, odredite taj limes.

Da

Ne

null

Ima li funkcija $f$ čiji je graf prikazan na slici limes u beskonačnosti uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu $R^{+} ?$ Ako ima, odredite taj limes.

Da

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 4$

Ne

null

Funkcije koje teže u beskonačno

Primjer 2.

Promotrite graf funkcije $f$ na slici. Vrijednosti funkcije postaju neograničeno velike kad se $x$ povećava. Za svaki veliki broj $E$ možemo pronaći broj $M$ tako da su vrijednosti funkcije $f (x)$ veće od $E$ za sve brojeve $x$ koji su veći od $M .$ Reći ćemo da je limes funkcije $f$ beskonačno.

Pišemo: $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty .$

Graf funkcije za interakciju

Zadatak 2.

Označite funkcije $f$ za koje je $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty .$

$f (x) = x$

$f (x) = x^{2}$

$f (x) = \sin x$

$f (x) = 2^{x}$

$f (x) = {0.5}^{x}$

$f (x) = \log_{2} x$

$f (x) = \log_{0.5} x$

null

Primjer 3.

Promotrimo eksponencijalnu funkciju $f (x) = a^{x}$ i njezin graf. Razlikujemo dva slučaja: $0 < a < 1$ i $a > 1 .$ U prvom je slučaju funkcija padajuća, a u drugom rastuća. Vrijedi:

$\lim_{x \to \infty} a^{x} = 0$ ako je $0 < a < 1$

$\lim_{x \to \infty} a^{x} = \infty$ ako je $a > 1 .$

Limes eksponencijalne funkcije 1/2

Limes eksponencijalne funkcije 2/2

Primjer 4.

Riješimo problem iz uvodnog primjera. Prema Newtonovu zakonu hlađenja temperatura tijela nakon $t$ minuta hlađenja računa se kao $T (t) = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{k t},$ pri čemu je početna temperatura $T_{0},$ temperatura okoline $T_{s},$ a $k$ negativna konstanta karakteristična za određeno tijelo. Ako je u prostoriji temperatura od $25^{\circ} C,$ a posude se vade iz peći kod temperature od $40^{\circ} C,$ dobivamo: $T (t) = 25 + 15 e^{k t} .$

Ako nas zanima temperatura nakon jako dugo vremena, računali bismo limes:

$\lim_{t \to \infty} (25 + \frac{15}{e^{- k t}}) = 25 .$

Ovaj je rezultat logičan jer temperatura posude neće postati manja od temperature prostora.

Limes funkcije u točki

Istražimo

Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2} .$ Vrijednosti funkcije možemo računati za sve realne brojeve $x$ osim za $2 .$ Popunite tablice u bilježnici. Što možemo pretpostaviti o vrijednostima funkcije za brojeve koji su blizu broja $2 ?$

$x$ $f$ $(x)$ $x$ $f$ $(x)$

$1.9$ $2.1$

$1.99$ $2.01$

$1.999$ $2.001$

$x$	$f$ $(x)$	$x$	$f$ $(x)$
$1.9$	$4.8$	$2.1$	$5.2$
$1.99$	$4.98$	$2.01$	$5.02$
$1.999$	$4.998$	$2.001$	$5.002$

Primjer 5.

Možemo pretpostaviti da se vrijednosti funkcije $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2}$ približavaju broju $5$ kad se $x$ približava broju $2 .$ Zapišimo pravilo pridruživanja u jednostavnijem obliku i nacrtajmo graf funkcije $f :$

$\begin{array}{ll} f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x - 2} = \end{array}$

$\frac{2 x^{2} + x - 4 x - 2}{x - 2} =$

$\frac{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}{x - 2} =$

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x - 2} = 2 x + 1,$ za $x \neq 2 .$ Za $x = 2$ funkcija nije definirana.

Limes funkcije u točki

Na grafu također uočavamo da su vrijednosti funkcije blizu broja $5$ kad je $x$ blizu broja $2 .$ Tada ćemo reći da je limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2$ jednak $5$ i pisati $\lim_{x \to 2} f (x) = 5 .$

Istražimo

Na karticama su prikazani grafovi funkcija. Promotrite brojeve $x$ koji su blizu broja $2$ . Kojem su broju blizu vrijednosti $f (x) ?$ Zapišite odgovore u bilježnicu pa provjerite na drugoj strani kartice.

Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva blizu su broja pet.

Vrijednosti funkcije blizu su broja $5$ kad je $x$ blizu broja $2 .$ Limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2$ jednak je $5 .$ Pišemo $\lim_{x \to 2} f (x) = 5 .$

Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva koji su različiti od dva, blizu su broja pet.

Funkcija je definirana za $x = 2$ i $f (2) = 8$ što nije blizu broja $5 .$ Ali za brojeve $x$ različite od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $5 .$ I u ovom slučaju limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2$ jednak je $5 .$ Pišemo $\lim_{x \to 2} f (x) = 5 .$

Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva i lijevo od dva, blizu su broja pet. Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva i desno od dva, blizu su broja osam.

Funkcija je definirana za $x = 2$ i $f (2) = 8 .$ Za brojeve $x$ manje od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $5 .$ Za brojeve $x$ veće od $2$ koji su blizu broja $2,$ vrijednosti funkcije blizu su broja $8 .$ Postoje dva različita broja kojima se vrijednosti funkcije približavaju kad se $x$ približava broju $2 .$ U ovom slučaju ne postoji limes funkcije $f$ kada $x$ teži k $2 .$

Zaključimo prethodna razmatranja. Uočite da vrijednost funkcije $f$ u točki $c$ u kojoj promatramo limes nije važna za određivanje limesa. Štoviše, funkcija može, ali ne mora biti definirana u $c .$ Za limes funkcije u $c$ važne su jedino vrijednosti funkcije za brojeve koji su blizu $c .$ Ako se one približavaju jednom broju, taj ćemo broj zvati limes funkcije $f$ u točki $c .$ Opišimo preciznije što znači "biti blizu" nekog broja.

U sljedećoj interakciji odaberite primjer $1,$ $2,$ $3$ ili $4$ . Za interval na osi $y$ odredite interval na osi $x$ koji se cijeli, osim možda broja $2,$ preslikava u interval na osi $y$ . Odaberite novi interval na osi $y$ pa ponovite postupak. Možete li uvijek pronaći interval na osi $x ?$

Zadatak 3.

Označite primjere iz prethodne interakcije za koje je točna rečenica:

Za svaki interval $l$ oko broja $5$ možemo pronaći interval $k$ oko broja $2$ koji se cijeli, osim možda broja $2,$ preslikava u interval $l .$

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Primjer 4

Za male intervale

$l$ neki se brojevi iz intervala

$k$ preslikavaju izvan intervala

$l$ bez obzira kako mali interval

$k$ odaberemo.

null

Na osnovi prethodnih razmatranja uvodimo definiciju limesa funkcije u točki.

Limes funkcije f u točki c

Za realni broj $L$ kažemo da je limes funkcije $f$ u točki $c$ ako za svaki interval $l$ oko $L$ postoji interval $k$ oko $c$ koji se cijeli, osim možda točke $c,$ preslikava u interval $l .$

Kutak za znatiželjne

Definiciju limesa funkcije u točki možemo izreći koristeći se matematičkim simbolima.

Promotrite sliku pa složite tvrdnje po redoslijedu tako da odgovaraju definiciji limesa funkcije u točki $c .$

Definicija limesa funkcije u točki za znatiželjne

$0 < |x - c| < δ$
za svaki $x$ za koji je
ako za svaki $ε > 0$
postoji $δ > 0$ takav da
vrijedi $|f (x) - L| < ε .$
Realni broj $L$ je
limes funkcije u točki $c$

Pomoć:

$f (x)$ je u intervalu $⟨L - ε, L + ε⟩$ ako i samo ako je $|f (x) - L| < ε .$

$x \neq c$ je u intervalu $⟨c - δ, c + δ⟩$ ako i samo ako je $0 < |x - c| < δ .$

null

Zadatak 4.

Odredite limes funkcije čiji je graf na slici u istaknutim točkama.

Označite točne odgovore.

$\lim_{x \to 1} f (x) =$
$\lim_{x \to 3} f (x) =$
$\lim_{x \to 6} f (x) =$
$\lim_{x \to 8} f (x) =$

null

Primjer 6.

Promotrite graf funkcije na slici. U točkama $a$ i $b$ limes ne postoji. Ali, budući da vrijednosti funkcije u okolini točke $a$ postaju izrazito velike, pisat ćemo $\lim_{x \to a} f (x) = \infty .$ Nacrtajte u bilježnici graf funkcije $g$ za koju je $\lim_{x \to c} g (x) = - \infty .$

U okolini točke $b$ vrijednosti funkcije postaju iznimno velike po modulu, ali su različitih predznaka pa ne možemo reći da funkcija teži u beskonačno ili u minus beskonačno.

Funkcije čiji je limes beskonačno

Računanje limesa funkcije u točki

Odredimo limes funkcije zadane pravilom pridruživanja. Pogledajte video.

00:00

Zadatak 7.

Izračunajte limese:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 81}{x - 3}$
$\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{x - 3}$
$\lim_{x \to 5} \frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

Funkcija je elementarna i definirana u točki $1$ pa je $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 81}{x - 3} = \frac{1 - 81}{1 - 3} = 40 .$
$\lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^{2} + 9) (x + 3) = 108 .$
$\lim_{x \to 5} \frac{x^{3} - 125}{x - 5} = \lim_{x \to 5} (x^{2} + 5 x + 25) = 75 .$

...i na kraju

Odigrajte igru memory.

Povećaj interaktivni prikaz

Procijenite svoje znanje

Realni broj $L$ limes je funkcije $f$ u točki $c$ ako za

interval

$l$ oko

postoji

interval

$k$ oko

koji

se cijeli, osim možda točke

,

preslikava u

.

null

$\lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9} =$

.

null

Na slici je graf funkcije $f .$ Uparite tako da vrijedi znak jednakosti.

$\lim_{x \to a} f (x) =$
$\lim_{x \to b} f (x) =$
$\lim_{x \to c} f (x) =$

null

Na slici je graf funkcije $f .$ Označite točke u kojima je funkcija neprekidna.

$a$

Ne, jer ne postoji limes funkcije u točki

$a .$

$b$

Ne, jer funkcija nije definirana u točki

$b .$

$c$

Ne, jer limes i vrijednost funkcije nisu jednaki.

$d$

null

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x}{x^{3} - x} =$

.

null

3.6 Limes funkcije

Na početku...

Limes u beskonačnosti

Primjer 1.

Istražimo

Kolekcija zadataka #1

Limes funkcije f u beskonačnosti

Kutak za znatiželjne

Određivanje limesa u beskonačnosti

Zadatak 1.

Kolekcija zadataka #2

Funkcije koje teže u beskonačno

Primjer 2.

Zadatak 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Limes funkcije u točki

Istražimo

Primjer 5.

Istražimo

Zadatak 3.

Limes funkcije f u točki c

Kutak za znatiželjne

Zadatak 4.

Primjer 6.

Neprekidne funkcije

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #3

Neprekidna funkcija

Zadatak 6.

Računanje limesa funkcije u točki

Zadatak 7.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: