5.1 Koordinatni sustav u ravnini

Promotrimo šahovsku algebarsku notaciju. Od čega se notacija sastoji? Najprije je oznaka za figuru koja se pomiče. Zatim slijede oznake početnog položaja i položaja na koji se figura pomiče. Zanimaju nas oznake položaja. Od čega se sastoje? Zapišite u bilježnicu  skupove s pomoću čijih se elemenata stvara oznaka položaja. Je li oznaka položaja element tih skupova?

Primjer 1.

Zadani su skupovi $A=\left\{a,b,c,d,e,f,g,h\right\}$ i $B=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}.$ Promotrimo oznaku f4 za položaj na šahovskoj ploči. Oznaka se sastoji od jednog elementa skupa $A$ i jednog elementa skupa $B.$ Takav ćemo novi element u matematici zapisivati ovako: $\left(f,4\right)$ i nazvati ga uređeni par. Pritom je $f$ prvi element para, a $4$ drugi. Promatrat ćemo skup svih uređenih parova u kojima je prvi element iz skupa $A,$ a drugi element iz skupa $B.$ Taj ćemo skup parova nazvati Kartezijev umnožak skupova $A$ i $B$ i označivati s $A\times B.$

Zadatak 2.

Zadani su skupovi $A=\left\{a,b,c,d,e,f,g,h\right\}$ i $B=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}.$ Označite točne odgovore.

Kartezijev umnožak skupova

Zapišimo definicije i oznake novih pojmova.

Zadatak 3.

Kada ćemo za dva uređena para reći da su jednaki? Označite točan odgovor.

Zaključimo.

Uređeni su parovi $\left(a,b\right)$ i $\left(c,d\right)$ jednaki ako i samo ako je $a=c$ i $b=d.$

Zadatak 4.

Zadani su skupovi $A=\left\{△,\odot \right\}$ i $B=\left\{p,q,r\right\}.$ Ispišite u bilježnicu sve elemente skupova $A\times B$ i $B\times A.$

Primjer 2.

Elemente Kartezijeva umnoška skupova možemo prikazati grafički. Prikažimo Kartezijev umnožak $A\times B$ iz prethodnog zadatka.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 5.

Na slici je grafički prikaz Kartezijeva umnoška $A\times B$ skupova $A=\left\{1,2,3,4\right\}$ i $B=\left\{1,2,3\right\}.$ Postavite elemente Kartezijeva umnoška na odgovarajuće točke.

 

  ​ $\left(1,1\right)$ 

$\left(\begin{array}{l}3,1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}1,3\end{array}\right)$

$\left(4,3\right)$

$\left(\begin{array}{l}2,2\end{array}\right)$

$\left(2,3\right)$

$\left(4,2\right)$

$\left(3,3\right)$

$\left(\begin{array}{l}1,2\end{array}\right)$

$\left(3,2\right)$

$\left(4,1\right)$

$\left(2,1\right)$ 

null

null

Zadatak 6.

U prethodnim smo zadatcima promatrali Kartezijev umnožak dvaju različitih skupova. Odredite Kartezijev umnožak $X\times X$ skupa $X=\left\{1,2,3\right\}$ sa samim sobom. U bilježnicu prikažite $X\times X$ grafički.

Rješenje

---

Zatvori

Promotrimo Kartezijev umnožak $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}$ skupa cijelih brojeva sa samim sobom. Skup $\mathbf{Z}$ je beskonačan skup pa je beskonačan i skup $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}$ svih uređenih parova cijelih brojeva. Zato ne možemo ispisati sve elemente skupa $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}$ pa skup $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}$ opisujemo njegovim svojstvom: $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z=}\left\{\left(m,n\right):m,n\in \mathbf{Z}\right\}.$

Grafički prikaz skupa $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}$ također se sastoji od beskonačno mnogo točaka pa crtamo samo neke i podrazumijevamo da se mreža točaka nastavlja beskonačno na sve četiri strane. Ali ispisivanje je uređenih parova uz neke od točaka mukotrpno i nepregledno, a ako ne zapisujemo parove, ne znamo kojoj točki pripada koji par. Zato na sliku dodajmo dva međusobno okomita pravca koji će označiti položaj parova čiji je prvi ili drugi element jednak $0.$

Zadatak 7.

Smjestite uređene parove na odgovarajuća mjesta u grafičkom prikazu Kartezijeva umnoška $\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}.$

 

$\left(\begin{array}{l}2,4\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}3,1\end{array}\right)$

$\left(1,-1\right)$

$\left(-2,-3\right)$ 

$\left(\begin{array}{l}-3,2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}-2,0\end{array}\right)$​

$\left(\begin{array}{l}0,3\end{array}\right)$

$\left(-3,-3\right)$

$\left(\begin{array}{l}0,0\end{array}\right)$

 

 

Kartezijev koordinatni sustav

Primjer 3.

Promotrimo Kartezijev umnožak $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ skupa realnih brojeva sa samim sobom. Elementi su Kartezijeva umnoška $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ svi uređeni parovi $\left(a,b\right)$ gdje su $a$ i $b$ realni brojevi.

Skup $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ beskonačan je, a neki od elemenata su na primjer: $\left(0.3,-2\right),$ $\left(-\sqrt{2},\frac{2}{3}\right),$ $\left(-\frac{\pi }{2},-5\right),$ $\left(1-\sqrt{3},\sqrt{5}\right),$ $\left(-3,7\right)...$

Kako ćemo grafički prikazati Kartezijev umnožak $\mathbf{R}\times \mathbf{R}?$ Odaberimo dva međusobno okomita brojevna pravca kao na sljedećoj slici.

Kažemo da smo u ravnini definirali Kartezijev koordinatni sustav. Svakoj točki u ravnini pripada jedan uređeni par Kartezijeva umnoška $\mathbf{R}\times \mathbf{R}.$ I obratno, svaki uređeni par određuje jednu točku u ravnini.

Zadatak 8.

Za zadani uređeni par odredite odgovarajuću točku u ravnini. Poredajte korake.

​ $\left(\begin{array}{l}-3.5,2\end{array}\right)$ 

• 

  
  
  

• 

  
  

• 

  
  
  

• 

  
  
  

• 

  
  
  
  

null

null

Zapišimo definicije i oznake novih pojmova.

Kartezijev koordinatni sustav u ravnini određuju dva međusobno okomita brojevna pravca koja nazivamo koordinatne osi. Horizontalnu os nazivamo os $x$ ili os apscisa. Vertikalnu os nazivamo os $y$ ili os ordinata.

Sjecište koordinatnih osi nazivamo ishodište koordinatnog sustava.

Svaki element $\left(x,y\right)$ Kartezijeva umnoška $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ određuje jednu točku $T$ ravnine i obratno. Kažemo da su $\left(x,y\right)$ koordinate točke $T$ i pišemo $T\left(x,y\right).$ Broj $x$ nazivamo apscisa točke $T,$ a broj $y$ je ordinata točke $T.$ ​

Kartezijev koordinatni sustav u ravnini:Kartezijev koordinatni sustav u ravnini određuju dva međusobno okomita brojevna pravca koja nazivamo koordinatne osi. Horizontalnu os nazivamo os $x$ ili os apscisa. Vertikalnu os nazivamo os $y$ ili os ordinata.

Sjecište koordinatnih osi nazivamo ishodište koordinatnog sustava.

Svaki element $\left(x,y\right)$ Kartezijeva umnoška $\mathbf{R}\times \mathbf{R}$ određuje jednu točku $T$ ravnine i obratno. Kažemo da su $\left(x,y\right)$ koordinate točke $T$ i pišemo $T\left(x,y\right).$ Broj $x$ nazivamo apscisa točke $T,$ a broj $y$ je ordinata točke $T.$ ​

Zanimljivost

Francuski matematičar René Descartes prvi je opisao pravokutni koordinatni sustav koji je po njemu dobio ime (Kartezijev sustav). Otkriće koordinatnog sustava omogućilo je rješavanje geometrijskih problema algebarskim metodama. Prikazivanje ovisnosti dviju veličina u koordinatnom sustavu omogućilo je daljnji razvoj matematike, osobito u području diferencijalnog računa. Koordinatni se sustav upotrebljava za prikazivanje u mnogim područjima, na primjer u fizici, astronomiji, tehnici i informatici.

Zadatak 9.

Prikažite točke zadane koordinatama. Odredite koordinate točke nacrtane u koordinatnom sustavu.

Kvadranti i točke na osima

Koordinatne su osi podijelile ravninu na četiri dijela. Nazivamo ih kvadranti.

Skupovi točaka u koordinatnom sustavu

Točke i skupovi točaka mogu u koordinatnom sustavu biti zadani geometrijskim svojstvima ili svojstvima njihovih koordinata. Riješimo nekoliko zadataka.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 12.

Zadana je točka $T\left(3,-5\right).$ Odredite koordinate točke:

1. $A$ ako su točke $T$ i $A$ simetrične s obzirom na os apscisa
2. $B$ ako su točke $T$ i $B$ simetrične s obzirom na os ordinata
3. $C$ ako su točke $T$ i $C$ simetrične s obzirom na ishodište.
   

Rješenje

1. $A\left(3,5\right)$
2. $B\left(-3,-5\right)$
3. $C\left(-3,5\right)$

---

Zadatak 13.

Označite skup čiji je prikaz u koordinatnom sustavu na slici.

1. 
   

   

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,y<2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x\ge 2,y=3\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):-3\le x+2<1,y=2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,-3<y-1\le 2\right\}$

   

    
   

   null

2. 
   

   

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,y<2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x\ge 2,y=3\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):-3\le x+2<1,y=2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,-3<y-1\le 2\right\}$

   

   null

3. 
   

   

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,y<2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x\ge 2,y=3\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):-3\le x+2<1,y=2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,-3<y-1\le 2\right\}$

   

   null

   null

4. 
   

   

   $\left\{\left(x,y\right):-3\le x+2<1,y=2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,-3<y-1\le 2\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x\ge 2,y=3\right\}$

   $\left\{\left(x,y\right):x=3,y<2\right\}$

   

   null

Zadatak 14.

Nacrtajte u bilježnicu koordinatni sustav. Prikažite u koordinatnom sustavu skupove točaka:

1. $\left\{\left(x,y\right):x=-2\right\}$
2. $\left\{\left(x,y\right):y\le 2\right\}$
3. $\left\{\left(x,y\right):x<3,y\ge -2\right\}.$
   

Rješenje

---

Zadatak 15.

Nacrtajte u bilježnicu koordinatni sustav. Prikažite u koordinatnom sustavu skup točaka

$\left\{\left(x,y\right):\left|x-3\right|\le 1,\left|y-1\right|>2\right\}.$

Rješenje

Rješenje pogledajte u animaciji.

---

Zatvori

Od geografske karte do GPS-a

Povezani sadržaji

Potreba određivanja i opisivanja položaja vrlo je stara. Ljudi su u povijesti na različite načine izrađivali karte. Postoji li sličnost između Kartezijeva koordinatnog sustava i geografskih karti? Klaudije Ptolomej (90. – 168. godine), starogrčki ili staroegipatski matematičar, zemljopisac, astronom, astrolog i glazbeni teoretičar predložio je primjenu koordinatnog sustava s paralelama za geografsku širinu i meridijanima za geografsku dužinu. Karte do tada poznatog svijeta nisu sačuvane u izvorniku nego u srednjovjekovnim prijepisima.

Projekt

Danas se pri određivanju položaja koristimo GPS-om. Potražite podatke o povijesti GPS-a, načinu rada i primjeni.  

Kutak za znatiželjne

Skakavac se kreće koordinatnom ravninom prema ovom pravilu:

Iz točke s koordinatama $\left(x,y\right)$ pomaknut će se u točku čije su koordinate $\left(2y-x,2x-y\right)$ ili $\left(3y-2x,3x-2y\right)$ ili $\left(y,x\right).$ Ako se nalazi u točki s koordinatama $\left(1,3\right),$ može li doći do točke s koordinatama:

• a) $\left(1000005,-1000003\right)$
  

• b) $\left(-1000000,1000000\right)?$
  

Zadatak 16.

Pronađite invarijante za naš zadatak. Mogu li se željene koordinate postići?