5.4 Površina trokuta - dodatni sadržaj

Formula za površinu trokuta u koordinatnom sustavu

Trokut kojemu su vrhovi točke $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right),C\left(x_3,y_3\right)$ smjestit ćemo radi jednostavnosti u prvi kvadrant. ​

Smjestite zadane trapeze na sliku tako da njihove površine računskim radnjama zbrajanja i/ili oduzimanja određuju površinu trokuta sa slike. Tu ćete sliku upotrebljavati i u sljedećih nekoliko zadataka.

Jeste li uočili vezu između površine zadanog trokuta ​ $p$ i površine triju zadanih trapeza $p_1,$ $p_2,$ $p_3?$

Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

$p=p_1+p_2+p_3$  

$p=p_1+p_2-p_3$

$p=p_1+p_3-p_2$

null

null

Izrazite osnovice i visinu svakog od triju trapeza s pomoću koordinata vrhova zadanog trokuta. Tražene dimenzije postavite na sredinu crte.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Za svaki od prethodnih trapeza odredite algebarski izraz koji računa njegovu površinu.

Podsjetnik:

$p\left(trapeza\right)=\frac{1}{2}\left(a+c\right)·v$  gdje su paralelne stranice $a\mathrm{i}c$ osnovice, a​ $v$ je visina trapeza.

$p_3=$	$\frac{1}{2}\left(y_1+y_3\right)\left(x_3-x_1\right)$
$p_1=$	$\frac{1}{2}\left(y_2+y_3\right)\left(x_2-x_3\right)$
$p_3=$	$\frac{1}{2}\left(y_1+y_2\right)\left(x_2-x_1\right)$

null

null

Zadatak 2.

Izračunajte svaki od prethodnih algebarskih izraza.

Razvrstajte izračunane algebarske izraze prema površini koju računaju.

$\frac{1}{2}\left(x_2{y}_1+x_2{y}_2-x_1{y}_1-x_1{y}_2\right)$

$\frac{1}{2}\left(x_2{y}_2+x_2{y}_3-x_3{y}_2-x_3{y}_3\right)$

$\frac{1}{2}\left(x_3{y}_1-x_1{y}_1+x_3{y}_3-x_1{y}_3\right)$

$p_1$

$p_2$

$p_3$​

null

null

Zadatak 3.

Pokušajte složiti korake koji slijede u izvodu formule za površinu trokuta s vrhovima $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right),C\left(x_3,y_3\right).$

Posložite redne brojeve onim redoslijedom kojim se pojavljuju sljedeći koraci u izvodu.

a. $\begin{array}{l}p=\frac{1}{2}\left(x_1{y}_2-x_1{y}_3+x_2{y}_3-x_2{y}_1+x_3{y}_1-x_3{y}_2\right)\end{array}$

b. $\begin{array}{l}p=\frac{1}{2}\left(x_3{y}_1+x_3{y}_3-x_1{y}_1-x_1{y}_3\right)+\frac{1}{2}\left(x_2{y}_2+x_2{y}_3-x_3{y}_2-x_3{y}_3\right)-\end{array}$

$-\frac{1}{2}\left(x_2{y}_1+x_2{y}_2-x_1{y}_1-x_1{y}_2\right)$

c. ​ $\begin{array}{l}p=\frac{1}{2}\left(x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right)\end{array}$

d. $\begin{array}{l}p=p_1+p_3-p_2\end{array}$

• b.
• a.
• d.
• c.

null

null

Zatvori

Očito površinu zadanog​ $△ABC$ možemo računati primjenjujući formulu

$\begin{array}{l}p(△ABC)=\frac{1}{2}\left(x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right)\end{array}$

Što ako promijenimo redoslijed označivanja vrhova ili ako nije cijeli trokut u prvom kvadrantu? Što će se dogoditi s vrijednošću površine?

Zadatak 4.

U sljedećem interaktivnom zadatku, primjenjujući gornju formulu, izračunajte površinu trokuta s točnošću na jednu decimalu i usporedite svoje rješenje s vrijednošću površine koju će dati računalo.

Što uočavate?​ Jeste li svaki put dobili istu vrijednost kao i računalo?

Ako ste točno računali, dobili ste istu vrijednost površine kao i računalo ili suprotnu vrijednost koja je negativnog predznaka.

Pogledajmo što se događa ako promijenimo redoslijed označivanja vrhova.

Neka su vrhovi trokuta proizvoljne točke $A(a,b),B(c,d),C(e,f).$

Ako je $\begin{array}{l}\left(a,b\right)=\left(x_1,y_1\right),\left(c,d\right)=\left(x_2,y_2\right),\left(e,f\right)=\left(x_3,y_3\right)\end{array},$ tada je

$\begin{array}{l}p\left(△ABC\right)=\frac{1}{2}\left(a\left(d-f\right)+c\left(f-b\right)+e\left(b-d\right)\right)\end{array},$

a ako je $\begin{array}{l}\left(c,d\right)=\left(x_1,y_1\right),\left(a,b\right)=\left(x_2,y_2\right),\left(e,f\right)=\left(x_3,y_3\right)\end{array},$ tada je

$\begin{array}{l}p(△ABC)=\frac{1}{2}\left(c\left(b-f\right)+a\left(f-d\right)+e\left(d-b\right)\right)==\frac{1}{2}\left(-a\left(d-f\right)-c\left(f-b\right)-e\left(b-d\right)\right)=\\ =-\frac{1}{2}\left(a\left(d-f\right)+c\left(f-b\right)+e\left(b-d\right)\right)\end{array}.$

Zamjenom redoslijeda vrhova $A$ i $B$ dobili smo suprotnu vrijednost površine.

Pokažite da se i za ostale izmjene redoslijeda označivanja vrhova dobiju iste ili suprotne vrijednosti površine.

Kako bismo osigurali da površina ima nenegativnu vrijednost, u dobivenoj ćemo formuli upotrebljavati apsolutnu vrijednost.

Tada je $\begin{array}{l}p(△ABC)=\frac{1}{2}\left|x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right|.\end{array}$

Možemo li tu formulu primjenjivati bez obzira na položaj trokuta u koordinatnom sustavu?

Što se događa ako apscisi svakog vrha trokuta dodamo, primjerice, broj $2,$ a ordinati svakog vrha dodamo, primjerice, $-5?$

U interaktivnom zadatku mijenjajte brojeve koje dodajete apscisi i ordinati te promatrajte što se događa s trokutom i njegovom površinom.

Zadatak 5.

Što zaključujete?

Kutak za znatiželjne

Provjerite i općenito, primjenjujući formulu za površinu trokuta zadanog koordinatama njegovih vrhova, da je površina trokuta s vrhovima

$\begin{array}{l}A´\left(x_1+a,y_1+b\right),B´\left(x_2+a,y_2+b\right),C´\left(x_3+a,y_3+b\right),a,b\in \mathbf{R}\end{array}$

jednaka površini trokuta s vrhovima

$A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right),C\left(x_3,y_3\right).$

Površinu trokuta kojemu su koordinate vrhova $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right),C\left(x_3,y_3\right)$ računamo prema formuli

$\begin{array}{l}p\left(△ABC\right)=\frac{1}{2}\left|x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right|.\end{array}$

Formulu ćete lako upamtiti ako uočite izmjenu indeksa u varijablama kojima smo označili koordinate vrhova. Pogledajmo u animaciji.

Zadatak 6.

Riješite zadatke.

Primjer 1.

Odredimo točku $A$ na osi​ $x$ tako da površina trokuta $ABC$ iznosi 15 kvadratnih jedinica. Koordinate vrhova $B$ i $C$ su $B\left(1,3\right),C\left(-4,-2\right).$

Promotrimo sliku.

Uočimo da postoje dvije točke na osi​ $x,$ $A\mathrm{i}D,$ za koje dani trokut ima površinu $15.$ Zašto je tako? ​

Riješimo zadatak računski primjenjujući formulu za površinu.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 7.

U sljedećim zadatcima primijenite formulu za površinu trokuta u koordinatnom sustavu.

1. Vrhovi trokuta $ABC$ su $A\left(-2,5\right),B\left(4,8\right),C\left(2,y\right)$ $.$ Ako je njegova površina jednaka $30,$ koje vrijednosti može imati $y?$ ​

   $-4$

   $-3$

   $0$

   $17$

   $18$

   

   null

   null

2. Vrhovi trokuta $ABC$ su​ $A(10,-30),B(12,-2),$ a vrh $C$ leži na osi ordinata. Ako je površina trokuta jednaka $50,$ koordinate vrha $C$ mogu biti:

   $\left(-220,0\right)$

   $\left(-120,0\right)$

   $\left(0,-120\right)$

   $\left(-120,-220\right)$

   $\left(0,-220\right)$

   

   null

   null

Zadatak 8.

Površina trokuta $ABC$ je $10,$ a njegovi su vrhovi $A(-3,5),B(3,0),C(x,y).$

Odredite koordinate vrha​ $C$ tako da:

1) leži na osi​ $x$

2) leži na osi​ $y$

3) ima istu apscisu i ordinatu

4) ima apscisu suprotnu ordinati.

Razvrstajte uređene parove u skupine A), B), C), D) tako da predstavljaju koordinate vrha ​ $C$ opisanog tim istim redom pod 1), 2), 3) i 4).

$\left(-35,35\right)$  

$\left(-1,0\right)$ ​

$\left(\frac{35}{11},\frac{35}{11}\right)$

$\left(5,-5\right)$

$\left(0,-\frac{5}{6}\right)$  

$\left(0,\frac{35}{6}\right)$ 

$\left(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11}\right)$ 

$\left(7,0\right)$ 

1) ​

2)

 3)

4)

null

null

Zadatak 9.

Izračunajte površinu trokuta zadanog vrhovima​ $A(0,3),B(2,-1),C(-1,5).$

Možete li nacrtati trokut s površinom koju ste izračunali? 

Nacrtajte u bilježnicu točke​ $A,B,C$ u koordinatnom sustavu.

Rješenje

Površina je danog trokuta $0.$ Trokut površine $0$ ne možemo nacrtati jer točke s pomoću kojih je zadan leže na istom pravcu, odnosno kolinearne su.

---

Zatvori

Za točke koje leže na istom pravcu kažemo da su kolinearne točke.

​Ako su točke $A,B\mathrm{i}C$ kolinearne, površina trokuta​ $ABC$ je nula. Vrijedi i obratno:

ako je ​ $p(△ABC)=0,$ točke $A,B\mathrm{i}C$ su kolinearne.

Zadatak 10.

Odredite nepoznate koordinate točaka​ $A(5,-a),B(a-3,2),C(a,1),a\in \mathbf{R}$ tako da one budu kolinearne.

Površina nepravilnog poligona u koordinatnom sustavu

Kako ćemo izračunati površinu proizvoljnog poligona, primjerice poligona sa slike?

Prva je ideja podijeliti poligon na trokute i primijeniti formulu za površinu trokuta koju smo upravo naučili. Postoji li još neki jednostavan i pregledniji način?

Krenimo redom od jednostavnijih oblika.

Zadatak 11.

Izračunajte površinu trokuta kojemu je jedan vrh u ishodištu.

1. Ako je $A\left(0,0\right),B\left(4,2\right),C\left(2,7\right),$ površina je trokuta $ABC$ .
   
2. Ako je $A\left(-3,2\right),B\left(0,0\right),C\left(2,-5\right),$ površina je trokuta $ABC$ .

null

null

Primjer 2.

Izračunajmo i općenito površinu trokuta kojemu su vrhovi​ $A(0,0),B(a,b),C(c,d).$

$\begin{array}{l}p\left(△ABC\right)=\frac{1}{2}\left|0\left(b-d\right)+a\left(d-0\right)+c\left(0-b\right)\right|=\frac{1}{2}\left|ad-bc\right|\end{array}$

Uočimo pravilo unakrsnog množenja koordinata vrhova $B\mathrm{i}C.$ ​

Ako zamijenimo smjer promatranja vrhova dok računamo površinu, od​ $C$ prema​ $A$ ili obrnuto, površina može dobiti negativan predznak, zato i u tom slučaju moramo staviti znak apsolutne vrijednosti.

Površinu trokuta kojemu su vrhovi ​ $A(0,0),B(a,b),C(c,d)$

$\begin{array}{l}p\left(\Delta ABC\right)=\frac{1}{2}\left|ad-bc\right|=\frac{1}{2}·\left|\begin{array}{lll}a& & b\\ & \bcancel{/}& \\ c& & d\end{array}\right|\end{array}$

Primjer 3.

Možemo li primijeniti to pravilo na poligone?

Pogledajmo za četverokut.

Ako su točke $A(0,0),B(5,4),C(2,3),D(-3,5)$ vrhovi četverokuta sa slike, njegovu površinu možemo izračunati primjenjujući prethodno pravilo na dva trokuta: $△ABC\mathrm{i}△ACD.$

$\begin{array}{l}p\left(ABCD\right)=p(△ABC)+p\left(△ACD\right)=\frac{1}{2}\left(5·3-4·2\right)+\frac{1}{2}\left(2·5-3·\left(-3\right)\right)=13\end{array}$

Izostavili smo apsolutnu vrijednost jer su vrijednosti površina bile pozitivne.

Metoda vezica

​

Sličan postupak možemo provesti za bilo koji poligon, pravilni ili nepravilni, ako iz svakog njegova vrha izlaze točno dva brida, odnosno ako je zatvoren i nema presijecanja.

Ideja je površinu poligona računati s pomoću površine trokuta kojemu je jedan vrh u ishodištu.

Pogledajmo na još jednom primjeru poligona.

Primjer 4.

Izračunajmo površinu peterokuta sa slike.

Njegovi su vrhovi: $\begin{array}{l}A(-2,1),B(3,2),C(4,7),D(-1,5),E\left(-5,7\right).\end{array}$

Počnimo s trokutima u smjeru od ishodišta prema vrhu $\begin{array}{l}B.\end{array}$

$\begin{array}{l}p\left(ABCDE\right)=p\left(OBC\right)+p\left(OCD\right)+p\left(ODE\right)+p\left(OEA\right)-p\left(OBA\right)=\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}(\left(3·7-2·4\right)+\left(4·5-7·\left(-1\right)\right)+(-1·7+5·\left(-5)\right)-\left(3·1-(-2)·2\right))= \end{array}$

​ $=\frac{1}{2}·60=30$ 

Od zbroja površina niza trokuta s jednim vrhom u ishodištu (prvi u nizu obojen je ružičastom bojom) oduzeli smo površinu žutog trokuta i dobili površinu zadanog peterokuta.

Taj niz računanja površina trokuta možemo zapisati na zanimljiv način i pregledno.

Koordinate svih vrhova ispišemo redom jedne ispod drugih, a završavamo s koordinatama početnog vrha.

Ako pogledamo prikaz na slici, dobit ćemo pravilo koje se lako pamti i primjenjuje jer podsjeća na vezice za cipele i način vezivanja križanjem. Zato se ta metoda naziva još i metoda vezica.

Uočite da se površine trokuta koje redom računamo u danoj tablici ili shemi nalaze dva po dva reda jedna ispod druge (prikazano uokvireno).

U sljedećoj je animaciji metoda prikazana korak po korak za poligon s vrhovima

$\begin{array}{l}A(4,-2),B(6,7),C(3,4),D(1,9),E(-2,6),F(-6,7),G(-1,-2),H(1,-1).\end{array}$

Kutak za znatiželjne

Zapišite u bilježnicu pravilo u metodi vezica za opći slučaj ako su vrhovi poligona redom točke $A_1(x_1,y_1),A_2\left(x_2,y_2\right)...A_n\left(x_n,y_n\right)$ i pokušajte objasniti metodu.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 12.

 Izračunajte površinu poligona sa slike.

  Rješenje

$p=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}5& -2\\ 5& 3\\ 3& 6\\ 3& 3\\ 0& 4\\ 1& 6\\ -3& 4\\ -5& 5\\ -4& -1\\ 3& -3\\ 2& 0\\ 5& -2\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|68-\left(-46\right)\right|=57$ kvadratnih jedinica

---

Zadatak 13.

Izračunajte površinu poligona nacrtanog ispod podnaslova: Površina nepravilnog poligona u koordinatnom sustavu

Rješenje

$p=\frac{145}{2}$ kvadratnih jedinica

---

Zatvori