Matematika 1 - 5.5 Primjena koordinatnog sustava

Na fotografiji je Park Guell u Barceloni. — Park Guell, Barcelona

Obratite pozornost na označeni pravokutnik.

Kada smo označeni dio fotografije uvećali, slika se raspala na mnoštvo kvadratića. Tako izgleda prikaz slike na ekranu. Slika je složena od tisuća malih kvadratića koji se nazivaju pikseli. Veličina piksela je $0.2 \times 0.2 mm$ ili manje na ekranima visoke rezolucije. Tipične dimenzije ekrana su $1 024 \times 768$ piksela. Ekran je definiran kao Kartezijev koordinatni sustav s ishodištem u gornjem lijevom kutu s pozitivnim koordinatnim osima. Pikseli su smješteni u cjelobrojnim koordinatama.

Zabavimo se i mi crtanjem u koordinatnom sustavu.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Upišite koordinate točaka koje nedostaju i pojavit će se zanimljiv crtež.

Zadatak 2.

Procijenite površinu koju zauzima riba iz prethodnog zadataka u koordinatnom sustavu. Znate li izračunati površinu?

Uočite da riba stane u kvadrat $10 \times 10 .$ Ako uspoređujete površinu unutar i izvan ribe u kvadratu, možete zaključiti da su te dvije površine otprilike jednake pa je dobra procjena za površinu ribe $50 .$

Za računanje površine možete lik dijeliti na trokute i pravokutnike kojima se površina može jednostavno izračunati. Ili primijeniti metodu vezica.

$p = 52.5$

Zatvori

Praktična vježba

Nacrtajte sami u koordinatnom sustavu pojednostavnjeni crtež prema vlastitom izboru upotrebljavajući samo dužine. Procijenite i izračunajte površinu dobivenoga lika.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Dvije ekipe A i B krenule su u lov na blago. Ekipa A išla je $500$ metara u smjeru zapada pa $300$ metara u smjeru juga te stigla do obale rijeke. Ekipa B krenula je u smjeru sjevera, nakon $300$ metara skrenula desno te nakon $400$ metara naišla na skriveno blago. Koliko je ekipa A udaljena od skrivenoga blaga?

$d = \sqrt{{(4 + 5)}^{2} + {(3 + 3)}^{2}} = \sqrt{117} \approx 10.82$

Ekipa A udaljena je od blaga $10 820$ metara.

Zadatak 4.

Snalazite li se u koordinatnom sustavu?

Snalazite li se u koordinatnom sustavu?

Koristeći skicu, odredite koordinate ostalih vrhova trokuta i polovišta treće stranice. Točka $A$ prikazana u koordinatnom sustavu je vrh, a točke $E$ i $G$ polovišta su stranica $\bar{A B}$ i $\bar{A C}$ trokuta $A B C .$
S pomoću skice odredite koordinate ostalih vrhova i polovišta.
$B ($ , $),$

$C ($ , $)$ ,

$F ($ , $)$ .

null

null
U koordinatnom su sustavu prikazana dva susjedna vrha kvadrata.

Koje od navedenih točaka mogu biti vrhovi toga kvadrata?

$C (- 5, - 4)$

$D (- 4, 4)$

$E (- 1, 4)$

$F (3, 2)$

$G (2, 3)$

$H (- 1, - 6)$

null

null

Zatvori

Pristup geometriji preko koordinatizacije ravnine naziva se analitička geometrija. Probleme koji su u običnoj euklidskoj geometriji rješivi, ali je ta metoda rješavanja složena, jednostavnije ćemo riješiti analitičkom geometrijom. Relacije među elementima modelirat ćemo algebarski i rješavati dobivene jednadžbe.

Zanimljivost

Na slici je Rene Descartes. — René Descartes

Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične) euklidske geometrije ravnine i prostora primjenjujući algebarske metode. Njezin tvorac, René Descartes (1596. – 1650.), lat. Renatus Cartesius, u svojemu ju je djelu napisanom 1619., a objavljenom tek 1637. godine nazvao i metodom koordinata. Osnovna ideja analitičke geometrije je da se točke ravnine i prostora opisuju koordinatama, dakle, parovima ili trojkama realnih brojeva, a ostali objekti (pravci, ravnine, krivulje, plohe itd.) jednadžbama. Prema tome, ispitivanje odnosa medu objektima svodi se na rješavanje sustava jednadžbi. Analitička geometrija je vrlo raširena metoda proučavanja euklidske geometrije i prisutna je u mnogim granama matematike. Povijesno je imala velik utjecaj i na razvoj diferencijalnog računa. Izvor:

Četverokuti u koordinatnom sustavu

Primjer 1.

Dokažimo da je točkama $A (3, 2),$ $B (8, 7),$ $C (9, 14)$ i $D (4, 9)$ zadan romb.

Za rješavanje toga primjera treba poznavati osnovnu činjenicu o rombu, a to je da romb ima sve četiri stranice jednake duljine. To znamo izračunati.

$\begin{array}{l} d (A, B) = \sqrt{{(8 - 3)}^{2} + {(7 - 2)}^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} \end{array}$

$\begin{array}{l} d (B, C) = \sqrt{{(9 - 8)}^{1} + {(14 - 7)}^{2}} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \end{array}$

Analogno za ostale dvije stranice dobivamo $|C D| = |A D| = \sqrt{50},$ što znači da su sve stranice jednakih duljina, odnosno da zadane točke određuju romb.

Zadatak 5.

Odredite polovišta stranica romba određenog točkama $A (3, 2),$ $B (8, 7)$ , $C (9, 14)$ i $D (4, 9) .$

Polovište stranice $\bar{A B}$ je točka $E ($ , $)$ .

null

null
Polovište stranice $\bar{B C}$ je točka $F ($ , $) .$

null

null
Polovište stranice $\bar{C D}$ je točka $G ($ , $)$ .

null

null
Polovište stranice $\bar{A D}$ je točka $H ($ , $)$ .

null

null

Primjer 2.

Dokažimo da je četverokut određen polovištima stranica romba iz prethodnog primjera paralelogram. Za dokazivanje tvrdnje koristit ćemo se činjenicom da se dijagonale paralelograma raspolavljaju. Primjenjujući formulu za polovište dužine nalazimo polovište dijagonale $\bar{E G},$ odnosno točku $S (6, 8) .$ Računanjem polovišta dijagonale $\bar{F H}$ dolazimo do iste točke $S (6, 8) .$ Znači da se dijagonale četverokuta sijeku u jednoj točki koja je polovište i jedne i druge dijagonale, tj. dijagonale se raspolavljaju. Time smo pokazali da je četverokut određen polovištima romba paralelogram.

Kutak za znatiželjne

Kada nacrtanom četverokutu izračunate koordinate polovišta stranica, dobit ćete upisani četverokut. Mijenjajte položaj vrhova $A, B, C$ i $D .$ Istražite upisani četverokut. Uočavate li neku pravilnost?

Dokažite tvrdnju.

Polovišta stranica konveksnoga četverokuta vrhovi su paralelograma.

Dokaz: Neka su $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ i $D (x_{4}, y_{4})$ vrhovi četverokuta.

Polovišta njogovih stranica su točke $A (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}),$ $B (\frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{2} + y_{3}}{2}),$ $C (\frac{x_{3} + x_{4}}{2}, \frac{y_{3} + y_{4}}{2})$ i $D (\frac{x_{1} + x_{4}}{2}, \frac{y_{1} + y_{4}}{2}) .$

Kako bismo dokazali da su to vrhovi paralelograma, dovoljno je dokazati da se dijagonale raspolavljuju. Izračunajmo polovišta dijagonala.

$\begin{array}{l} P_{\bar{A C}} (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4}}{4}) \end{array}$ i $\begin{array}{l} P_{\bar{B D}} (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4}}{4}) \end{array}$

odnosno $P_{\bar{A C}} = P_{\bar{B D}}$ pa je tvrdnja dokazana.

Trokut u koordinatnom sustavu

Podsjetite se.

Težišnica je trokuta dužina koja spaja

polovište

stranice s nasuprotnim

vrhom

. Težište dijeli težišnicu u omjeru

računajući od vrha. Težišnica dijeli trokut na dva dijela

jednakih

površina.

null

Primjer 3.

Zadane su točke $A (- 3, - 7),$ $B (4, - 1)$ i $C (- 3.5, 5) .$ Izračunajmo duljine težišnica trokuta $A B C .$

Da bismo izračunali duljinu težišnice $t_{\bar{A B}},$ prvo ćemo pronaći koordinate polovišta $E$ stranice $\bar{A B} .$

$E (\frac{- 3 + 4}{2}, \frac{- 7 - 1}{2}) = E (\frac{1}{2}, 4)$

Sada računamo udaljenost točaka $C$ i $E .$

$\begin{array}{l} |t_{\bar{A B}}| = \sqrt{{(\begin{array}{l} 0.5 + 3.5 \end{array})}^{2} + {(- 4 - 5)}^{2}} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9.85 \end{array}$

Na sličan način dolazimo i do duljina ostalih dviju težišnica.

$|t_{\bar{B C}}| = \sqrt{91.6525} \approx 9.57,$

$|t_{\bar{A C}}| = 7.25 .$

Popunite prazna mjesta.

Srednjica je trokuta dužina koja spaja

polovišta

dviju stranica trokuta.

Usporedna

je s trećom stranicom, a njezina je duljina jednaka

polovini

duljine te stranice.

null

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Za trokut $A B C,$ gdje je $A (- 3, 7),$ $B (4, - 1)$ i $C (- 3.5, 5),$ izračunajte duljine srednjica.

$|s_{\bar{A B}}| = \frac{1}{2} \sqrt{85} \approx 4.61$

$|s_{\bar{B C}}| = \frac{1}{2} \sqrt{92.25} \approx 4.80$

$|s_{\bar{A C}}| = \sqrt{144.25} \approx 6.01$

Zadatak 11.

Zadana su dva vrha trokuta $A (- 3, 5)$ i $B (27, - 13)$ i točka $M (10, 10),$ polovište stranice $\bar{A C} .$ Kolika je površina trokuta $A B C ?$

$96$

$182$

$368$

$384$

Pomoć:

$p_{A B C} = 2 \cdot p_{A B M}$

null
Kolika je duljina visine $v_{b}$ trokuta $A B C$ ako je $A (7, 3),$ $B (11, 8)$ i $C (0, 14) ?$

$6.06$

$6.4$

$13.04$

null

Zatvori

...i na kraju

Na slici je ilustracija zadatka s rombom.

Riješite ovaj geometrijski zadatak s pomoću analitičke geometrije.

Stranice romba produžite kao na skici za duljinu stranice romba. Spojite dobivene vrhove. Koliko je puta površina dobivenog četverokuta veća od površine romba?

Za početak ćemo zadati vrhove romba $A (2, 1),$ $B (7, 3),$ $C (9, 8)$ i $D (4, 6) .$

Pokušajte poopćiti zaključak.

Na slici je romb u koordinatnom sustavu.

Izračunamo površinu romba $p_{r} = 15$ pa površinu paralelograma $p_{p} = 75 .$ U ovom slučaju zaključimo da je površina paralelograma $5$ puta veća od površine romba.

Izračunajte za još neke konkretne slučajeve pa pokušajte pronaći opću formulu.

Pokušajte dokazati koristeći se geometrijom.

5.5 Primjena koordinatnog sustava

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Praktična vježba

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zanimljivost

Četverokuti u koordinatnom sustavu

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Trokut u koordinatnom sustavu

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

...i na kraju