x
Učitavanje
  1. Matematika 1
  2. 5. Koordinatni sustav u ravnini
  3. Aktivnosti za samostalno učenje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Što ću naučiti?
    Samostalno učenje
    Procijenite svoje znanje
    Sadržaj jedinice
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Crtež pojasa za spašavanje.

    Zbog jakog vjetra, morskih struja, a najviše zbog ljudskog neiskustva i neopreznosti, ljeti se često događaju nesreće na moru. Organiziraju se traganja i spašavanja brodova i ljudi, a najčešće „hrabrih ” turista.

    Lučka kapetanija Split zaprimila je dojavu o nestanku stranog turista u Bračkom kanalu. Krenuli su u potragu trima brodovima, od kojih je jedan bio u Milni, na otoku Braču, jedan u Rogaču, na otoku Šolti, a treći je krenuo iz Splita. Pred njima je težak zadatak. Krenimo u potragu!

    Potraga

    Zadatak 1.

    Jedinična dužina na karti predstavlja 5 km u stvarnosti. Ishodište koordinatnog sustava je Split. Brodove ćemo nazvati prema mjestima iz kojih su krenuli u potragu i označiti s M , R i S .

    1. Odredite kooordinate početnih pozicija brodova.

      brod Milna
      		0 , - 3.5
      brod Split
      		- 2 , - 2  
      brod Rogač
      		0 , 0
      null
      null

    2. Brod Split plovio je 15 km prema zapadu i 5 km prema jugu. Brod Rogač plovio je 15 km ravno prema istoku, a brod Milna plovio je 2.5 km prema zapadu i 10 km prema sjeveru. Odredite njihove nove pozicije u odnosu prema Splitu.  

      brod Split 2
      		( - 0.5 , - 1.5 )
      brod Milna 2
      		- 3 , - 1  
      brod Rogač 2
      		1 , - 2
      null
      null
    3. Koliko su brodovi Rogač i Milna međusobno udaljeni na novim pozicijama? Zaokružite na jednu decimalu. km .
      null
      null

    4. Prema signalima i dojavama ribara područje koje trebaju pretražiti proteže se od Duća, preko Splita, Drvenika, Rogača, Milne, pozicije O koja je 2.5 km zapadno i 7.5 km sjeverno od Milne, Postira i nazad do Duća. Ako svaki od brodova može iscrpno pretražiti 4 kvadratna kilometra na sat, mogu li pretražiti cijelo područje u 24  sata?

      Na slici je ucrtano područje pretrage.

       

      Postupak:

      Površina područja pretrage iznosi približno 11.4 kvadratne jedinice, što je približno 285 km 2 .

      Brodovi mogu pretražiti dano područje jer za 24 sata mogu ukupno pretražiti 288 km 2 .

    5. Jedan je ribar pronašao iznemoglog turista kako pluta u moru negdje u smjeru od Postira prema Kaštel Starom i to na poziciji koja je jednako udaljena od Kaštel Starog i Postira. Pozicija je turista u odnosu prema Splitu .

    6. Koji je brod sada najbliži toj poziciji?

      Pomoć:

      Udaljenost je između broda Rogač i turista približno 6.37 km ( 1.2747 jediničnih dužina).

      null

    Svega pomalo

    Kolekcija zadataka 1

    Zadatak 2.

    1. Sve točke na osi ​ x imaju koordinatu:

      null
      null

    2. Označite sve uređene parove koji predstavljaju koordinate točaka jednako udaljenih od koordinatnih osi.

      null
      null

    3. Točke T ( a , b ) i S ( c , d ) ​simetrične su s obzirom na os x . Označite točne tvrdnje.

      null
      null

    4. T​očke M ( a , b ) i N ( c , d )  simetrične su s obzirom na ishodište.
      Označite točne tvrdnje.

      null
      null

    5. Ako su točke ​ A , B , C kolinearne, označite točne tvrdnje.

      null
      null

    Zadatak 3.

    Sustav nejednadžbi koji određuje prikazani skup točaka je:

    Na slici je pravokutnik u koordinatnom sustavu. Stranice su usporedne s koordinatnim osima. Točke koje pripadaju pravokutniku imaju apscisu između -2 i 0 i ordinatu između 0 i 3.

    null
    null

    Zadatak 4.

    Na slici je četverokut u koordinatom sustavu.

    Izračunajte površinu četverokuta sa slike.

    Površina je 57  kvadratnih jedinica.

    Zadatak 5.

    Točke​ A ( - 1 , 2 ) , B 5 , - 2 su dva susjedna vrha paralelograma A B C D , a točka S ( 0 , 4 )  je sjecište njegovih dijagonala.

    1. Tada je:
      C( , ),
      D( , ).
      null
      null
    2. Površina paralelograma iznosi .
      null
      null
    3. Duljina najmanje srednjice trokuta ABC iznosi .
      null
      null
    Zatvori

    Kolekcija zadataka 2

    Zadatak 6.

    Polovišta stranica A B ¯ , B C ¯ , C A ¯ trokuta A B C su redom točke ​ P ( - 1 , 5 ) , Q ( 0 , - 4 ) , R ( 2 , 8 ) . Izračunajte površinu trokuta A B C .

    Površina trokuta A B C je 60  kvadratnih jedinica.

    Povezani sadržaji

    Analitičku geometriju i koordinatnu metodu možemo, kao što ste vidjeli, primjenjivati za dokazivanje matematičkih tvrdnji i rješavanje zadataka.

    No katkad, iako nam izgleda kao „sigurna ” metoda koja nas vodi rješenju, koordinatna metoda može biti znatno složenija i napornija za provođenje u usporedbi s nekom drugom metodom.

    Uvjerite se u to u zadatku koji slijedi.

    Zadatak 7.

    Ako su točke P , Q , R redom polovišta stranica trokuta A B ¯ , B C ¯ , C A ¯ , istražite i objasnite u kakvu su odnosu:

    1. duljine dužina P Q ¯ , Q R ¯ , P R ¯  i duljine dužina A B ¯ , B C ¯ , C A ¯
    2. površine trokuta ​ △ P B Q , △ Q C R , △ R A P i △ P Q R
    3. površine trokuta △ P Q R i △ A B C ?

    Riješite prvo zadatak koristeći se koordinatama točaka ​ P ( - 1 , 5 ) , Q ( 0 , - 4 ) , R ( 2 , 8 ) i rješenjem iz prethodnog zadatka, a zatim i općenito, za proizvoljni trokut.

    1. Dužine P Q ¯ , Q R ¯ , P R ¯ srednjice su trokuta A B C pa su njihove duljine jednake redom polovini duljina stranica A C ¯ , A B ¯ , B C ¯ . ​

    2. Površine su trokuta ​ △ P B Q , △ Q C R , △ R A P i △ P Q R jednake.​

    3. p △ P Q R = 1 4 p △ A B C . ​

    Ako ste primjenjivali koordinatnu metodu za rješavanje zadatka s konkretnim brojevima, jednostavno ste dobili rješenje. U općem je slučaju puno raspisivanja i računanja s algebarskim izrazima pa je praktičnije primjenjivati neke činjenice i geometrijska svojstva u dokazu. Ako ste ih zaboravili, ponovit ćemo ih i proširiti u modulima koji slijede.

    Zatvori

    Pickova formula

    Na slici je fotografija mreže.

    Ako u koordinatnom sustavu nacrtamo sve točke čije su koordinate cijeli brojevi, dobit ćemo kvadratnu mrežu, a nacrtane točke nazivamo čvorovi mreže.

    Spajamo li redom niz točaka tako da se dobivene linije ne presijecaju i vratimo se u početnu točku, dobit ćemo jednostavan poligon kojemu se u svakom vrhu ili čvoru sastaju samo dvije linije. Spojnice dvaju vrhova ili čvorova još nazivamo bridovi poligona.

    Neki će čvorovi mreže pritom biti na nacrtanoj liniji koju ćemo nazvati rub poligona, neki unutar poligona, a neki izvan poligona. Čvorove na rubu (i izvan) ispunit ćemo bojom („pune” točke), a u unutrašnjosti bijelom bojom („prazne” točke).

    Kolekcija zadataka 3

    Zadatak 8.

    Nacrtani su poligoni u kvadratnoj mreži.

    Na slici je prikaz nekoliko poligona u kvadratnoj mreži.

    1. Koliko ima čvorova na rubu, a koliko unutar svakog od poligona? ​
    2. Izračunajte površinu prikazanih poligona. Kakav ste broj dobili za površinu?

    Broj ćemo rubnih čvorova označivati s r ili r ( P ) , a broj unutarnjih s u ili u ( P ) .

    Tada je:

    r ( P 1 ) = 3 , u ( P 1 ) = 0 , p ( P 1 ) = 0.5

    r ( P 2 ) = 4 , u ( P 2 ) = 0 , p ( P 2 ) = 1

    r ( P 3 ) = 8 , u ( P 3 ) = 4 , p ( P 3 ) = 7

    r ( P 4 ) = 4 , u ( P 4 ) = 0 , p ( P 4 ) = 1

    r ( P 5 ) = 4 , u ( P 5 ) = 0 , p ( P 5 ) = 1

    r ( P 6 ) = 14 , u ( P 6 ) = 6 , p ( P 6 ) = 12 .

    Zadatak 9.

    Postoji li neka veza među dobivenim brojevima ​ r , u i p ? Nacrtajte još poligona u kvadratnoj mreži i za svaki od njih odredite ta tri broja. Sve podatke zapišite pregledno u tablicu i pokušajte uočiti pravilnost. Počnite od jednostavnijih poligona prema složenijima.

    Sljedeća će vam GeoGebrina interakcija u tome pomoći.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Odaberite znak računske radnje tako da dobijete točnu tvrdnju. Za dijeljenje upotrijebite znak /, a za množenje ×.
    p = r ​  2 u 1.

    null
    null
    Zatvori

    Pickova formula:

    Ako svi vrhovi jednostavnoga povezanog poligona imaju cjelobrojne koordinate, tada vrijedi:

    p = r 2 + u - 1 ,

    gdje je r broj vrhova na rubu poligona, u broj vrhova unutar poligona, a p  površina poligona.

    Ta se formula naziva Pickova formula.

    Zanimljivost

    Fotografija G.A.Pick.
    Georg Alexander Pick

    Georg Alexander Pick (10. kolovoza 1859. – 26. srpnja 1942.) austrijski je matematičar. Poznat je po svojoj jednostavnoj formuli koju je otkrio još davne 1899. godine, ali objavio tek 1969. u knjizi Mathematical Snapshots by Steinhaus.

    Manje je poznata, ali zanimljiva činjenica da je Georg Pick imao važnu ulogu u karijeri čuvenog fizičara Alberta Einsteina. Naime, jedan je od najzaslužnijih za njegovo imenovanje na njemačkom sveučilištu u Pragu 1911. godine. Tijekom dvije godine zajedničkog rada bili su nerazdvojni prijatelji, a osim znanosti povezivala ih je i glazba. Pick, koji je svirao u kvartetu, uveo je Einsteina u znanstvene i glazbene praške krugove. Govorilo se da je Pick imao veliku ulogu u razvoju Einsteinove opće teorije relativnosti te da je Pick upoznao Einsteina s dostignućima diferencijalne geometrije toga vremena. Einstein je dobio mjesto na Sveučilištu Princeton u SAD-u, a Georg Pick poslan je u nacistički logor Theresienstadt, u kojemu je umro 1942. godine.

    Kolekcija zadataka 4

    Zadatak 10.

    Primjeri poligona za koje vrijedi i ne vrijedi Pickova formula.

    Provjerite vrijedi li Pickova formula za prikazane poligone.

    Pickova formula ne vrijedi za posljednji, plavi poligon jer postoji vrh iz kojeg izlazi više od dvaju bridova, odnosno nije jednostavan poligon.

    Pickova formula ne vrijedi ni za prvi, ljubičasti poligon jer ima „rupu ” , nije povezan poligon.

    Pickova formula vrijedi za srednji, crveni poligon.

    Zadatak 11.

    Fotografija prskalica za travnjak.

    U novome hotelskom naselju gradi se veliki park površine 250 m 2 i treba postaviti prskalice za vodu kako bi se trava lakše zalijevala i imala lijepu zelenu boju.

    Tijekom projektiranja u vrtu su kolcima i špagom napravili kvadratnu mrežu. Posebnom su špagom oko 10  kolaca označili rub područja unutar kojeg će postaviti prskalice. To područje obuhvaća 64 % površine cijelog parka, a prskalice će postaviti u čvorove mreže. Kolci su međusobno razmaknuti 4  metra (horizontalno i vertikalno). Koliko prskalica treba postaviti unutar označenog područja?

    Na slici je prikaz područja na koji treba smjestiti prskalice.
    Primjer skice područja na koje treba postaviti prskalice

    Površina označenog područja je m 2 .
    U kvadratnoj mreži to je kvadratnih jedinica.

    Na rubu područja je 10   čvorova, a unutar područja čvorova.
    Treba postaviti ukupno prskalica unutar označenog područja.
    null
    null
    Zatvori

    Kutak za znatiželjne

    Pickova je formula vrlo jednostavna formula s kojom ste se možda susreli i u ranijoj dobi. Primjerice, dok ste učili i istraživali na geoploči.

    Matematičari vole jednostavne stvari, ali isto tako vole za sve što naslute ili upotrebljavaju znati jasan razlog zašto je to tako. Jeste li se pitali zašto vrijedi Pickova formula? Možemo li je objasniti jednostavnim matematičkim argumentima?

    Njezin dokaz nije tako kratak i jednostavan kao sama formula, ali mnoge dijelove možete razumjeti i samostalno napraviti.

    Istražite različite pristupe u dokazivanju – od geometrijskoga, algebarskoga do induktivnog pristupa – za one koji žele još malo više.

    Možda će vam pritom pomoći sljedeći zadatak i GeoGebrin interaktivni zadatak koji ste upotrebljavali na početku istraživanja.

    Zadatak 12.

    Crtež kao pomoć pri dokazu Pickove formule za trokut i pravokutnik.
    1. Dokažite Pickovu formulu za pravokutnik.
    2. Dokažite Pickovu formulu za pravokutni trokut.
    3. Dokažite Pickovu formulu za proizvoljan trokut.

    1. Neka su stranice pravokutnika a , odnosno b jediničnih dužina kvadratne mreže.

      Uočite da na svakoj stranici pravokutnika postoji jedan rubni čvor više nego što je njezina duljina. Ukupan broj rubnih čvorova jednak je zbroju čvorova na stranicama umanjenom za 4  jer smo svaki vrh pravokutnika brojili dva puta (jer se nalazi na dvjema stranicama). Zato je ukupan broj rubnih čvorova jednak opsegu, odnosno r = 2 a + 2 b .

      Isto tako u = a - 1 b - 1 = a b - a - b + 1 .

      Tada je 2 a + 2 b 2 + a b - a - b + 1 - 1 = a b = p .

    2. Dokaz se svodi na prethodni slučaj, odnosno pravokutnik ako pokažete da broj čvorova na hipotenuzi možemo zanemariti! Zašto?

      (Uputa: Pretpostavite da postoji k  čvorova na hipotenuzi.)

    3. Proizvoljan se trokut može u kvadratnoj mreži promatrati kao dio pravokutnika kojem se oduzme nekoliko pravokutnih trokuta. Tako se taj slučaj svodi na prethodne uz malo računanja s algebarskim izrazima. Provedite računanje.

    ...i na kraju

    Zabavimo se...

    U kvadratnoj mreži ucrtano je 30  točaka koje su vrhovi 9  kvadrata. Šest je točaka označeno crvenom bojom. To su vrhovi koji su zajednički za dva kvadrata.

    Pronađite svih devet kvadrata.

    Povećaj ili smanji interakciju

    Zadatak 13.

    Odaberite u svakom kvadrantu po tri ili četiri nekolinearna vrha kvadrata tako da svi odabrani vrhovi spojeni linijom tvore jednostavan i povezan poligon. Ispišite koordinate njegovih vrhova i izračunajte površinu dobivenog poligona.