Matematika 2 - 1.4 Dijeljenje kompleksnih brojeva

Na početku...

Ponovimo!

Naučili smo zbrajati, oduzimati i množiti kompleksne brojeve. Prisjetimo se!

Zadatak 1.

Odredite zbroj, razliku i umnožak.

$z_{1} = 8 - i$ i

$z_{2} = 2 + i .$

$z_{1} + z_{2} = 10$

$z_{1} - z_{2} = 6 - 2i$

$z_{1} \cdot z_{2} = 17 + 6 i$

Povezani sadržaji

U prošloj smo temi naučili zbrajati, oduzimati i množiti kompleksne brojeve. Sada ćemo pogledati kako se dijele kompleksni brojevi. Da bismo podijelili dva kompleksna broja, trebamo se podsjetiti kako smo racionalizirali nazivnike u drugom korijenu.

Zadatak 2.

Racionaliziraj nazivnik razlomka $\frac{2}{2 - \sqrt{2}} .$

Racionalizacija nazivnika nalazi se u sadržajima 8. razreda.

$\begin{array}{l} \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2^{2} - {\sqrt{2}}^{2}} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} = 2 + \sqrt{2} \end{array}$

Pri racionalizaciji nazivnika iz prethodnog zadatka upotrebljavali smo formulu za razliku kvadrata $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .$

Možemo li je primijeniti i na kompleksne brojeve? Odgovor slijedi uskoro.

Konjugirano kompleksni brojevi

Možemo li i podijeliti dva kompleksna broja?

U skupu realnih brojeva dijeljenje se svodi na množenje recipročnim brojem. Vrijedi li to i za skup kompleksnih brojeva?

Postoji li i u skupu kompleksnih brojeva recipročan broj, odnosno broj koji će, pomnožen sa zadanim kompleksnim brojem, dati broj $1 ?$

Ako je $z = a + b i,$ onda broj $\bar{z} = a - b i$ zovemo konjugirano kompleksnim brojem broja $z .$ Simbol konjugiranja je crta iznad broja koji se konjugira.

$\bar{z} = \bar{a + b i} = a - b i$

Primjer 1.

Odredimo konjugirano kompleksni broj brojeva.

$z_{1} = 5 + 2 i$

$z_{2} = 4$

$z_{3} = - 4 i$

$z_{4} = 5 - \sqrt{7}$

$z_{5} = i + 5$

$\bar{z_{1}} = \begin{array}{l} 5 - 2 i \end{array}$
$\bar{z_{2}} = 4$
$\bar{z_{3}} = 4 i$
$\bar{z_{4}} = 5 - \sqrt{7}$
$\bar{z_{5}} = - i + 5$

Primjer 2.

Odredimo konjugirano kompleksni broj od $\bar{z_{1}} .$ ( $z_{1} = 5 + 2 i$ ).

$\begin{array}{l} \bar{5 - 2 i} = 5 + 2 i \end{array}$

Konjugiramo li konjugirano kompleksni broj, dobit ćemo početni broj.

Zanimljivost

Naziv konjugirano kompleksni broj prvi je upotrijebio francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1821. godine u svojoj knjizi A Course in Analysis.

Zadatak 3.

Odredite konjugirano kompleksni broj broja.

$z_{1} = - 4 - 2 i$
$z_{2} = - \sqrt{2}$
$z_{3} = π i .$

$z_{1} = \begin{array}{l} - 4 + 2 i \end{array}$
$z_{2} = - \sqrt{2}$
$z_{3} = - π i$

Zadatak 4.

Pomnožite zadani kompleksni broj s njemu konjugirano kompleksnim brojem.

$z_{1} = 2 + i$
$z_{2} = 3 - i$
$z_{3} = 3 i$
$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3 i}$

$\begin{array}{l} z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = (2 + i) \cdot (2 - i) = 4 - 2 i + 2 i - i^{2} = 4 + 1 = 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} z_{2} \cdot \bar{z_{2}} = (3 - i) \cdot (3 + i) = 9 + 3 i - 3 i - i^{2} = 9 + 1 = 10 \end{array}$
$z_{3} \cdot \bar{z_{3}} = 3 i \cdot - 3 i = - 9 i^{2} = 9$
$\begin{array}{l} z_{4} \cdot \bar{z_{4}} = (\sqrt{2} + \sqrt[3]{3 i}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt[3]{3 i}) = 2 - \sqrt[3]{9 i^{2}} = 2 + \sqrt[3]{9} \end{array}$

Množenjem kompleksnog broja s njemu konjugirano kompleksnim brojem dobili smo pozitivne realne brojeve. Hoće li uvijek biti tako? Možete li naslutiti čemu bi bio jednak umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem?

Zadatak 5.

Koristeći se rješenjima iz prethodnog zadatka, odredite točan odgovor. Umnožak kompleksnog broja $a+bi$ i njemu konjugirano kompleksnog broja $a-bi$ uvijek je:

$b^{2}$
$a^{2} + b^{2}$
$a^{2} - b^{2}$
$a^{2} + 2 a b + b^{2} .$

b. $a^{2} + b^{2}$

Pokažimo razlog zašto je umnožak kompleksnog broja s njegovim konjugirano kompleksnim brojem uvijek pozitivan realan broj.

$\begin{array}{l} (\begin{array}{l} a + b i \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} a - b i \end{array}) = a^{2} - a b i + a b i - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} \end{array}$

$(\begin{array}{l} i^{2} - 1 \end{array})$

Dakle, možemo zaključiti da je:

$z \cdot \bar{z} = a^{2} + b^{2} .$

Kvadrat realnog broja uvijek je nenegativan broj, zbroj nenegativnih brojeva je nenegativan broj. Kad množimo kompleksni broj s konjugirano kompleksnim brojem, imaginarni dijelovi suprotnih su predznaka pa se mogu skratiti.

Umnožak kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja jednak je zbroju kvadrata realnog dijela i kvadrata imaginarnog dijela tog kompleksnog broja. To je realan, nenegativan broj.

Može li ovaj umnožak biti jednak $0 ?$ To vrijedi samo kada je kompleksni broj $z = 0 .$

Primjer 3.

Odredimo

$z + \bar{z}$ i $z - \bar{z}$ za $z = 2 + 3 i .$

Rješenje:

$z + \bar{z} = 2 + 3 i + 2 - 3 i = 4$
$\begin{array}{l} z - \bar{z} = 2 + 3 i - (2 - 3 i) = 2 + 3 i - 2 + 3 i = 6 i \end{array} .$

$z + \bar{z} = 2 Re z$

Zbroj kompleksnog broja i njegova konjugirano kompleksnog broja jednak je dvostrukom realnom dijelu tog broja.

$z - \bar{z} = 2 Im z i$

Razlika kompleksnog broja i njemu konjugirano kompleksnog broja jednaka je umnošku dvostrukog imaginarnog dijela prvog broja i imaginarne jedinice.

Konjugiranje ima još neka svojstva.

$\bar{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$

Konjugirano kompleksni zbroj dvaju kompleksnih brojeva jednak je zbroju konjugirano kompleksnih brojeva.

$\bar{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$

Konjugirano kompleksna razlika dvaju brojeva jednaka je razlici konjugirano kompleksnih brojeva.

$\bar{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$

Konjugirano kompleksni umnožak dvaju brojeva jednak je umnošku konjugirano kompleksnih brojeva.

$\begin{array}{l} \bar{z^{n}} = {(\bar{z})}^{n} \end{array}$

Konjugirana potencija nekoga kompleksnog broja jednaka je potenciji konjugirano kompleksnog broja na isti eksponent.

Primjer 4.

Pokažimo prvo svojstvo konjugiranja kompleksnih brojeva:

$\bar{z + w} = \bar{z} + \bar{w} .$

Neka su $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ i $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ dva kompleksna broja.

$\begin{array}{l} \bar{z + w} = \bar{x_{1} + y_{1} i + x_{2} + y_{2} i} = \bar{(x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) i} = (x_{1} + x_{2}) - (y_{1} + y_{2}) i \end{array}$

$\begin{array}{l} \bar{z} + \bar{w} = \bar{x_{1} + y_{1} i} + \bar{x_{2} + y_{2} i} = x_{1} - y_{1} i + x_{2} - y_{2} i = (x_{1} + x_{2}) - (y_{1} + y_{2}) i \end{array}$

Kutak za znatiželjne

Pokazali smo prvo svojstvo konjugiranja. Pokušajte sami dokazati i ostala svojstva konjugiranja kompleksnih brojeva.

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Primjer 5.

Podijelimo kompleksni broj $4 + 2 i$ s brojem $2 .$

$\frac{4 + 2i}{2} = \frac{4}{2} + \frac{2}{2} i = 2 + i$

Podijeliti kompleksni broj s realnim je jednostavno. Posebno dijelimo realni dio i posebno imaginarni dio te na kraju dopišemo imaginarnu jedinicu. Pokušajte!

Zadatak 6.

Podijelite $\frac{3 - 6i}{3} .$

$1 - 2 i$

Odredimo kompleksni broj koji, pomnožen sa zadanim kompleksnim brojem, daje neutralni element za množenje, broj $1 .$ Takav se broj naziva inverzni broj i označava $z^{- 1} .$ U skupu realnih brojeva inverzni broj broja $x$ nazivali smo recipročan broj i označili $\frac{1}{x} .$

Primjer 6.

Odredimo inverzni broj kompleksnog broja $z = 2 + i .$

$\begin{array}{l} z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2 + i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i} = \frac{2 - i}{2^{2} - i^{2}} = \frac{2 - i}{4 + 1} = \frac{2 - i}{5} \end{array}$

U postupku određivanja inverznog broja u nazivniku je bio kompleksni broj. Kako bismo to sveli na realni broj, koristili smo se činjenicom da je umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem realan broj. Pomnožimo li broj s razlomkom kojem su i brojnik i nazivnik isti, ne utječemo na vrijednost tog broja nego samo na njegov zapis.

$\begin{array}{l} z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + b i} \cdot \frac{a - b i}{a - b i} = \frac{a - b i}{a^{2} + b^{2}} \end{array}$

$z \cdot z^{- 1} = 1$

Zadatak 7.

Odredite inverzne brojeve kompleksnih brojeva:

$4 + 5 i$
$i$
$- 2 + 3 i .$

$\frac{4}{41} - \frac{5}{41} i$
$- i$
$\frac{- 2 - 3 i}{13}$

Primjer 7.

Pokušajmo sada podijeliti broj $2$ s kompleksnim brojem $4 + 2 i .$

$\begin{array}{l} 2 : (4 + 2 i) = 2 \cdot \frac{1}{4 + 2 i} = \frac{2}{4 + 2 i} \cdot \frac{4 - 2 i}{4 - 2 i} = \frac{8 - 4 i}{16 + 4} = \frac{8 - 4 i}{20} = \frac{8}{20} - \frac{4}{20} i = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i \end{array}$

Pripazi: $\frac{2}{4 + 2i} \neq \frac{2}{4} + \frac{2}{2i} .$

Primjer 8.

Podijelimo brojeve $z_{1} = 8 - i$ i $z_{2} = 2 + i .$ Postupak je opširno prikazan u videu koji slijedi.

Postupak dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva

$z_{1} : z_{2} = 3 - 2 i$

Povezani sadržaji

Postupak dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva provodi se na isti način kao racionalizacija nazivnika binoma koji sadržava drugi korijen.

Primjer 9.

Racionalizirajmo nazivnik razlomka $\frac{2}{2 - \sqrt{2}} .$

$\begin{array}{l} \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} = 2 + \sqrt{2} \end{array}$

Povezani sadržaji

Racionalizacija nazivnika nalazi se u sadržajima 8. razreda.

U racionalizaciji nazivnika razlomka iz prethodnog primjera upotrebljavali smo formulu za razliku kvadrata

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) .$

Ista se formula upotrebljava pri dijeljenju kompleksnih brojeva, uz činjenicu da je $i^{2} = 1 .$

Dijeljenje kompleksnih brojeva možemo prikazati u obliku razlomka koji proširimo s konjugirano kompleksnim nazivnikom. Na taj način u nazivniku dobijemo umnožak kompleksnog broja s konjugirano kompleksnim brojem, što je uvijek pozitivan realan broj.

Primjer 10.

Podijelimo kompleksne brojeve $z_{1} = 2 + 3 i$ i $z_{2} = 1 + 2 i .$

$\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 + 3 i}{1 + 2 i} = \frac{2 + 3 i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i} = \frac{2 - 4 i + 3 i - 6 i^{2}}{1^{2} + 2^{2}} = \frac{2 - 4 i + 3 i + 6}{1 + 4} = \frac{8 - i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5} i \end{array}$

Pogledajmo postupak dijeljenja s pomoću općih brojeva.

$\begin{array}{l} z_{1} : z_{2} = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1} + y_{1} i}{x_{2} + y_{2} i} \cdot \frac{x_{2} - y_{2} i}{x_{2} - y_{2} i} = \frac{x_{1} x_{2} - x_{1} y_{2} i - y_{1} x_{2} i - y_{1} y_{2} i^{2}}{{x_{2}}^{2} - {y_{2}}^{2} i^{2}} = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} - \frac{x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}}{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} i \end{array}$

Može li nazivnik biti jednak nuli?

null

Još ste u osnovnoj školi naučili da se s nulom ne dijeli.

Zadatak 8.

Izračunajte.

$\frac{1}{1 + i}$
$\frac{1 - 3 i}{i}$
$\frac{1 + 2i}{1 - i}$
$\frac{5 + 2i}{3 + 2i}$
$\frac{1 + i^{11}}{1 + i^{77}}$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$
$- 3 - i$
$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$
$\frac{19}{13} - \frac{4}{13} i$
$- i$

Kako biste uvježbali dijeljenje kompleksnih brojeva, možete iskoristiti vježbalicu koja slijedi. Klikom na ikonu odaberite računsku radnju koju želite uvježbati te u predviđene kvadratiće upišite rješenje.

Kutak za znatiželjne

Dokažite svojstvo konjugirano kompleksnih brojeva: konjugirano kompleksni kvocijent dvaju kompleksnih brojeva jednak je kvocijentu konjugirano kompleksnog brojnika i konjugirano kompleksnog nazivnika.

$\bar{(\begin{array}{l} \frac{z}{w} \end{array})} = \frac{\bar{z}}{w}$ za $w \neq 0$

U skupu kompleksnih brojeva možemo zbrajati i množiti. Te računske radnje imaju jednaka svojstva kao u skupu realnih brojeva.

Svojstva	Zbrajanje	Množenje
asocijativnost	$(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})$	$(z_{1} \cdot z_{2}) \cdot z_{3} = z_{1} \cdot (z_{2} \cdot z_{3})$
komutativnost	$z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$	$z_{1} \cdot z_{2} = z_{2} \cdot z_{1}$
neutralni element	$z + 0 = z$	$z \cdot 1 = z$
inverzni element	$z + (\begin{array}{l} - z \end{array}) = 0$	$z \cdot \frac{1}{z} = 1$
distributivnost	$\begin{array}{l} z_{1} \cdot (z_{2} + z_{3}) = z_{1} \cdot z_{2} + z_{1} \cdot z_{3} \end{array}$	$\begin{array}{l} z_{1} \cdot (z_{2} + z_{3}) = z_{1} \cdot z_{2} + z_{1} \cdot z_{3} \end{array}$

Kutak za znatiželjne

Proučite kako računati s kompleksnim brojevima u Excelu. Funkcija za dijeljenje glasi IMDIV, a kompleksni brojevi pišu se u navodnicima, npr. =IMDIV („ $8 - i$ “, “ $2 + i$ “) daje rezultat $3 - 2 i .$

$z_{4} = {(\frac{i^{2 016} + i^{2 017}}{i^{2 020} + i^{2019}})}^{2018}$	$- i$
$z_{2} = \frac{15 i - 15}{5}$	$- 3 + 3 i$
$z_{1} = \frac{3 - 3i}{i}$	$\begin{array}{l} - 3 - 3 i \end{array}$
$z_{3} = \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{3}}{\sqrt{3} + i \sqrt{2}}$	$\begin{array}{l} - 1 \end{array}$

1.4 Dijeljenje kompleksnih brojeva

Na početku...

Zadatak 1.

Povezani sadržaji

Zadatak 2.

Konjugirano kompleksni brojevi

Zanimljivost

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

Zadatak 8.

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

1.5 Apsolutna vrijednost kompleksnog broja