1.6 Kompleksna ravnina

Kompleksni broj u kompleksnoj ravnini

Kompleksni broj $z$ zapisujemo u obliku $\begin{array}{l}\mathit{z=x+yi,}\end{array}$ gdje je $x$ realni, a $y$ imaginarni dio kompleksnog broja $z.$ Ako realni i imaginarni dio kompleksnog broja zapišemo kao uređeni par, tada kompleksni broj možemo prikazati u koordinatnoj ravnini.

Pridruživanje

$z=x+yi\to \left(x,y\right)$ 

je jednoznačno.

Svakom kompleksnom broju jednoznačno je pridružena točka i svakoj je točki jednoznačno pridružen kompleksni broj.

Koordinatna ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve naziva se Gaussova ili kompleksna ravnina. U kompleksnoj ravnini os x naziva se realna os, a os y naziva se imaginarna os. Na realnu os smještamo realni dio kompleksnog broja, a na imaginarnu os imaginarni dio kompleksnog broja (kao što je prikazano na slici).

 

Primjer 1.

Prikažimo u Gaussovoj ravnini sljedeće kompleksne brojeve.

1. $z_1=2+7i$
2. $z_2=-7+3i$
3. $z_3=-4i$
4. $z_4=-5$

Sljedeće kompleksne brojeve pridružite točkama u kompleksnoj ravnini.

$-5$  ​	D
$2-3i$	B
$-0.5-3i$  ​	E
$2-0i$	C
$-3-2i$	A

null

null

Zadatak 1.

U kompleksnoj ravnini, koju ste nacrtali na papiru, prikažite brojeve koji su rješenja zadataka.

1. $z_1=\left(\frac{1}{2}+i\right)-\left(\frac{7}{2}+5i\right)=$ 
2. $z_2=i^{55}+2=$ 
3. $z_3=\frac{{\left(-1-i\right)}^2}{i^{37}}=$
   

Rješenje

---

Kompleksna ravnina i apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Kompleksnom broju $z=x+yi$ prikazanom u Gaussovoj ravnini možemo izračunati udaljenost od ishodišta koristeći se Pitagorinim poučkom. Udaljenost kompleksnog broja od ishodišta dana je formulom

$d$ ( $O,z$) $=\sqrt{x^2+y^2}.$

Desna strana formule zapravo je apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ (vidi jedinicu Apsolutna vrijednost kompleksnog broja).

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z=x+yi$ jednaka je udaljenosti točke M $\left(x,y\right)$ od ishodišta koordinatnog sustava.

Odgovorite na pitanja.

1. Što primjećujete? Kako grafički pronaći zbroj dvaju kompleksnih brojeva?
2. Koja nejednakost vrijedi za zbroj apsolutnih vrijednosti i apsolutnu vrijednost zbroja dvaju kompleksnih brojeva?

Iz prethodnog primjera možemo zaključiti da su dva kompleksna broja i njihov zbroj vrhovi paralelograma čije su stranice $\left|z_1\right|$ i $\left|z_2\right|,$ tj. dva kompleksna broja, njihov zbroj i ishodište su vrhovi paralelograma.

Uočimo sada trokut sa stranicama $\left|z_1\right|,$ $\left|z_2\right|$ i $\left|z_1+z_2\right|.$ Za taj trokut vrijedi nejednakost trokuta (pogledaje Nejednakost trokuta u prvom razredu), pa možemo pisati:

$\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|.$

Dokazali smo svojstvo apsolutne vrijednosti kompleksnog broja iz prethodne nastavne jedinice.

Primjer 2.

Na slici je grafički prikaz rezulatata oduzimanja dvaju kompleksnih brojeva $z_1=2+3i$  i $z_2=5+i:$

$\begin{array}{l}{z}_1-z_2=2+3i-\left(\begin{array}{l}5+i\end{array}\right)=-3+2i\end{array}.$

Oduzimanje kompleksnih brojeva možemo interpretirati kao zbrajanje sa suprotnim brojem, što je vidljivo na slici.

Primijenite sukladnost trokuta na slici. Uočite dva trokuta: prvi, koji je određen ishodištem i točkama $z_1$ i $z_2,$ te drugi, određen ishodištem te točkama $-z_2$ i $z_1-z_2.$

Udaljenost točka u kompleksnoj ravnini

Možemo zaključiti:

$\begin{array}{l}\left|z_1-z_2\right|=\left|\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_2\right)i\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}\end{array}$

Dobili smo formulu za udaljenost dviju točaka u kompleksnoj ravnini.

$\left|z_1-z_2\right|$ je udaljenost točaka $z_1$ i $z_2$ u kompleksnoj ravnini.

Primjer 3.

U prošloj ste jedinici naveli sljedeće svojstvo za modul kompleksnog broja:

$\left|z_1+z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|.$

Dokažimo to svojstvo koristeći se grafičkim prikazom.

Na slici uočimo trokut sa stranicama $\left|z_1\right|,\left|z_2\right|i\left|z_1+z_2\right|.$

Znamo da je svaka stranica trokuta veća od razlike duljina preostalih dviju stranica. Zbog toga vrijedi nejednakost $\left|z_1+z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|.$

Pokušajte uočiti i napisati još neke nejednakosti s ove ili s prethodnih ilustracija.

Primjer 4.

U kompleksnoj ravnini prikažimo sljedeće kompleksne brojeve:

$z_1=3+4i,$ $z_2=-3+4i,$ $z_3=5i,$ $z_4=5+0i,$ $z_5=-3-4i,$ $z_6=4-3i,$ $z_7=-5i,$ $z_8=-5+0i$ $.$

Svi ti brojevi imaju istu apsolutnu vrijednost, a to znači da su jednako udaljeni od ishodišta. Zato se svi brojevi nalaze na kružnici polumjera $5$ sa središtem u ishodištu.

Skup kompleksnih brojeva

$\begin{array}{l}k=\left\{z\in C:\overline{z-z_0}=r,z_0\in C,r>0\right\}\end{array}$ 

predstavlja kružnicu u kompleksnoj ravnini polumjera $r$ sa središtem u $z_0.$

Gdje se u kompleksnoj ravnini nalaze točke pridružene broju $z$ ako je:

$\left|z\right|=3$	U otvorenom krugu polumjera 3.Izvan kruga polumjera 3.Na kružnici polumjera 3.
$\left|z\right|<3$	U otvorenom krugu polumjera 3.Izvan kruga polumjera 3.Na kružnici polumjera 3.
$\left|z\right|>3$	U otvorenom krugu polumjera 3.Izvan kruga polumjera 3.Na kružnici polumjera 3.

null

null

Rješenje

---

Zadatak 2.

Odredite skup točaka u ravnini za koji vrijedi $\left|\begin{array}{l}z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{l}z+2i\end{array}\right|.$

Rješenje

---

Primjer 5.

Kompleksni broj $z=5+i$  pomnožimo brojem $i.$ Nastavimo postupak:

$\left(5+i\right)·i=-1+5i$

$\left(-1+5i\right)·i=-5-i$

$\left(-5-i\right)·i=1-5i$

$\left(1-5i\right)·i=5+i.$

Nakon četiriju množenja imaginarnom jedinicom vratili smo se na početnu točku. Prikažimo sada te brojeve u kompleksnoj ravnini.