1.5 Apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Ponovimo!

Prisjetimo se:

• apsolutne vrijednosti realnog broja
  
• konjugirano-kompleksnog broja
  
• pravila dijeljenja kompleksnih brojeva (pogledajte četvrtu jedinicu ovog modula).

Prisjetimo se:

• za sve pozitivne realne brojeve $(x>0)$ vrijedi $\left|x\right|=x$
  
• za sve negativne realne brojeve $(x<0)$ vrijedi $\left|x\right|=-x$
  
• za $x=0$ je $\left|x\right|=0$
  
• $\left|x\right|\ge 0,$ za sve realne brojeve $x$
• kompleksni broj konjugiramo tako da mu promijenimo predznak imaginarnog dijela
  
• za dijeljenje kompleksnih brojeva potreban nam je umnožak para konjugirano kompleksnih brojeva u nazivniku.
  

Možemo li potražiti sličnost s apsolutnom vrijednosti kompleksnog broja? Vidjeli smo da je apsolutna vrijednost realnog broja uvijek nenegativan broj. Međutim, kompleksne brojeve ne možemo uspoređivati. Ne postoji, na primjer, kompleksni broj veći ili manji od nule.

Kutak za znatiželjne

Ako se sjetimo pravila jednakosti dvaju kompleksnih brojeva, prema analogiji možemo pokušati usporediti brojeve $z_1=x_1+y_{1}i$ i $z_2=x_2+y_{1}i$ tako da posebno promatramo realni, a posebno imaginarni dio. Tada možemo imati slučajeve:

Dakle, moguće je usporediti dijelove kompleksnog broja. Uočite da se među tim slučajevima pojavilo i pravilo jednakosti dvaju kompleksnih brojeva koje smo već definirali (pogledajte prvu jedinicu ovog modula).

Kako usporediti npr. $2-3i\mathrm{i}-2+3i?$ Što je s brojem $i?$ Je li on veći ili manji od nule? Pokušajmo odgovoriti na ta pitanja. Počnimo s brojem $i.$

Je li $i>0$ ili je $i<0?$

Pomnožite svaku nejednakost brojem $i,$ primijenite pravilo množenja nejednakosti s pozitivnim, odnosno negativnim brojem te svojstvo jedinice $i^2=-1.$

Ako ste dobro računali, trebali ste u oba slučaja dobiti neistinitu nejednakost $-1>0.$ Dakle, nema smisla uspoređivati kompleksne brojeve kada ni za imaginarnu jedinicu ne možemo reći je li pozitivna ili negativna.

Zato ćemo apsolutnu vrijednost kompleksnog broja definirati na drugi način.

Apsolutna vrijednost komplesnog broja

Ako realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja $z$ označimo: $\mathrm{Re}z=x$ i $\mathrm{Im}z=y,$ modul (lat. modulus – mjera, mjerilo) kompleksnog broja $z$ možemo zapisati i u obliku

$\left|z\right|=\sqrt{{\left(\begin{array}{l}\mathrm{Re}z\end{array}\right)}^2+{\left(\begin{array}{l}\mathrm{Im}z\end{array}\right)}^2},$

te vrijedi $\left|z\right|\ge 0.$

Primjer 1.

Odredi modul kompleksnog broja.

a. $z=2+3i$

b. $z=-3-4i$

c. $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

d. $z=-8$

e. $z=4i$

Uočimo, ako je realni ili imaginarni dio kompleksnog broja jednak nuli, modul se svodi na računanje apsolutne vrijednosti realnog broja: $\left|z\right|=\left|x\right|,\mathrm{za}y=0,$ odnosno $\left|z\right|=\left|y\right|,\mathrm{za}x=0.$ Dakle, modul kompleksnog broja predstavlja poopćenje apsolutne vrijednosti realnog broja. Pokušajte sami dokazati čemu je jednak umnožak para konjugirano kompleksnih brojeva tako da postavite zadane izraze na prava mjesta. ​

$z·\bar{z}=$

• $=|z{|}^2\ge 0$
• $=\left(\begin{array}{l}x+yi\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x-yi\end{array}\right)=$  ​
• $=\begin{array}{l}{x}^2-\begin{array}{l}{\left(\begin{array}{l}yi\end{array}\right)}^2\end{array}\end{array}=$ 
• $=x^2+y^2=$  ​

 

 

Zadatak 1.

Izračunajte i dopunite zadatke.

Kutak za znatiželjne

Nakon što ste uspješno riješili prethodni zadatak, pokušajte odgovoriti na sljedeća pitanja vezana za par konjugirano kompleksnih brojeva, $z=x+yi$ i $\stackrel{-}{z}=x-yi:$

1. Čemu su općenito jednaki izraz $\frac{z+\stackrel{-}{z}}{2}$ i $\frac{z-\stackrel{-}{z}}{2i}?$
   
2. Što možete zaključiti za njihove module, $\left|z\right|$ i $\left|\begin{array}{l}\bar{z}\end{array}\right|?$
   
3. U kojem su odnosu modul kompleksnog broja i apsolutna vrijednost njegova realnog te imaginarnog dijela? Možemo li usporediti te brojeve? Zašto?
   
4. Kako s pomoću oznaka za konjugirano kompleksni broj i modul zapisati pravilo dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva?

Svojstva modula

Za kompleksne brojeve $z,z_1\mathrm{i}{z}_2$ vrijedi:

1. modul umnoška: $|z_1·z_2|=\left|z_1\right|·\left|z_2\right|$
2. modul potencije: $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$
3. modul kvocijenta: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|},$ gdje je $z_2\ne 0.$

Kutak za znatiželjne

Tvrdnje dokažite uvrštavanjem kompleksnih brojeva $z=x+yi,z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i$ u izraze.

Kutak za znatiželjne

Dokažite svojstvo modula umnoška bez uporabe zapisa kompleksnog broja.

Za dokaz se koristite već dokazanim svojstvom modula: ${\left|z\right|}^2=z·\bar{z}$ te svojstvom umnoška konjugirano kompleksnih brojeva koje znate iz prethodne jedinice (vidi četvrtu jedinicu ovog modula) $\overline{z_1·z_2}=\overline{z_1}·\overline{z_2}.$

Posložite elemente pravilnim redoslijedom.

• $=z_1·\overline{z_1}·z_2·\overline{z_2}=$  ​
• $={\left|\begin{array}{l}{z}_1\end{array}\right|}^2·{\left|\begin{array}{l}{z}_2\end{array}\right|}^2$  ​
• $=(z_1·z_2)({\bar{z}}_1·{\bar{z}}_2)=$
• ${\left|z_1·z_2\right|}^2=$  
• $=\left(\begin{array}{l}{z}_1·z_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\overline{z_1·z_2}\end{array}\right)=$  ​

 

 

Kutak za znatiželjne

Pokušajte sami prema analogiji za modul umnoška dokazati modul kvocijenta.

Modul (kompleksnog broja) ima još neka zanimljiva svojstva:

• nejednakosti trokuta: $\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$; $\left|z_1+z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|$; $\left|z_1-z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$
• obrnuta nejednakost trokuta: $\left|z_1-z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|.$
  

Nejednakosti: $\left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|,$ $\left|z_1+z_2\right|\ge \left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|$ ćete dokazati u idućoj jedinici, geometrijskom interpretacijom s pomoću paralelograma (dva kompleksna broja, njihov zbroj i ishodište su vrhovi paralelograma).

Ako u te nejednakosti umjesto $z_2$ uvrstite $-z_2$ dobijete i preostale dvije nejednakosti trokuta.

Primjer 2.

Izračunajmo sljedeće izraze koristeći se svojstvima modula.

1. $\begin{array}{l}\left|\frac{3+2i}{i}\right|=\frac{\left|3+2i\right|}{\left|i\right|}=\frac{\sqrt{9+4}}{\sqrt{1}}=\sqrt{13}\end{array}$  ​
2. 2. $\begin{array}{l}\left|\left(2+3i\right)\left(1-i\right)i^{100}\right|=\left|2+3i\right|·\left|1-i\right|·{\left|i\right|}^{100}=\sqrt{13}·\sqrt{2}·{\sqrt{1}}^{100}=\sqrt{26}·1=\sqrt{26}\end{array}$ 
3. Odredimo $\stackrel{-}{z}$ ako je $\left|z+3-i\right|=0:$
   

Uvrstimo $z=x+y\mathrm{i }$u lijevu stranu jednadžbe:

$\begin{array}{l}\left|x+yi+3-i\right|=\left|\left(x+3\right)+\left(y-1\right)i\right|=\sqrt{{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=0.\end{array}$

Kvadriramo: ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0.$

Kvadrat je uvijek nenegativan broj, a zbroj dvaju nenegativnih brojeva jednak je 0 samo ako je svaki od njih jednak 0. Dakle, $\begin{array}{l}x+3=0\Rightarrow x=-3;y-1=0\Rightarrow y=1.\end{array}$ Dobili smo $z=-3+i,$ pa je rješenje zadatka $\bar{z}=-3-i.$ Provjerite točnost dobivenog rješenja uvrštavanjem u početnu jednadžbu.

Uočimo da se u prethodnom primjeru zapravo radi o razlici dvaju jednakih kompleksnih brojeva, $\left|-3+i-\left(-3+i\right)\right|=0$ koji daju nulu. Dakle, u računu smo se mogli koristiti tvrdnjom:

$\left|z\right|=0\Rightarrow z=0$ 

i direktno, prema pravilu jednakosti dvaju kompleksnih brojeva, dobiti traženi $z.$ Vrijedi i obrat te tvrdnje:

$z=0\Rightarrow \left|z\right|=0.$

Zadatak 2.

U zadatcima koji slijede odaberite jedan točan odgovor.  

Povezani sadržaji

Nije jednostavno pronaći Pitagorine trojke. U tome nam mogu pomoći kompleksni brojevi. Pogledajmo kako.

Neka je $z=3-2i.$ Kvadrirajmo ga: $z^2=9-12i-4=5-12i.$

Neka je $a=\left|\begin{array}{l}\mathrm{Re}{z}^2\end{array}\right|=5,$ $b=\left|\begin{array}{l}\mathrm{Im}{z}^2\end{array}\right|=12$ i $c=\left|\begin{array}{l}{z}^2\end{array}\right|=\sqrt{25+144}=13.$ Upravo smo dobili Pitagorinu trojku: $\left(\mathrm{5,\; 12,\; 13}\right).$

Provjerite tu tvrdnju računom. Općenito, za kompleksni broj $z=x+yi;x,y\in \mathbb{N}$ izračunamo modul: $\left|\begin{array}{l}{z}^2\end{array}\right|=\begin{array}{l}{x}^2-y^2+2xyi\end{array}.$

Nadalje imamo:

$\begin{array}{l}a=\left|\mathrm{Re}{z}^2\right|=\left|x^2-y^2\right|,b=\left|\mathrm{Im}{z}^2\right|=\left|2xy\right|\Rightarrow \end{array}$

$\begin{array}{l}{a}^2+b^2={\left(x^2-y^2\right)}^2+{\left(2xy\right)}^2=x^4+2x^2{y}^2+y^4={\left(x^2+y^2\right)}^2=c^2\end{array}.$

Dakle, Pitagorine trojke dobijemo za svaki $x,y\mathrm{\in }\mathbf{N,}\mathit{x\ne y}$ iz jednakosti:

$a=\left|\begin{array}{l}{x}^2-y^2\end{array}\right|$ 

$b=\left|\begin{array}{l}2xy\end{array}\right|$

$c=x^2+y^2.$

Pokušajte pronaći što više Pitagorinih trojki s pomoću kompleksnih brojeva tako da u interakciji mijenjate realni ( $x$), odnosno imaginarni ( $y$) dio kompleksnog broja.

Uočite što se događa s Pitagorinom trojkom ako realni i/ili imaginarni dio promijeni samo predznak.

Kutak za znatiželjne

Više o Pitagorinim trojkama pročitajte u Hrvatskoj enciklopediji. Potražite još dodatnih sadržaja na mrežnim stranicama.