Matematika 2 - 1.2 Zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva

Na početku...

Autor glazbe: Richard Strauss. Izvođač glazbe: Kevin MacLeod. Licencija: Creative Commons By Attribution 3.0 Izvor glazbe: https://incompetech.com

U ovoj ćemo jedinici pokušati barem djelomično odgovoriti na pitanje o povezanosti ovih fascinantnih prizora s matematikom i kompleksnim brojevima.

Ponovimo!

Prisjetimo se:

što je imaginarna jedinica
kako prikazujemo kompleksni broj (vidi prvu jedinicu ovog modula)
pravila računanja s binomima
svojstva asocijativnosti, komutativnosti i distributivnosti množenja prema zbrajanju u skupu realnih brojeva $R$ za računske radnje zbrajanja i množenja (vidi Matematika 1, Skupovi).

Imaginarnu jedinicu označavamo slovom . Njezin je kvadrat jednak broju
$i^{2} =$ ?
.
Uobičajeni prikaz kompleksnog broja (s pomoću $x$ i $y$ ) je $z =$
Napišite rješenje bez praznina između
, gdje $x$ nazivamo , a $y$ .

null

null

Povežite zadatak s točnim rješenjem.

$(x - 3) - (x + 5)$	$4 x^{2} + 20 x + 25$
$(x - 3) (x + 5)$	$2 x + 2$
$(2 x + 5)^{2}$	$x^{2} + 2 x - 15$
$(x - 3) + (x + 5)$	$- 8$

null

Koje se svojstvo računskih radnji u skupu $R$ koristilo u sljedećim jednakostima?

$(x + 5) + 3 = x + (5 + 3)$	asocijativnost
$x - 3 + 2 x = x + 2 x - 3$	komutativnost
$(x + 5) \cdot x = x \cdot x + 5 \cdot x$	distributivnost

null

Ako kompleksni broj $z = x + y i$ promatramo kao binom, prema analogiji sa skupom $R$ možemo primijeniti svojstva računskih radnji zbrajanja i množenja na skupu $C$ .

Zbrajanje kompleksnih brojeva

Zbroj dvaju kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2}$ je kompleksni broj kojemu je realni dio jednak zbroju realnih dijelova kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2}$ , a imaginarni dio jednak je zbroju imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2}$ .

Primjer 1.

$z_{1} = 3,$ $z_{2} = - 5 + 2 i$

$z_{1} = 2 - \frac{1}{2} i,$ $z_{2} = 3 i$

$z_{1} = - \frac{1}{3} + i,$ $z_{2} = 3 - \frac{2}{5} i$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = 3 + (- 5 + 2 i) = 3 - 5 + 2 i = (3 - 5) + 2 i = 2 + 2 i \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = (2 - \frac{1}{2} i) + 3 i = 2 - \frac{1}{2} i + 3 i = 2 + (\frac{1}{2} + 3) i = 2 + \frac{5}{2} i \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = (- \frac{1}{3} + i) + (3 - \frac{2}{5} i) = (- \frac{1}{3} + 3) + (1 - \frac{2}{5}) i = \frac{8}{3} + \frac{3}{5} i \end{array} \end{array}$

Za dva kompleksna broja $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ te $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ vrijedi:

$z_{1} + z_{2} = (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) i .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dopunite realni i imaginarni dio koji nedostaje u sljedećim zadatcima. (Ako je broj negativan, između minusa i broja ne stavljajte razmak.)

$(3 +$ $i) + (4 + 5 i) =$ $+ 2 i$

null

null
$(6 + 7 i) + ($ $- 4 i) = 9 +$ $i$

null

null
$(\sqrt{2} +$ $i) + ($ $- i \sqrt{2}) = \sqrt{2} + (1 - \sqrt{2}) i$
$($ $+ 5 i) + (1 +$ $i) + (- 2 i) = - 1$

Zadatak 2.

Zbrojite kompleksne brojeve.

$z_{1} = 6 + 3 i, z_{2} = 4 - i$
$z_{1} = \frac{1}{2} + i, z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$
$z_{1} = - 2 - i \sqrt{3}, z_{2} = - 2 + i \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = (6 + 3 i) + (4 - i) = 10 + 2 i \end{array}$
$\begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = (\frac{1}{2} + i) + (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i) = 2 + \frac{1}{2} i \end{array}$
$\begin{array}{l} z_{1} + z_{2} = (- 2 - i \sqrt{3}) + (- 2 + i \sqrt{3}) = - 4 \end{array}$

Zatvori

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Razlika dvaju kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2}$ je kompleksni broj kojemu je realni dio jednak razlici realnih dijelova kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2},$ a imaginarni dio jednak je razlici imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva $z_{1}$ i $z_{2} .$

Primjer 2.

Oduzmimo kompleksne brojeve.

$z_{1} = 3 i, z_{2} = 6 - 2 i$

$z_{1} = 2 + \frac{5}{3} i, z_{2} = - \frac{5}{3}$

$\begin{array}{l} z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i \end{array}$

$\begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = 3 i - (6 - 2 i) = - 6 + (3 i + 2 i) = - 6 + 5 i \end{array}$

$\begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = 2 + \frac{5}{3} i - (- \frac{5}{3}) = (2 + \frac{5}{3}) + \frac{5}{3} i = \frac{11}{3} + \frac{5}{3} i \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i) = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) i = 0 + 1 \cdot i = i \end{array} \end{array}$

Za dva kompleksna broja $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ te $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ vrijedi: $z_{1} - z_{2} = (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i .$

Uočimo da oduzimanje možemo svesti na zbrajanje s kompleksnim brojem suprotnog predznaka.

$z_{1} - z_{2} = z_{1} + (- z_{2}) = x_{1} + y_{1} i + (- x_{2} - y_{2} i) .$

Zadatak 3.

Dopuni realni i imaginarni dio koji nedostaje u zadatcima.

$(3 +$ $i) - (2 - 2 i) =$ $- 2 i$

null

null
$6 - ($ $- 2 i) = 9 +$ $i$

null

null
$(\sqrt{3} -$ $i) - ($ $+ i \sqrt{3}) = \sqrt{3} + (1 - \sqrt{3}) i$

null
$($ $+ 5 i) - (1 +$ $i) - 2 i = 1$

Zadatak 4.

Oduzmite kompleksne brojeve.

$z_{1} = 7 - 3 i, z_{2} = - i$
$z_{1} = \frac{2}{3} + i, z_{2} = \frac{5}{3} - \frac{1}{2} i$
$z_{1} = - 2 - 2 i \sqrt{2}, z_{2} = - 2 + i \sqrt{2}$

$z_{1} - z_{2} = 7 - 2 i$
$\begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = (\frac{2}{3} - \frac{5}{3}) + (1 + \frac{1}{2}) i = - 1 + \frac{3}{2} i \end{array}$
$\begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = (- 2 + 2) + (- 2 i \sqrt{2} - i \sqrt{2}) = - 3 i \sqrt{2} \end{array}$

...i na kraju

Ako vas je ova tema zainteresirala svojom ljepotom, istražite i Julijin skup. U kakvoj je vezi s Mandelbrotovim skupom? Pokušajte u razredu izraditi Trokut Sierpinskog, Sierpinskijevu piramidu ili možda Mengerovu spužvu.

Provjerite jeste li spremni za daljnje učenje kompleksnih brojeva.

Smjestite zadane brojeve u najveći skup kojem pripadaju.

2.05

\sqrt{9}

\frac{π}{2}

\sqrt{2}

\frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{13}{1}

125

2 + i

\sqrt[3]{- 8}

π + 0 \cdot i

- 3

\frac{i}{3}

\frac{3}{7}

$Z$

$Q$

$R$

$C$

null

Povežite oznake s pripadajućim pojmovima.

imaginarni broj	$i$
realni dio	$y$
imaginarna jedinica	$\begin{array}{l} x + y i \end{array}$
kompleksni broj	$x$
imaginarni dio	$y i$

Odredite

x

y

tako da vrijedi:

(\begin{array}{l} 1 - x \end{array}) + (\begin{array}{l} y - 3 \end{array}) i = - 2 - 3 i .

x =

\begin{array}{l} y = \end{array}

Pronađite rješenje zadataka.

$\begin{array}{l} - 3 i (i - 4) \end{array}$	$6$
$(\begin{array}{l} - 6 + i \end{array}) - (\begin{array}{l} 1 - 2 i \end{array})$	$\begin{array}{l} - 7 \end{array}$
$(\begin{array}{l} 2 + 3 i \end{array}) + (\begin{array}{l} - 5 + i \end{array})$	$- 3$
$(\begin{array}{l} \sqrt{2} + 2 i \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} \sqrt{2} - 2 i \end{array})$	$3 + 12 i$

Koji među kompleksnim brojevima imaju imaginarni dio jednak 3?

z_{1} = 2 - 3 i

z_{2} = 3 + 2 i

z_{3} = - 2 + 3 i

z_{4} = (\begin{array}{l} 3 & + & 3 i \end{array}) i

z_{5} = (\begin{array}{l} - 2 - 3 i \end{array}) i

null

Ako je

(\begin{array}{l} a + 3 \end{array}) - (\begin{array}{l} 2 - b i \end{array}) = 3 + 4 i,

tada je

a =

b =

Odredite imaginarni dio umnoška

z = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & + & i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{2} & - & i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}) .

\begin{array}{l} Im z = \end{array}

null

Dopunite.

(- 3 + 2 i) + (

\begin{array}{l} ) = 1 + i \end{array}

U izrazu $(\begin{array}{l} 3 + 4 i \end{array}) + (\begin{array}{l} - 3 - 2 i \end{array}) = 3 + (\begin{array}{l} - 3 \end{array}) + 4 i + (\begin{array}{l} - 2 i \end{array})$ koristilo se svojstvo

komutativnosti

asocijativnosti

distributivnosti

null

Nakon provedenog zbrajanja u prethodnom zadatku, rješenje je .

null

ZAVRŠITE PROCJENU

1.2 Zbrajanje, oduzimanje i množenje kompleksnih brojeva

Na početku...

Ponovimo!

Zbrajanje kompleksnih brojeva

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Množenje kompleksnih brojeva

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 6.

Zanimljivost

Projekt

Zanimljivost

...i na kraju

$Z$

$Q$

$R$

$C$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

1.3 Potenciranje kompleksnih brojeva