Na kraju godine Ana je sa svojim razredom otputovala na izlet u Rim. Posjetili su mnoge znamenitosti iz vremena staroga Rima, Koloseum, Forum, Fontanu di Trevi i još mnoge druge. Kada su došli na Trg svetog Petra u Vatikanu, vidjeli su ploču na kojoj je pisalo: XIII V MCMLXXXI. Vodič im je rekao da je rimskim brojevima zapisan datum atentata na papu Ivana Pavla II. Ana je taj datum odmah pretvorila u nama razumljiviji oblik. Zatim je pomogla i ostalim članovima grupe da ga pročitaju. Koji je to oblik i koji je to datum?
Mi se svakodnevno služimo arapskim brojevima pa je Ana, poznavajući pravila rimskog zapisa, prevela datum atentata na arapski zapis, a to je 13. 5. 1981.
Usporedimo ta dva zapisa:
ARAPSKI | 1 | 9 | 8 | 1 |
tisućice | stotice | desetice | jedinice | |
RIMSKI | M | CM | L XXX | I |
tisuću | devetsto (-100+1000) |
osamdeset (50+10+10+10) |
jedan |
Oba zapisa napisana su u dekadskom brojevnom sustavu (deka = grčki deset).
A što je to brojevni sustav?
Brojevni sustav jest način zapisivanja brojeva i njihova tumačenja.
Sastoji se od:
Tablica rimskih i arapskih brojeva:
RIMSKI | ARAPSKI |
---|---|
I | 1 |
V | 5 |
X | 10 |
L | 50 |
C | 100 |
D | 500 |
M | 1000 |
Pravila za pisanje/čitanje rimskih brojeva i pretvarač u arapski sustav možeš koristiti na ovoj stranici.
Koja je osnovna razlika između arapskog i rimskog zapisa brojeva?
U arapskom zapisu svakoj znamenci raste vrijednost s desne strane prema lijevoj.
Što je s rimskim brojevima? Promotri broj XXX. Koja je vrijednost pojedinog X-a?
Raste li vrijednost znamenke zdesna nalijevo?
Ne, svaka znamenka X ima jednaku vrijednost bez obzira na kojem mjestu se nalazi.
XXX
=10+10+10=30
Iz ovoga možemo zaključiti sljedeće.
Postoje 2 vrste brojevnih sustava:
POLOŽAJNI | NEPOLOŽAJNI |
---|---|
|
|
Nakon što upoznaš pravila za pisanje/čitanje rimskih brojeva koja se nalaze u dijelu Zanimljivosti, spoji iste vrijednosti brojeva zapisane na dva načina: rimskim i arapskim brojevnim sustavom!
LXX | |
XLV | |
CCII | |
MDX |
Pomoć:
U dijelu Zanimljivosti nalazi se poveznica s pravilima pisanja/čitanja rimskih brojeva.
U svakodnevnoj uporabi koristimo dekadski brojevni sustav. Zašto?
Vjerojatno zbog toga što imamo deset prstiju.
Od koliko se različitih znamenaka sastoji taj sustav?
Sastoji se od
10 znamenaka, a to su
0123456789.
Baza brojevnog sustava
Broj znamenaka u nekom sustavu naziva se baza brojevnog sustava. Najmanja je znamenka svakog sustava 0, dok je najveća znamenka za jedan manja od baze.
Na primjer, ako je baza 6, njezine su znamenke 012345.
Kolika bi onda bila baza dekadskog sustava?
Baza dekadskog sustava jest
10, a zapisuje se indeksom s desne strane broja.
Pomoću tih deset znamenaka možemo stvoriti bezbroj brojeva.
Vrijednost znamenke u broju raste zdesna nalijevo, odnosno ovisi o položaju u broju. Možemo reći da položaj u broju određuje težinsku vrijednost znamenke ili njezinu težinu.
TEŽINSKA VRIJEDNOST ZNAMENKE
Promotrimo broj 382410 sa slike. Kolika je vrijednost pojedinih znamenaka toga broja? Već smo spomenuli jedinice, desetice, stotice, tisućice... Zašto ih tako zovemo?
U našem slučaju znamenka 3 označava tisućicu. Kojim brojem treba pomnožiti znamenku 3 da dobijemo njezinu vrijednost? Treba je pomnožiti s 1000 (103); da dobijemo stotice, znamenku 8 množimo brojem 100 (102), znamenku 2 množimo brojem 10 (101) da dobijemo desetice, a znamenku 4 množimo brojem 1 (100) da dobijemo jedinice. Vrijednost broja jest zbroj dobivenih vrijednosti svih znamenaka.
Preglednije, možemo napraviti takozvanu tablicu težinskih vrijednosti:
..... | 103 | 102 | 101 | 100 |
3 | 8 | 2 | 4 |
Vrijednost broja napisanoga u drugom redu tablice jest:
3*103+8*102+2*101+4*100=3000+800+20+4=382410
Zaključak: Da bismo dobili vrijednost broja u dekadskome sustavu, svaka znamenka množi se počevši zdesna s potencijama baze ( 10) i to najprije nultom potencijom, 100, a zatim s 101, 102, 103...
Na kraju zbrojimo dobivene vrijednosti.
Broj
254710 razvrstaj prema pripadnim težinskim vrijednostima njegovih znamenaka:
Pomoć:
Vrijednost znamenki broja u položajnom brojevnom sustavu ovisi o njihovom položaju. Krajnje desno su jedinice (znamenka se množi brojem 1), zatim slijede desetice (
znamenka se množi brojem 10), stotice (množi se brojem 100) i tisućice (množi se brojem 1000)
Postupak:
254710=2*1000+5*100+4*10+7*1
U dekadskome sustavu brojeve od
0 do
9 zapisujemo jednom znamenkom. Kako zapisujemo broj za jedan veći od
9? Potrebne su nam dvije znamenke. Koliko brojeva možemo zapisati s dvije znamenke? Od
10 do
99. Kako dalje, kako zapisati broj za
1 veći od
99? Potrebne su nam
3 znamenke da zapišemo
100, itd.
Mi smo navikli na dekadski brojevni sustav, ali postoje sustavi koji imaju manju ili veću bazu od
10.
Pažljivo pogledaj video u kojem su opisani različiti brojevni sustavi i način na koji tvore brojeve.
Pomoć:
Baza brojevnog sustva predstavlja broj znamenki u tom sustavu. Ovaj sustav ima
7 različitih znamenki pa kažemo da ima bazu
7.
Postupak:
Ovaj sustav ima
7 različitih znamenki pa kažemo da ima bazu
7.
Pokušajmo napraviti tablice težinskih vrijednosti za nekoliko brojevnih sustava.
BAZA 5
..... | 52 | 51 | 50 |
1 | 2 | 3 |
Vrijednost broja napisanoga u drugom redu tablice jest:
1235=1*52+2*51+3*50=1*25+2*5+3*1=3810
BAZA 7
Broj 1136, zapisan u drugom redu tablice s težinskim vrijednostima baze 7, napiši u dekadskom obliku:
73 | 72 | 71 | 70 |
1 | 1 | 3 | 6 |
Pomoć:
Znamenke broja u 2. redu tablice pomnoži s potencijama baze iznad njih.
Postupak:
11367=1*73+1*72+3*71+6*70=343+49+21+6=41910
BAZA 2
Od kojih se znamenaka sastoji broj s bazom
2?
Od znamenaka
0 i
1. Jesu li ti poznate ove vrijednosti iz prethodnih jedinica? U računalu se svi podaci prikazuju pomoću nula i jedinica, zbog toga nam je ovaj sustav posebno zanimljiv.
Za ovaj sustav proširit ćemo tablicu težinskih vrijednosti da možemo upisati veće brojeve.
27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Pomoć:
Sve znamenke
1 pomnožimo s težinskim vrijednostima iznad njih i zatim zbrojimo rezultate.
Postupak:
1011002=32+8+4=4410
Koristimo li sustav s bazom većom od
10, znamenke nakon
9 zapisujemo pomoću velikih slova engleske abecede: A B C D E F G H...
BAZA 12
124 | 123 | 122 | 121 | 120 |
1 | A | B |
Prisjetimo se da je vrijednost znamenke A = 10, a znamenke B = 11.
Dekadska vrijednost broja napisanoga u drugom redu tablice jest:
1*122+A*121+B*120=1*144+10*12+11*1=144+120+11=27510
BAZA 16
Pomoć:
U sustavu s bazom
16 težinska vrijednost znamenaka jest
16. Znamenka B ima vrijednost
11, a znamenka C vrijednost
12.
Postupak:
BC16=B*161+C*160=11*16+12*1=176+12=18810
Do sada smo brojeve iz raznih sustava prikazivali u dekadskome sustavu. Kako napraviti obrnuti postupak, zapisati dekadski broj u nekom drugom sustavu?
Broj se uzastopce dijeli s bazom sustava, a pritom se zapisuju cjelobrojni ostaci. Kada dobijemo rezultat dijeljenja 0, svi ostaci zapisuju se obrnutim redoslijedom.
Na primjer:
8310=?6
ostatak | |||
83:6=13 | 5 | ||
13:6=2 | 1 | ||
2:6=0 | 2 | ↑ |
8310=2156
Dekadski broj 125 prikaži u 4 različita brojevna sustava:
Pomoć:
Broj uzastopce dijelimo bazom a pri tome zapisujemo cjelobrojne ostatke. Kada kao rezultat dobijemo
0, ostatke zapišemou obrnutim redoslijedom.
Postupak:
BAZA 2
ostatak | |||
125:2=62 | 1 | ||
62:2=31 | 0 | ||
31:2=15 | 1 | ||
15:2=7 | 1 | ||
7:2=3 | 1 | ||
3:2=1 | 1 | ||
1:2=0 | 1 | ↑ |
12510=11111012
BAZA 4:
ostatak | |||
125:4=31 | 1 | ||
31:4=7 | 3 | ||
7:4=1 | 1 | ||
1:3=0 | 1 | ↑ |
12510=13314
BAZA 8:
ostatak | |||
125:8=15 | 5 | ||
15:8=1 | 7 | ||
1:8=0 | 1 | ↑ |
12510=1758
BAZA 16:
ostatak | |||
125:16=7 | 13 | >D | |
7:16=0 | 7 | ↑ |
12510=7D16
Što možemo zaključiti nakon analize rješenja iz prethodnog zadatka? Gdje smo računali najdulje, a gdje najkraće? Postoji li neka veza između baze i duljine zapisa broja?
Isprobaj ovaj brojevni pretvarač. Pritom razmišljaj i o duljini zapisa u pojedinom brojevnom sustavu.
Prema svemu što je rečeno o brojevnim sustavima pokušaj riješiti ove zadatke:
Pomoć:
Težinska vrijednost u brojevnom sustavu s bazom
5 iznosi
5 .
Dakle, svaka znamenka množi se brojem
5 počevši zdesna. Jednostavnije, krajnju desnu znamenku množimo s
1 ili nultom potencijom baze, a svaku sljedeću s većom potencijom baze
2 ,
3 ...
Postupak:
105=1*51+0*50=5+0=510
115=1*51+1*50=5+1=610
Dekadskim vrijednostima na lijevoj strani pridruži odgovarajuću vrijednost zapisanu u sustavu s bazom
4.
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | |
14 | |
15 | |
16 | |
17 | |
18 | |
19 | |
20 |
Pomoć:
U sustavu s bazom
4, znamenke su
0,
1,
2, i
3. Nakon broja
3 sljedeća znamenka zapisuje se pomoću
2 znamenke, odnosno kao
10.
Iz navedenih primjera vidljivo je da se svaki broj može zapisati na različite načine, u različitim brojevnim sustavima. Sustavi s bazom 2 (binarni), 8 (oktalni) i 16 (heksadekadski) koriste se u informatici. O njima će više riječi biti u sljedećim poglavljima.