Geometrija je jedna od najstarijih matematičkih grana. Potreba za geometrijom javila se, uz ostalo, radi mjerenja zemlje kako bi se odredilo zemljišno vlasništvo, izgradnja kuća i hramova te radi usavršavanja metoda promatranja zvijezda kako bi se poboljšala navigacija itd.
Sama riječ geometrija grčkog je podrijetla i znači mjerenje zemlje, a najstariji zapisi vezani za geometriju potječu iz Egipta.
Geometrija se bavi ravninskim i prostornim odnosima i oblicima.
Točka, ravnina i pravac glavni su pojmovi geometrije prostora i oni se ne definiraju nego samo opisuju.
Euklid (330 g. pr. Krista – 275. g. pr. Krista) iz Aleksandrije bio je jedan od najistaknutijih matematičara stare Grčke. Njegovo najpoznatije djelo su Elementi u kojem je prikupio tada poznata znanja o geometriji. Elementi su objavljeni oko 300 g. pr. Krista i bili su osnovni udžbenik geometrije do 18. stoljeća, pa i dijelom 19. stoljeća.
Pročitaj što je Euklid napisao o osnovim pojmovima geometrije.
Više o Elementima možeš pročitati na poveznici.
(grč. gea = zemlja, métron = mjera, mjeriti)
Jeste li kada čuli za piksel, najmanji element koji izgrađuje digitalnu fotografiju?
piksel (engl. pixel, skraćeno od picture element što znači element slike)
Kao i točku u geometriji, piksel možemo zamisliti kao element bez veličine. Piksel je zapisan kao digitalni podatak na digitalnoj slici.
No, naravno, kad se prikazuje na zaslonu računala (kao i točka koju crtamo na papiru), piksel je najmanji element koji se prikazuje na zaslonu, a koji izgrađuje sliku.
U digitalnoj se fotografiji piksel prikazuje kao kvadrat.
Točka
Točka je glavni pojam u geometriji.
Ističemo je kružićem (katkad ste je u nižim razredima isticali i križićem), a označujemo velikim slovim latinične abecede.
Točka označuje položaj i nema veličinu.
Ravnina
Ravninu zamišljamo i opisujemo kao ravnu neomeđenu plohu. Ona se sastoji od beskonačno mnogo točaka.
Ravnina ima beskonačnu širinu i duljinu, a nema debljinu. Ravninu označujemo velikim pisanim slovom.
List papira, školsku ploču ili, na primjer, zid učionice možemo zamisliti kao ravninu.
Matematički znak za beskonačnost je
Ravnina je skup točaka. Ravnina ima beskonačno mnogo elemenata.
Označi istinite tvrdnje.
Na prikazanim slikama uočavamo ravne crte koje prolaze i povezuju beskonačno mnogo točaka. Te crte izgledaju kao da se mogu produžiti u beskonačnost u dva suprotna smjera. Takvu crtu nazivamo pravac.
Pravac
Pravac opisujemo kao ravnu neomeđenu crtu. Sastoji se od beskonačno mnogo točaka.
Ima beskonačnu duljinu, a nema visinu, ni širinu. Označujemo ga malim pisanim slovom ili s pomoću dviju njegovih točaka.
Uoči! Pravac
i pravac
su isti pravci.
Označi točke koje pripadaju pravcu sa slike.
Pomoć:
Ne zaboravi da je pravac ravna neomeđena crta te da ga možeš beskonačno produljivati.
Postupak:
Točke
i
pripadaju pravcu
Označi istinite tvrdnje.
S koliko je točaka određen pravac? Drugim riječima, koliko je najmanje točaka potrebno zadati da bismo mogli nacrtati samo jedan pravac koji prolazi tim točkama?
Istraži koristeći se sljedećim apletom.
Jednom točkom ravnine možemo nacrtati beskonačno mnogo pravaca.
Dvjema točkama ravnine možemo nacrtati samo jedan pravac. Kažemo da je pravac jedinstveno određen svojim dvjema različitim točkama.
Skup svih pravaca ravnine koji prolaze jednom točkom nazivamo pramen pravaca.
Primjer 1.
U ravnini su nacrtane četiri točke i Nacrtajmo i ispišimo sve pravce određene zadanim točkama.
Pravac je određen dvjema točkama ravnine.
Zadanim točkama moguće je nacrtati šest pravaca. To su pravci
i
Nacrtaj i ispiši sve pravce određene zadanim točkama. Koliko ih ima?
Primjer 2.
U kojim položajima mogu biti dva pravca u ravnini i u koliko se točaka mogu sjeći?
Promotri fotografije, a zatim istraži koristeći se sljedećim apletom.
Dva pravca u ravnini:
- mogu biti paralelna, tj. usporedna (nemati zajedničkih točaka),
- mogu se sjeći (imati jednu zajedničku točku koja se naziva sjecište) ili
- mogu se podudarati (imati sve zajedničke točke).
Poseban slučaj pravaca koji se sijeku su međusobno okomiti pravci.
Ponovi postupak crtanja paralelnih (usporednih) pravaca s pomoću dvaju trokuta.
Ponovi postupak crtanja okomitih pravaca.
Primijeti, okomiti pravci sijeku ravninu na četiri jednaka (sukladna) dijela.
Na prikazanim fotografijama uočavamo dijelove pravaca, tj. polupravce.
Istaknemo li točku
na pravcu
tada će točka
dijeliti pravac
na dva polupravca.
Točka je početna točka svakog od tih polupravaca.
Ako na prikazanim polupravcima istaknemo još po jednu točku, tada možemo imenovati prikazane polupravce.
Polupravac kojemu je početna točka
i kojemu pripada točka
nazivamo polupravcem
a polupravac kojemu je početna točka
i kojemu pripada točka
nazivamo polupravac
Za pravce i kažemo da su suprotni polupravci istoga pravca.
Polupravce možemo označiti malim pisanim slovom.
Pripada li početna točka polupravca tome polupravcu?
Postupak:
Početna polupravca pripada polupravcu.
Na pravcu p istaknute su točke
i
Je li polupravac
podskup pravca
tj. vrijedi li
Postupak:
Sve točke polupravca
pripadaju pravcu
stoga vrijedi da je polupravac
Označi slike na kojima se sijeku prikazani polupravci?
Pomoć:
Ne zaboravi da je polupravac s jedne strane neomeđen!
Dodatno uvježbaj prepoznavanje oznaka i pojmova s pomoću matematičke igre memory (pamtilica).