Pogledaj animaciju. Koji je put najkraći?
Na pravcu
istaknute su dvije točke,
i
.
Dužina
Dio pravca omeđen dvjema istaknutim točkama nazivamo dužina.
Istaknute točke i pripadaju dužini i one su krajnje ili rubne točke dužine.
Dužinu s krajnjim točkama i označavamo oznakom ili
Duljinu dužine označavamo
Sukladne dužine
Za dvije dužine i kažemo da su sukladne ako imaju jednake duljine, tj. ako vrijedi
Činjenicu da su dužine i sukladne simbolički zapisujemo
Primjer 1.
Na pravcu istaknute su četiri točke, i , kao na slici.
Ispišimo sve dužine koje određuju te točke.
Na slici su prikazane dužine
i
Na pravcu istaknuto je pet točaka, i , kao na slici. Koliko dužina određuju te točke?
Zadatak možemo riješiti sustavnim ispisivanjem svih dužina, kao u prošlom primjeru.
No, možemo ga riješiti i prebrojavanjem.
Kao prvu rubnu točku možemo odabrati bilo koju od pet istaknutih točaka. Kao drugu rubnu točku možemo odabrati bilo koju od preostalih četiriju točaka. To bi značilo da tih pet točaka određuje ukupno dužina. Ipak, broj dužina je dvostruko manji jer je, npr., ista dužina kao i
Dakle, pet točaka pravca određuje ukupno 10 dužina.
Spoji matematički pojam i njegovu oznaku.
Na pravcu su, na udaljenosti od
označene točke
i
Označi ispravnan zapis.
Označi istinite tvrdnje.
Na pravcu je istaknuto šest različitih točaka. Koliko dužina određuju te točke?
Dvije su dužine paralelne ako su paralelni pravci kojima te dužine pripadaju.
Dvije su dužine okomite ako su okomiti pravci kojima te dužine pripadaju.
Primjer 2.
Četverokut na slici je pravokutnik.
Uočimo na slici
a) parove okomitih dužina,
b) parove paralelnih dužina,
c) parove sukladnih dužina.
a)
b)
c)
Četverokut na slici je kvadrat.
Označi istinite tvrdnje.
Pokreni interakciju i promatraj udaljenost istaknutih točaka od rubova nacrtane dužine.
Ravnalom je mjerena udaljenost pojedine točke dužine od obiju rubnih točaka. Među točkama ističe se točka dužine koja je jednako udaljena od obiju rubnih točaka.
Polovište dužine
Točka dužine koja je jednako udaljena od rubnih točaka dužine naziva se polovište dužine.
Duljina dužine
je
Kolika je udaljenost polovišta te dužine od rubnih točaka dužine?
Pomoć:
Polovište dijeli dužinu na dva dijela jednakih duljina.
Postupak:
Točka
je polovište dužine
pri čemu je točka
od točke
udaljena
Kolika je duljina dužine
Pomoć:
Točka
je polovište dužine
To znači da je točka
i od točke
i od točke
udaljena
Postupak:
Naučili ste da je svakom točkom ravnine moguće nacrtati beskonačno mnogo pravaca.
Promotrimo nekoliko pravaca koji prolaze polovištem
dužine
Među nacrtanim pravcima ističe se jedan, onaj koji je okomit na dužinu
Pravac koji prolazi polovištem dužine i okomit je na tu dužinu nazivamo simetrala dužine.
U svojem djelu Elementi grčki matematičar Euklid (rođen oko 365. g. pr. Krista) postavio je i riješio problem podjele dužine na jednake dijelove. Podjelu dužine na dva dijela jednakih duljina (tj. konstrukciju simetrale i polovišta) opisao je i dokazao slično opisanom postupku.
Koristeći se apletom, izmjeri udaljenost točke koja pripada simetrali dužine od rubnih točaka te dužine.
Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od rubnih točaka dužine.
Koristeći se apletom, nacrtaj kružnicu sa središtem u točki na simetrali dužine koja prolazi jednom rubnom točkom dužine.
Svaka točka simetrale dužine središte je kružnice koja prolazi objema rubnim točkama dužine.
Primjer 3.
Konstruirajmo simetralu dužine
Pri konstrukciji simetrale dužine postupamo na sljedeći način:
1. oko točke
opišemo kružnicu koja prolazi točkom
2. oko točke
opišemo kružnicu koja prolazi točkom
3. konstruiramo pravac koji prolazi sjecištima nacrtanih kružnica – taj je pravac tražena simetrala dužine
Simetrala dužine siječe dužinu u njezinu polovištu.
Pogledajte animirane postupke konstrukcije simetrale dužine.
Primjer 4.
Konstruirajmo dužinu na zadanom pravcu ako je točka njezina rubna točka uz uvjet da simetrala te dužine prolazi točkom
Nacrtajmo kružnicu sa središtem u točki tako da kružnica prolazi točkom Ta kružnica siječe pravac u traženoj točki
Na
pravcu
istaknuta je točka
Konstruiraj
točkom
okomicu na pravac
Nacrtajmo neku kružnicu sa središtem u točki Ta kružnica siječe pravac u točkama i
Tražena okomica je simetrala dužine
Izvan pravca istaknuta je točka Konstruiraj točkom okomicu na pravac
Nacrtajmo, sa središtem u točki neku kružnicu koja siječe pravac u točkama i
Tražena okomica je simetrala dužine
Koristeći se apletom, prouči položaj sjecišta
simetrala stranica trokuta
u odnosu prema vrhovima trokuta.