x
Učitavanje

4.3 Susjedni i vršni kutovi

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

U svakodnevnom govoru često možeš čuti sljedeće izraze.

Značenja tih izraza bit će ti jasnija nakon što proučiš ovu jedinicu.

Kut

Promotri animaciju.

Zamislimo pod kao ravninu.

Prag, prikazan polupravcem a, nije se pomicao. Donji rub vrata, prikazan polupravcem b , zakretao se oko točke u kojoj se spaja prag s donjim rubom vrata.

Na taj je način nastao dio ravnine koji nazivamo kut.

Još jedanput promotri nastajanje kuta.

Vidimo da kut nastaje iz dvaju polupravaca sa zajedničkom početnom točkom tako da se jedan od polupravaca zakreće oko početne točke. Dio ravnine između tih dvaju polupravaca, uključujući te polupravce, određuje kut.

Kut

Kut je dio ravnine omeđen dvama polupravcima sa zajedničkom početnom točkom, uključujući sve točke tih polupravaca. Ta se početna točka naziva vrh kuta, a polupravci su krakovi kuta.

Primjer 1.

Na slici su nacrtana dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom. Koliko kutova određuju ta dva polupravca?

Broj kutova - zadatak
Dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom A. Jedan pravac je označen slovom c, a drugi je označen slovom b.

Dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom određuju dva kuta.

Broj kutova - rješenje
Dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom (rješenje).

S obzirom na to da dva polupravca sa zajedničkom početnom točkom određuju dva kuta, važno je označiti kut na koji mislimo (u zadatku ili u njegovu rješenju) te ga zato ističemo lukom (dijelom kružnice).

Ako luk nije nacrtan, promatramo manji od tih dvaju kutova.

Označavanje kuta
Označavanje kuta

Kut imenujemo s pomoću njegovih krakova (polupravaca) i vrha kuta.

Nacrtani kut označujemo a V b ili b V a .

Imenovanje kuta - polupravci
Imenovanje kuta - polupravci

Kut možemo imenovati i s pomoću točaka na krakovima kuta i vrha kuta.

Nacrtani kut označujemo A V B ili B V A . (Srednja točka oznake je vrh kuta.)

Imenovanje kuta - polupravci
Imenovanje kuta - polupravci

Promotri sliku.

Koji su kutovi prikazani na slici?

null
null
Kutovi (5 točaka)
Kutovi (5 točaka)

Primjer 2.

Koje točke pripadaju kutu a V b a koje mu ne pripadaju.

Kut aVb
Kut aVb

Točke V , D , E , H i F pripadaju kutu a V b , a točke C i G mu ne pripadaju.


Vrste kutova

Prisjeti se koje vrste kutova dosad znaš.

Pravi kut

Dva pravca koji dijele ravninu na četiri jednaka (sukladna) dijela nazivamo okomiti pravci. Svaki od tih četiriju jednakih dijelova nazivamo pravi kut.

Pravi kut - kontekst
Dvije crne guske. Desna guska stoji pod pravim kutom.

Ispruženi kut

Ispruženi kut je kut kojemu su kraci suprotni polupravci istoga pravca.

Ispruženi kut - kontekst
Baletna plesačica čije su neke u ispruženom kutu.

Šiljasti kut

Šiljasti kut je svaki kut koji je manji od pravoga kuta.

Šiljasti kut - kontekst
Žuti cvijet čije se su latice u obliku šiljastih kuteva.

Tupi kut

Tupi kut je svaki kut koji je veći od pravoga kuta, a manji od ispruženoga kuta.

Tupi kut - kontekst
Plesač čije su noge pod tupim kutem.

Puni kut

Puni kut je kut kojemu se krakovi podudaraju i koji sadržava sve točke ravnine.

Puni kut - kontekst
Čaša puna limunade. Na rubu čaše nalazi se okrugli limun koji čini puni kut.

Izbočeni kut

Izbočeni kut je kut veći od ispruženoga kuta, a manji od punoga kuta.

Izbočeni kut - kontekst
Kornjača koja je pod izbočenim kutom.

Pomicanjem istaknute točke mijenjaj veličinu i vrstu kuta.

Zadatak 1.

Odredi vrstu kuta tako da na svaki istaknuti kut postaviš odgovarajući naziv vrste kuta.
Miš
puni kut
izbočeni kut
ispruženi kut
tupi kut
pravi kut
šiljasti kut
null
null

Mjerenje i crtanje kutova

Veličinu kuta mjerimo s pomoću kutomjera.

Veličinu kuta nazivamo još i mjera kuta.

Mjerna jedinica za veličinu kuta je kutni stupanj ( 1 ° ).

Jedan kutni stupanj ima 60 kutnih minuta, a jedna kutna minuta 60 kutnih sekunda.

1 ° = 60 ' 1 '   = 60 " 1 ° = 3   600 "

Kutni stupanj
Kutni stupanj

Promotri sliku.

Kutomjer i specifični kutovi
3 kutomjera i specifični kutovi

Pravi kut je kut kojemu je veličina 90 ° .

Ispruženi kut je kut kojemu je veličina 180 ° .

Puni kut je kut kojemu je veličina 360 ° .

Šiljasti kut je kut kojemu je veličina manja od 90 ° .

Tupi kut je kut kojemu je veličina veća od 90 ° , a manja od 180 ° .

Izbočeni kut je kut kojemu je veličina veća od 180 ° , a manja od 360 ° .

Zapamti vrste kutova s pomoću apleta.

Kut kojemu  je veličina 180 ° naziva se

.

Kut kojemu je mjera 90 ° naziva se
.

Kut kojemu je veličina 360 ° naziva se
.

Kut kojemu je veličina manja od 90 ° naziva se
.

Kut kojemu je veličina veća od 180 ° , a manja od 360 °  naziva se
.

Kut kojemu je veličina veća od 90 ° , a manja od 180 ° naziva se
.
null

Primjer 3.

Pogledaj kako se mjere kutovi s pomoću kutomjera.

Primjer 4.

Pogledaj kako se crtaju kutovi s pomoću kutomjera.

Zadatak 2.

Uvježbaj mjerenje kutova.

Primjer 5.

Preračunajmo.

a) 12 ° u kutne minute

b) 5 ' u kutne sekunde

c) 4 °   3 ' u kutne sekunde

a) 12 ° = 12 · 60 ' = 720 '

b) 5 ' = 5 · 60 " = 300 "

c) 4 ° 3 ' = 4 · 3   600 " +   3 · 60 " = 14   400 " +   180 " = 14   580 "


Primjer 6.

Preračunajmo.

a) 360 ' u stupnjeve

b) 25   200 " u stupnjeve

a) 360 ' = ( 360 : 60 ) ° = 6 °

b) 25   200 " = ( 25   200 : 3   600 ) ° = 7 °  


Veličinu (mjeru) kuta a V b označujemo  a V b .

Veličinu kutova možemo označavati i slovom grčke abecede.

Često oznaku veličine kuta slovom grčke abecede poistovjećujemo s oznakom samoga kuta. U tom slučaju umjesto a V b = α pišemo a V b = α .

Prvih nekoliko slova čitamo:

α  – alfa

β  – beta

γ – gama

δ  – delta.

Imenovanje kuta - alfabet
Imenovanje kuta grčkim alfabetom

Sukuti ili susjedni kutovi

Sukuti - kontekst
Na primjer vlati trave prikazuju se sukuti.

Susjedni kutovi ili sukuti

Dva kuta koji imaju jedan zajednički krak, a drugi su im krakovi suprotni polupravci istoga pravca nazivamo susjednim kutovima ili sukutima. Zbroj veličina susjednih kutova iznosi 180 ° .

Sukuti
Sukuti

Primjer 7.

Izračunajmo veličinu kuta β kojemu sukut α ima veličinu:

a) 56 °

b) 112 °   14 '.

a) β = 180 ° - 56 ° = 124 °

b) Prisjeti se, 1 ° =   60 ' .

β = 180 ° - 112 °   14 ' = 179 °   60 '   - 112 °   14 ' = 67 °   46 '  


Zadatak 3.

Uvježbaj određivanje veličine sukuta zadanog kuta koristeći se sljedećim apletom.

Zadatak 4.

Kut α i β su sukuti.

Označi sve tvrdnje koje mogu biti istinite.

null
null

Promotri sljedeću animaciju. Koliki je zbroj veličina prikazanih kutova?

Suplementarni kutovi

Dva kuta kojima je zbroj veličina 180 ° nazivamo suplementarni kutovi.

Zadatak 5.

Dva su sukuta uvijek suplementarna.

null
null

Dva suplementarna kuta uvijek su sukuti.

null

Postupak:

Zbroj dva suplementarna kuta mora biti 180 ° , ali oni ne moraju dijeliti zajednički krak.

Ako je veličina kuta α = 56 ° , tada je veličina njegova suplementarnog kuta β =
° .
null
Ako je veličina kuta α = 25 °   44 ' , tada je veličina njegova suplementarnog kuta β  =
°
' .

Pomoć:

Prisjeti se, 180 ° = 179 ° 60 ' .

null

Primjer 8.

Dva su kuta suplementarna pri čemu je jedan tri puta veći od drugog. Kolike su veličine tih kutova?

Sukuti, 3 alfa i alfa
Sukuti, 3 alfa i alfa

α + 3 · α = 180 ° 4 · α = 180 ° α = 180 ° : 4 α = 45 °

45 ° · 3 = 135 °

Veličina manjeg kuta je 45 ° , a većeg 135 ° .


Vršni kutovi

Kraci škara određuju četiri kuta.

Parovi nastalih kutova koji imaju zajednički vrh i zajednički krak su susjedni kutovi (zajedno daju ispruženi kut).

Parovi nastalih kutova koji imaju zajednički vrh, ali nemaju zajednički krak međusobno su jednakih veličina. Takve kutove nazivamo vršni kutovi.

Vršni kutovi
Vršni kutovi

Vršni kutovi

Vršni kutovi su kutovi jedakih veličina koji dijele zajednički vrh, a kraci su im suprotni polupravci istog pravca.

Primjer 9.

Odredimo veličinu kuta α .

Vršni kut zadanog kuta
Vršni kut zadanog kuta

Kut α vršni je kut istaknutog kuta te je i njegova veličina 55 ° .


...i na kraju

Za kraj možeš se poigrati procjenom veličine kutova. Pri rješavanju primijeni znanje o sukutima i vršnim kutovima.

Povratak na vrh