Matematika 3 - 10.3 Varijacije

Na početku...

Početak je školske godine i u razrednim odjelima provode se izbori za predsjednika, zamjenika i blagajnika. Na svaku od tih dužnosti može ravnopravno biti biran svaki član iz odjela s $24$ učenika. Na koliko je načina moguće odabrati tročlano vodstvo razreda?

Riječ je o uređenoj trojci (predsjednik, zamjenik, blagajnik). Na prvo mjesto prema načelu ravnopravnosti može biti izabran bilo tko od $24$ učenika. Kako ne može isti učenik sjediti "na dvije stolice", na drugo mjesto može biti izabran bilo tko od preostala $23$ učenika. Na treće mjesto može biti izabran netko među $22$ učenika koji nisu izabrani ni za predsjednika ni za blagajnika.

Prema načelu umnoška slijedi $24 \cdot 23 \cdot 22 = 12 144 .$ Vjerovali ili ne, u razredu od $24$ učenika rukovodstvo je moguće izabrati na $12 144$ načina.

Međutim, postavimo li ograničenje da u vodstvu mogu biti birani samo odlični ili vrlo dobri učenici koji nisu do sada imali pedagoških mjera sprečavanja, broj se sužava na $6$ odličnih i $8$ vrlo dobrih s uzornim vladanjem iz prethodnog razreda.

Na koliko je tada načina moguće izabrati rukovodstvo razreda?

Na $14 \cdot 13 \cdot 12 = 2184$ načina.

Varijacije bez ponavljanja

U uvodnom smo primjeru imali skup od $24$ elementa iz kojeg smo trebali odabrati uređenu trojku, odnosno tri elementa bez ponavljanja nekog elementa. I poredak je bio važan, nakon izabranog predsjednika isključili smo ga iz mogućeg daljnjeg izbora jer ne može biti izabran na dva mjesta.

Takav način odabira $r$ elemenata iz $n$ -članog skupa nazivamo varijacije bez ponavljanja.

Varijacija bez ponavljanja

Varijacija bez ponavljanja $r$ -tog razreda u $n$ -članom skupu svaka je uređena $r$ -torka različitih elemenata danog skupa.

Broj varijacija bez ponavljanja $r$ -tog razreda od $n$ elemenata jednak je

$V_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - (r - 1)) .$

Prisjetimo se faktorijela.

$n! = n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1, n \in N$ i $0! = 1$

Prethodna formula za broj varijacija podsjeća na faktorijele, ali nedostaje dio faktora. Proširimo taj broj s takvim faktorima da u brojniku dobijemo $n! .$

Brojnik i nazivnik broja $V_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - (r - 1))$ pomnožimo s:

(n - r)!

r!

n!

n - r .

null

Tada formulu za varijacije $r$ -tog razreda bez ponavljanja možemo napisati i pomoću faktorijela:

$V_{n}^{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$

Primjer 1.

U školi se organizira turnir u šahu. Prijavilo se $12$ učenika. Najboljim natjecateljima dodijelit će se pehar i dvije medalje. Na koliko je načina moguće dodijeliti nagrade za osvojena prva tri mjesta?

U zadatku najprije moramo uočiti sljedeće: a) koliko imamo ukupno elemenata $(n),$ b) koliki je broj elemenata koje razvrstavamo $(r),$ c) je li važan redoslijed i d) mogu li se ponavljati elementi.

Razmislite i odgovorite na sljedeća pitanja.

Sada možemo riješiti Primjer 1 do kraja.

Nakon što smo odgovorili na ta pitanja, možemo sa sigurnošću reći da je riječ o varijacijama bez ponavljanja $3 .$ razreda od $12$ elemenata.

$V_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1 320$ ili s pomoću faktorijela, $V_{12}^{3} = \frac{12!}{(12 - 3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 1 320$

Pehar i dvije medalje sudionici mogu podijeliti na $1 320$ načina.

Uočite da pri računanju varijacija bez ponavljanja $V_{n}^{r}$ uvijek ima $r$ faktora u umnošku (počevši od $n$ ).

Kolekcija zadataka #2

Koliko se dvoznamenkastih brojeva može napisati od znamenaka $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5 ?$ Svaku znamenku smijemo upotrijebiti samo jedanput.

$V_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$

Koliko se trobojnih zastava s vodoravnim poljima može napraviti od boja: bijela, crna, crvena, plava, zelena, žuta i narančasta? Zastave se razlikuju ako je različit redoslijed istih boja i boje se ne ponavljaju.

$V_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$

Vodoravne trobojnice možemo od predloženih sedam boja napraviti na $210$ različitih načina.

Na koliko se načina mogu napisati četverosložne riječi, smislene i manje smislene, s različitim slovima od slova riječi DOMAĆI KRUH?

$V_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5 040$

Od slova d, o, m, a, ć, i, k, r, u te h se može napisati $5 040$ četverosložnih riječi s različitim slovima.

Varijacije s ponavljanjem

Primjer 2.

Riješimo prvi zadatak iz prethodne kolekcije zadataka, ali tako da se u novim dvoznamenkastim brojevima znamenke mogu ponavljati. Koliko troznamenkastih brojeva s ponavljanjem znamenaka možemo napisati od danih znamenki?

Pogledajte animaciju koja odgovara na postavljena pitanja.

Varijacije s ponavljanjem

Varijacija s ponavljanjem $r$ -tog razreda u $n$ -članom skupu svaka je uređena $r$ -torka elemenata danog skupa gdje se elementi mogu ponavljati.

Broj varijacija s ponavljanjem $r$ -tog razreda od $n$ elemenata jednak je $\bar{{V_{n}}^{r}} = n^{r} .$

U varijacijama s ponavljanjem, kao i u varijacijama bez ponavljanja, važan je poredak elemenata (uređene $r$ -torke).

Zanimljivost

Morseov kod je prenošenje informacija s pomoću strujnih impulsa (dugi ili kratki impuls) koji se označuje crticom ili točkom. Jedna je to od najpoznatijih brzojavnih šifri. Koristi se za prijam na sluh (struganjem po vrpci proizvodi kliktav zvuk) ili na elektromagnet s pisačem koji crtice ispisuje na vrpcu tako da je izgrebe ili ne izgrebe (pušta se struja ili ne pušta).

Morseov kod možemo promatrati kao preteču ASCII ili nekih drugih kodova kojima je zamijenjen nakon pojave računala.

Kolekcija zadataka #3

Napišite sve varijacije s ponavljanjem 3. razreda od elemenata skupa $\{△, ⊖\} .$ Koliko ih ima?

$\bar{V_{2}^{3}} = 2^{3} = 8$

Ima 8 različitih slučajeva. To su: $\{⊖, ⊖, ⊖\}, \{⊖, ⊖, △\}, \{⊖, △, ⊖\}, \{△, ⊖, ⊖\},$ $\{⊖, △, △\}, \{△, ⊖, △\}, \{△, △, ⊖\}, \{△, △, △\} .$

Znadete li pročitati šifriranu poruku $\dots - - - \dots ?$ Ta je poruka napisana Morseovim kodom. Morseov kod ima $26$ različitih šifri za slova i još $10$ za znamenke. Napisana se šifrirana poruka sastoji od tri slova, a svako slovo od tri znaka. Ako znamo da su osnovni Morseovi znakovi točka i crtica $(\cdot i -)$ , na koliko je načina moguće složiti šifrirane znakove od tri znaka?

$\bar{V_{2}^{3}} = 2^{3} = 8$

Istražite kojih se $8$ slova može prikazati s pomoću tri Morseova znaka.

Pri samovrednovanju o usvojenosti ishoda iz kombinatorike učenici su dobili osam pitanja s mogućim odgovorima: uvijek/ponekad/nikad. Na koliko je načina učenik mogao odgovoriti na postavljenja pitanja ako se podrazumijeva da je odgovorio na svako pitanje?

$\bar{V_{3}^{8}} = 3^{8} = 6561$

Pripazite pri određivanju broja elemenata skupa. Ovdje je skup mogućih odgovora tročlani (uvijek ili ponekad ili nikad), a potrebno je odrediti ukupan broj uređenih osmorki.

...i na kraju

Ponovimo kako prepoznati zadatke s varijacijama i kako ih izračunati.

Varijacije	Bitan poredak elemenata	Elementi se ponavljaju	Formula
bez ponavljanja	DA	NE	$V_{n}^{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$
s ponavljanjem	DA	DA	$\bar{V_{n}^{r}} = n^{r}$

Na početku...

Varijacije bez ponavljanja

Varijacija bez ponavljanja

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Kolekcija zadataka #2

Varijacije s ponavljanjem

Primjer 2.

Varijacije s ponavljanjem

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju