10.7 Aktivnosti za samostalno učenje

Iz zadatka je vidljivo $n=15,$ $k=8.$

Vrijedi:

$\left(\begin{array}{l}15\\ 8\end{array}\right)x^{15-8}{y}^8=6435x^7{y}^8.$

To je broj $6435.$

Na svaki zadatak pristupnik može odgovoriti na pet različitih načina: može odgovoriti jednim od četiriju ponuđenih odgovora ili ostaviti praznim.

Prepoznajte kako je riječ o varijacijama s ponavljanjima razreda $16$ u skupu od $5$ elemenata.

Ukupan broj različitih odgovora u cijelom je testu $5^{16}=1.53·{10}^{11}.$

Prvu znamenku biramo iz skupa od devet znamenki, drugu iz skupa svih znamenki različitih od prve, treću iz skupa svih znamenki različitih od prve i druge itd. Prema načelu uzastopnog prebrojavanja šesteroznamenkastih brojeva sa različitim znamenkama ima $9·9·8·7·6·5=136080.$

Zlatna medalja može se podijeliti svim natjecateljima, dakle na $16$ načina, srebrnu može dobiti preostalih $15,$ a brončanu preostalih $14$ natjecatelja. Broj različitih načina za podjelu zlatne, srebrne i brončane medalje je $V_{16}^3=16·15·14=3360$ jer je riječ o varijacijama trećeg razreda u skupu od $16$ elemenata.

Kada dajemo knjigu prvoj osobi, biramo između $12$ knjiga, kada dajemo knjigu drugoj osobi biramo između $11$ knjiga i tako redom dok jednoj osobi ne preostane samo jedna knjiga. Broj mogućih podjela jednak je broju permutacija skupa od dvanaest elemenata: $P_{12}=12!=479001600.$

U riječi KOMBINACIJA imamo niz slova K, O, M, B, I, I, N, A, A, C, J, gdje se slova A i I ponavljaju dva puta. Kako je riječ o razmještaju elemenata niza slova od kojih se neka slova ponavljaju, ovaj zadatak rješavamo s pomoću permutacija s ponavljanjem: $P_{11}^{\mathrm{2,2}}=\frac{11!}{2!·2!}=9979200.$ Može se složiti $9979200$ (smislenih ili besmislenih) različitih riječi.

Brojeve iz velikog bubnja može se izvući na $K_{50}^5=\left(\begin{array}{l}50\\ 5\end{array}\right)=2118760$ načina. Brojeve iz malog bubnja može se izvući na $K_{10}^2=\left(\begin{array}{l}10\\ 2\end{array}\right)=\frac{10·9}{1·2}=45$ načina. Ukupan broj različitih kombinacija brojeva je $\begin{array}{l}N=K_{10}^2·K_{50}^5=2118760·45=95344200\end{array}.$

Znamenke se smiju ponavljati pa se taj zadatak svodi na kombinaciju s ponavljanjem drugog razreda u skupu od 4 elementa (koji čine znamenke $2,$ $4,$ $6,$ $8$). Dvoznamenkaste brojeve možeš složiti na $10$ načina.

$\begin{array}{l}\stackrel{-}{K_4^2}=\left(\begin{array}{c}4+2-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5·4}{1·2}=\frac{20}{2}=10\end{array}.$

U špilu je $13$ karata različite jakosti i svaka dolazi u četirima bojama.

Tri karte iste jakosti možemo izabrati na $13\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)$ načina. Par karata biramo sada među $12$ karata različite jakosti u četirima bojama: $12\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right).$

Različitih načina na koji možemo birati tri karte iste jakosti i još jedan par je $\begin{array}{l}13\left(\begin{array}{l}4\\ 3\end{array}\right)·12\left(\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right)=13·\frac{4·\cancel{3}·\cancel{2}}{\cancel{3}·\cancel{2}·1}·12·\frac{\cancel{4}·3}{\cancel{2}·1}=13·4·12·6=3744\end{array}$ načina.