Processing math: 86%
x
Učitavanje

1.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU

Na početku...

Podsjetimo se: kompleksni broj jest broj koji ima oblik z=a+bi, gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica, i2=-1.

Zadatak 1.

Uparite zadatak s odgovarajućim rješenjem.

6+8i1+i=
7+i 
(2-i)(3+5i)= 
11+7i 
(-4+5i)-(1-2i)= 
-5+7i 
(3-4i)+(12+7i)= 
15+3i 
(-5+2i)2=
21-20i
null
null

Kompleksne brojeve prikazujemo u Gaussovoj ravnini.

Zadatak 2.

Koji od navedenih kompleksnih brojeva nisu prikazani točkom na slici?

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini
null
null

Računanje s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

U prethodnim ste jedinicama istražili kako geometrijski interpretirati zbroj i razliku dvaju kompleksnih brojeva.

Zadatak 3.

  • ishodište i
  • z1 i z2 prikazan je
  • četvrtim vrhom paralelograma
  • zadani brojevi​ z1 i z2.
  • Zbroj
  • čija su tri vrha
  • dvaju kompleksnih brojeva
null
null

Kutak za znatiželjne

Kako interpretiramo množenje kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini? Pogledajmo u interakciji.

00:00
00:00

Uočavate li vezu s množenjem kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku?

z1·z2=r1·r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))

Moduli se pomnože, a argumenti zbroje.


Jednadžbe i nejednadžbe

Zadatak 4.

Kojom je od navedenih jednadžba određen skup na slici?

a.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - ljubičastom bojom je obojan lijevi dio sve do broja 1
null
null

b.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - ljubičastom bojom obojan je gornji dio do broja 2. Nakon broja 2 je bijela boja.
null
null

c.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - krušnica ide sve do broja 3
null
null

d.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - pravac ide po dijagonali kroz broj 1
null
null

...i na kraju

Korjenovanje kompleksnih brojeva

Odredimo sve kompleksne brojeve z za koje je z3=8.

Zapišimo jednadžbu z3-1=0. Faktorizacijom brzo dolazimo do jednoga realnog rješenja, z1=2.

z3-8=(z-2)(z2+2z+4).

Sljedeća rješenja dobijemo rješavanjem kvadratne jednadžbe z2+2z+4=0. To su z2,3=-1±3i.

Nacrtajmo ta rješenja u Gaussovoj ravnini.

Gaussova ravnina
Korjenovanje kompleksnih brojeva

Vidimo da se sva tri rješenja nalaze na kružnici polumjera 2 i da čine jednakostranični trokut.

U ovome smo zadatku mogli riješiti kvadratnu jednadžbu s pomoću formule. Međutim, za jednadžbe višega stupnja nam služi sljedeća formula u kojoj se koristimo trigonometrijskim zapisom kompleksnoga broja.

Svaki kompleksan broj z=r(cosφ+isinφ) ima točno n različitih n-tih korijena danih formulom:

nr(cosφ+2kπn+isinφ+2kπn) za k=1,  n N .

Istražite formulu!

Riješite sjedeći zadatak: Odredite sve kompleksne brojeve za koje je z 5 = 1 .

z 1 = 1

z 2 = cos 2 π 5 + i sin 2 π 5

z 3 = cos 4 π 5 + i sin 4 π 5

z 4 = cos 6 π 5 + i sin 6 π 5

z 5 = cos 8 π 5 + i sin 8 π 5


Povratak na vrh