Podsjetimo se: kompleksni broj jest broj koji ima oblik
z=a+bi, gdje su
a i
b realni brojevi, a
i imaginarna jedinica,
i2=-1.
Uparite zadatak s odgovarajućim rješenjem.
6+8i1+i=
|
7+i |
(2-i)(3+5i)=
|
11+7i |
(-4+5i)-(1-2i)=
|
-5+7i |
(3-4i)+(12+7i)=
|
15+3i |
(-5+2i)2=
|
21-20i |
Kompleksne brojeve prikazujemo u Gaussovoj ravnini.
U prethodnim ste jedinicama istražili kako geometrijski interpretirati zbroj i razliku dvaju kompleksnih brojeva.
Kako interpretiramo množenje kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini? Pogledajmo u interakciji.
Uočavate li vezu s množenjem kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku?
z1·z2=r1·r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))
Moduli se pomnože, a argumenti zbroje.
Korjenovanje kompleksnih brojeva
Odredimo sve kompleksne brojeve z za koje je z3=8.
Zapišimo jednadžbu z3-1=0. Faktorizacijom brzo dolazimo do jednoga realnog rješenja, z1=2.
z3-8=(z-2)(z2+2z+4).
Sljedeća rješenja dobijemo rješavanjem kvadratne jednadžbe z2+2z+4=0. To su z2,3=-1±√3i.
Nacrtajmo ta rješenja u Gaussovoj ravnini.
Vidimo da se sva tri rješenja nalaze na kružnici polumjera 2 i da čine jednakostranični trokut.
U ovome smo zadatku mogli riješiti kvadratnu jednadžbu s pomoću formule. Međutim, za jednadžbe višega stupnja nam služi sljedeća formula u kojoj se koristimo trigonometrijskim zapisom kompleksnoga broja.
Svaki kompleksan broj z=r(cosφ+isinφ) ima točno n različitih n-tih korijena danih formulom:
n√r(cosφ+2kπn+isinφ+2kπn) za k=1,
Istražite formulu!
Riješite sjedeći zadatak: Odredite sve kompleksne brojeve za koje je