x
Učitavanje

4.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU

Na početku...

Alepski bor
Alepski bor

Visina alepskoga bora u metrima može se opisati formulom h(t)=20-190.1t+1.1,h(t)=20190.1t+1.1, pri čemu je t broj godina nakon što je mladica bora posađena.

Koliko je bila visoka mladica bora?

h(0)2.73m

Kojom brzinom bor raste godinu i pol dana nakon što je mladica posađena, a kojom nakon 10 godina?

Naučili ste da derivacija funkcije u točki predstavlja brzinu promjene funkcije u toj točki. Budući da je potrebno odrediti brzinu promjene funkcije h u t=1.5 i u t=10 godina, to znači da treba izračunati h'(1.5) i h'(10). Učinite to!

Što znače dobivene vrijednosti? Koja im je mjerna jedinica?

h'(t)=1.9(0.1t+1.1)2

h'(1.5)=1.9(0.1·1.5+1.1)21.22m/god

h'(10)=1.9(0.1·10+1.1)20.43m/god

h'(1.5) znači da alepski bor raste brzinom od 1.22 metra godišnje godinu i pol dana nakon što je posađen, a h'(10) brzinom od 0.43 metra godišnje deset godina nakon što je posađen.


Tangenta na graf funkcije

Podsjetimo se: derivacija funkcije u nekoj točki predstavlja brzinu promjene te funkcije u toj točki.

Ako funkciju u maloj okolini oko te točke aproksimiramo pravcem, taj će pravac biti

   
grafa te funkcije. A koeficijent smjera pravca govori nam o
   
rasta/pada pa je    
   
funkcije u nekoj točki jednaka
   
tangente na graf funkcije u toj točki.
brzini  
derivacija
koeficijentu smjera
tangenta
null
null

Riješite sljedeće zadatke.

Položaj, brzina i akceleracija

Ako je nekom funkcijom opisana promjena položaja nekoga tijela koje se giba pravocrtno, tada derivacija funkcije predstavlja trenutnu brzinu kojom se to tijelo giba.

Primjer 1.

Automobil vozi po ravnoj cesti. Položaj automobila u odnosu na polaznu točku, izražen u kilometrima, opisuje funkcija s(t)=57t+20, pri čemu je t vrijeme u satima od početka mjerenja.

  1. Koji je položaj automobila 30 minuta od početka mjerenja?
  2. Kolika je brzina automobila u trenutku t=15 minuta, t=30 minuta?

Što možete zaključiti o gibanju automobila?

  1. 30 minuta je 0.5 sati pa je s(0.5)=57·0.5+20=48.5km. Položaj automobila je 48.5km u odnosu na početnu točku.
  2. Trenutnu brzinu računamo kao derivaciju funkcije, točnije trebamo izračunati s'(0.25) i s'(0.5).  s'(t)=57 pa je s'(0.25)=s'(0.5)=57, što znači da je brzina automobila u oba trenutka jednaka 57km/h.

Po danoj je funkciji brzina automobila cijelo vrijeme 57km/h, znači možemo zaključiti da se automobil giba jednoliko.


Pogledajmo sada malo drukčiji slučaj.

Primjer 2.

Položaj nekoga tijela na pravcu u centimetrima, u odnosu na zadanu točku O, opisuje funkcija s(t)=t2+2t-3, pri čemu je t vrijeme u sekundama, t0.

Pogledajmo animaciju.

Kako se giba tijelo? Tijelo je

  • s(2)-s(1)=5-0=5cm,
  • od 1. do 2. sekunde prešlo put
  • a od 4. do 5. sekunde  
  • s(5)-s(4)=32-21=11cm.
null
null

Odredimo funkciju koja računa brzinu tijela u bilo kojem trenutku.

v(t)=s'(t)=(t2+2t-3)'=2t+2

Trenutna brzina tijela u trenutku t=1 iznosi

cm/s, a u trenutku t=4 trenutna brzina tijela iznosi
cm/s.
null
null

Vidimo da je tijelo povećalo brzinu, odnosno ubrzalo je. Koliko iznosi ta promjena brzine?

Iz fizike nam je poznato da je ubrzanje ili akceleracija brzina promjene trenutne brzine nekoga tijela pa možemo zaključiti da je akceleracija derivacija funkcije brzine po vremenu ili druga derivacija funkcije položaja po vremenu.

a(t)=v'(t)=s"(t)

Odredite funkciju akceleracije!

a(t)=v'(t)=(2t+2)'=2cm/s2


Zaključujemo da se tijelo giba jednoliko ubrzano.

Primijenite u sljedećim zadatcima.

Kutak za znatiželjne

Znate li kako se računalo prije nego što su postojala računala?

Izvođenje osnovnih računskih radnji relativno je jednostavno, međutim korjenovanje, a naročito računanje vrijednosti eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijskih funkcija nemoguće je ako želimo dobiti točne rezultate. Zbog toga računamo približno, a teorijska osnova za približno računanje jesu derivacije. Pogledajmo.

Ne koristeći se računalom, izračunajmo približnu vrijednost 1.1.

U tu svrhu promotrimo funkciju f(x)=x+1. Ona za x=0.1 daje odgovor koji tražimo, f(0.1)=1.1. Za tu funkciju znamo izračunati f(0)=1 bez računala. Primijetimo da dalje računamo f(0.1), a x=0.1 je blizu x=0 za koji je poznata vrijednost funkcije f.

Funkciju f ćemo aproksimirati linearnom funkcijom P1(x)=a+bx koja prolazi točkom (0,1) i najbolje se "priljubljuje" grafu funkcije f. To je očito tangenta na graf funkcije u točki (0,1). Jednadžbu tangente znamo odrediti, njezin koeficijent smjera (vodeći koeficijent b u pravilu pridruživanja funkcije) jednak je derivaciji u zadanoj točki

f'(x)=12x+1f'(0)=12.

Provjerite sami da je P1(x)=1+0.5x.

Sada ćemo lagano izračunati 1.1=f(0.1)P1(0.1)=1.05.

Slično možemo nastaviti i dalje, odredit ćemo kvadratnu funkciju koja će najbolje aproksimirati funkciju f.

Razumno je definirati kvadratnu aproksimaciju funkcije f kao kvadratnu funkciju P2(x)=a+bx+cx2 za koju je P2(0)=f(0), P2'(0)=f'(0) i P2''(0)=f''(0).

Kolika je sada približna vrijednost 1.1?

P2(x)=1+12x-18x2.

1.1=f(0.1)P2(0.1)=1.04875.


Mogli ste uočiti da je P2(x)=f(x0)+f'(x0)x+f''(x0)2!x2.

Očito će aproksimacija biti bolja ako nastavimo i odredimo polinom trećeg, četvrtog,... stupnja.

Općenito vrijedi da funkciju možemo aproksimirati Taylorovim polinomom

Pn(x)=f(x0)+f'(x0)x+f''(x0)2!x2+f'''(x0)3!x3+...+f(n)(x0)n!xn.

...i na kraju

U svakome području iz stvarnoga života u kojemu dolazi do promjena pojam derivacije je važan. Pogledajmo jedan zanimljiv primjer iz medicine:

Ateroskleroza je bolest krvožilnog sustava koju karakterizira nakupljanje lipida (masnih stanica) na stijenkama krvnih žila. Pretpostavimo da je presjek aorte krug polumjera r=1cm i da će debljina h naslaga masnih stanica na stijenki aorte, mjerena u centimetrima, nakon t godina iznositi h(t)=0.1t2t2+10, t[0,10]. Odredite kojom će se brzinom smanjivati protočno područje aorte za 4 godine.

Presjek krvne žile
Presjek krvne žile

Protočno područje aorte krug je površine P=(r-h)2π. Uvrštavanjem danih podataka dobivamo funkciju

P(t)=(1-0.1t2t2+10)2π.

Sređivanjem i kvadriranjem izraza slijedi

P(t)=0.81t4+18t2+100t4+20t2+100π.

Funkciju P deriviramo:

P'(t)=(3.24t3+36t)(t4+20t2+100)-(0.81t4+18t2+100)(4t3+40t)(t2+10)4π.

Uvrstimo t=4 pa je P'(t)-0.0698cm2/god, odnosno protočno područje aorte za 4 godine smanjivat će se brzinom od 0.0698cm2 godišnje.


Povratak na vrh