2.2 Proporcije ili razmjeri

Iz tečajne je liste vidljivo da je omjer količine kuna i količine eura $750:100.$ Ovdje trebamo uočiti da je prvi član omjera količina kuna, a drugi član omjera količina eura. Drugi omjer mora imati istu vrijednost jer želimo po istom tečaju promijeniti kune u eure. U tom drugom omjeru opet mora prvi član biti količina kuna, ona količina kuna koju želimo promijeniti, $450\mathrm{kn}.$ Drugi član mora biti količina eura, za sada nepoznanica $\mathit{\text{x}}.$ Sada ta dva omjera stavimo u jednakost i dobit ćemo proporciju s jednom nepoznanicom:

$750:100=450:x$

odnosno jednadžbu s jednom nepoznanicom. Kako ćemo riješiti tu jednadžbu s jednom nepoznanicom? Za sada to možemo riješiti tako da omjere zapišemo u razlomačkom obliku: $\frac{750}{100}\text{=}\frac{450}{x}.$

Učili smo da ako su dva razlomka jednaka, onda su im jednaki i unakrsni umnošci brojnika i nazivnika pa slijedi:

$750·x=100·450$

Pogledajmo koji su to članovi proporcije ili razmjera. Broj $750$ i nepoznanica $x$ vanjski su članovi proporcije, a broj $100$ i broj $450$ unutarnji su članovi proporcije.

Prema tome, proporcije jednostavnije možemo rješavati tako da odmah pomnožimo vanjske članove i napišemo ih s jedne strane jednakosti, a potom pomnožimo unutarnje članove proporcije i napišemo ih s druge strane proporcije, bez pretvaranja u razlomački oblik.

Dalje rješavamo uobičajeno kao svaku drugu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom, onako kako smo naučili u šestom razredu:

$x·750=45000$

$x=\mathrm{45\; 000}:750$

$x=60.$

Za $450\mathrm{kn}$ tog bismo dana u toj mjenjačnici dobili $60$ eura.

Zadana je proporcija $24:15=x:3.$

Pomnožimo vanjski član s vanjskim članom i unutarnji s unutarnjim i dobijemo jednadžbu:

$24·3=15·x$

Pritom nije važno koji umnožak pišemo s koje strane jednakosti pa jednadžbu možemo pisati i ovako:

$15·x=24·3$

Riješimo tu jednadžbu.

$15x=72$

$x=4.8$

Nepoznati član proporcije jest $x=4.8.$

Mjerilo neke karte piše se u obliku omjera kojemu je prvi član jednak broju $1.$ Prvi član tog omjera jest udaljenost između oznaka mjesta na karti u centimetrima, a drugi član predstavlja stvarnu udaljenost između tih mjesta, također u centimetrima.

Za istu kartu vrijednost omjera koji predstavlja mjerilo i vrijednost omjera udaljenosti između nekih mjesta na karti i u stvarnosti jednake su pa ih možemo prikazati kao proporciju u kojoj će nepoznati član biti drugi član u omjeru. Označimo nepoznati član s $x.$ Još moramo $80\mathrm{km}$ preračunati u centimetre, $80\mathrm{km}$ $=$ $8000000\mathrm{cm}.$

$1:x=5:8000000$

$5x=8000000$

$x=1600000\mathrm{cm}.$

Karta je napravljena u mjerilu $1:1600000.$

Omjer zelene i žute jest $2:9.$ Soboslikar je stavio u posudu $8\mathrm{dL}$ zelene. Te podatke uvrstimo u proporciju.

$2:9=8:x$

Izračunamo nepoznati član proporcije.

$2x=72$

$x=36\mathrm{dL}.$

Žute boje treba staviti $36\mathrm{dL}$ ili $3$ litre i $6$ decilitara.

Vanjski su članovi proporcije izraz $(\mathrm{x\; —\; 5})$ i broj $3,$ a unutarnji su članovi brojevi $12$ i $17.$ Pomnožimo vanjske članove i stavimo u jednakost s umnoškom unutarnjih članova.

$3·(x-5)=\; 12\mathrm{}·17$ 

$3(x-5)=204.$

Zatim riješimo linearnu jednadžbu:

$\mathrm{3x\; —15}=204$

$\mathrm{3x}=204+15$

$\mathrm{3x}=219$

$x=73.$