Matematika 2 - 3.1 Kvadratna funkcija i njezin graf

Na početku...

Fotografija vozila u kretanju — https://commons.wikimedia.org

U prvom ste razredu iz fizike učili jednoliko ubrzano gibanje. (Pogledajte Fizika 1, Jednoliko ubrzano gibanje). Prisjetimo se i pokušajmo riješiti sljedeći zadatak.

Vozilo iz stanja mirovanja ubrzava akceleracijom $5 {ms}^{- 2} .$ Izračunajte brzinu $(v)$ i prijeđeni put $(s)$ sekundu, dvije, odnosno tri sekunde nakon kretanja.

Svoje rezultate upišite u tablicu ispod.
Tek kada točno izračunate i upišete u tablicu brzinu i prijeđeni put, s ekrana će nestati obavijest o računanju brzine i puta.
Odaberite koji graf želite nacrtati s obzirom na dobivene točke: graf brzine ili graf prijeđenog puta u ovisnosti o vremenu.
Provjerite podudara li se vaš graf s grafom funkcije brzine, $v (t) = a t = 5 t,$ odnosno grafom funkcije prijeđenog puta, $s (t) = \frac{1}{2} a t^{2} = 2.5 t^{2} .$

Uočite razliku između grafova. Pomičite točku na grafu da biste mogli pratiti vrijednosti prijeđenog puta i brzine. Što će se dogoditi u 4. sekundi i nakon 4. sekunde? Uočite razliku između vrijednosti brzine i puta u prvim sekundama i poslije. Možete li, s obzirom na graf, pretpostaviti što će se događati s tim vrijednostima dokle god vozilo ubrzava jednoliko? Ako smo u naseljenom mjestu (ograničenje brzine $50 {kmh}^{- 1}$ pretvorimo $1 {ms}^{- 1} = 3.6 {kmh}^{- 1}$ ), nakon koliko vremena prestajemo ubrzavati (akceleracija postaje nula) i nastavljamo se jednoliko kretati (pod pretpostavkom da ne želimo kršiti propise).

Zašto su prikazani samo dijelovi grafova (za pozitivne $x$ -eve)?

Vidimo da je funkcija brzine linearna funkcija čiji je graf pravac. Kažemo da se brzina mijenja linearno.

Funkcija prijeđenog puta ovisi o kvadratu vremena, dakle promjena nije linearna nego kvadratna. Kako nazivamo takvu funkciju i što je njezin graf? Potražimo odgovor na to pitanje.

Ponovimo

U uvodu smo više puta spomenuli riječ funkcija. Prisjetimo se pojma funkcije (pogledajte Matematika 1, Linearna funkcija).

Funkcija (preslikavanje, pridruživanje) jedan je od najvažnijih matematičkih pojmova. Određena je trima elementima.

Uparite istovjetne pojmove.

područje definicije funkcije	kodomena
pravilo prema kojem djeluje funkcija	zakon pridruživanja
područje vrijednosti funkcije	domena

null

Funkciju obično označavamo malim slovom (npr. $f, g, h$ ). Ako s $x$ označimo element domene, $D,$ a s $y$ element kodomene, $K,$ onda je funkcija $f : D \to K,$ zadana s $y = f (x) .$ Mi ćemo proučavati funkcije koje za domenu i kodomenu imaju podskup skupa realnih brojeva. Takve funkcije nazivamo realne funkcije realne varijable. Zadavat ćemo ih samo pravilom $y = f (x),$ gdje se podrazumijeva da je domena i kodomena skup realnih brojeva. Slika funkcije ne mora uvijek biti jednaka kodomeni. Ona je podskup kodomene. Čine ju sve vrijednosti promatrane funkcije.

U 1. razredu susreli smo se s funkcijom oblika: $f (x) = a x + b .$ Ponovimo.

Funkciju

f (x) = a x + b

nazivamo

U uvodnom primjeru spominjali smo naziv

, gdje su

a, b \in R

\neq 0 .

a = 0

funkcija postaje konstanta. Graf linearne funkcije je

Što je bio graf brzine u uvodu?

. Ako je

a > 0,

kažemo da linearna funkcija

raste ili pada

, dok za

a < 0

linearna funkcija (raste ili pada).

Pomoć:

Graf linearne funkcije ( $a \neq 0$ ) nazivamo pravac.

Graf funkcije koji skiciramo u koordinatnom sustavu pokazuje nam kako se jedna veličina mijenja u ovisnosti o drugoj. Graf prikazuje skup svih uređenih parova (točaka u koordinatnom sustavu) kod kojih je prva koordinata (apscisa) broj iz domene funkcije, nezavisna varijabla. Uvrštavanjem vrijednosti prve koordinate u funkciju, tj. u zakon pridruživanja, dobijemo drugu koordinatu točke (ordinatu), to jest zavisnu varijablu.

Funkciju oblika $\begin{array}{l} f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \end{array},$ gdje su $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{1},$ $a_{0} \in R,$ $a_{n} \neq 0$ nazivamo polinom jedne varijable n-tog stupnja (čitaj: entog stupnja).

$n$ je stupanj polinoma, dok $a_{n}$ nazivamo vodeći koeficijent. Polinomi su definirani za svaki realni broj $x$ pa je domena tih funkcija skup realnih brojeva.

Spojite odgovarajuće parove.

$f (x) = a x^{2} + b x + c$	polinom nultog stupnja
$f (x) = c$	polinom prvog stupnja
$f (x) = a x + b$	polinom drugog stupnja

null

Povežite nazive istih funkcija.

polinom drugog stupnja	konstantna funkcija
polinom nultog stupnja	kvadratna funkcija
polinom prvog stupnja	linearna funkcija

null

Graf funkcije $f (x) = a x^{2}$

U sljedećoj interaktivnoj vježbi najprije ćemo nacrtati parabolu $y = x^{2}$ (funkciju kvadriranja, kvadratna funkcija kojoj je vodeći koeficijent $a = 1,$ a linearni i slobodni koeficijenti jednaki su nuli).

Pripremite u bilježnici tablicu kao u vježbi.
Odredit ćemo nekoliko točaka te kroz njih povući krivulju.
Proizvoljno odaberemo $x$ -eve (neka to budu npr. cijeli brojevi od $- 3$ do $3$ ).
Izračunajmo njihov kvadrat i dopišimo u tablicu.
U tablici nemojte brisati nule, samo ih zamijenite dobivenim kvadratima pripadajućih $x$ -eva.
Usporedite parabolu koju ste dobili u bilježnici s ovom iz interakcije.
Skicirajte u bilježnici parabolu $y = - x^{2} .$

Nakon što smo skicirali elementarnu funkciju kvadriranja ( $a = 1$ ), pogledajmo kako se ponaša kvadratna funkcija $f (x) = a x^{2}$ u ovisnosti o vodećem koeficijentu $a$ . Naučit ćemo skicirati parabole oblika $y = a x^{2} .$

Mijenjajte $a$ i promatrajte što se događa s parabolom.

Skicirajte još neke parabole tog oblika u bilježnici:

napravite tablicu u bilježnici
odaberite nekoliko $x$ -eva
izračunajte pripadajuće vrijednosti $y = a x^{2}$
ucrtajte dobivene točke
povežite ih krivuljom.

Primjer 4.

Skicirajte grafove sljedećih funkcija.

$f_{1} (x) = \frac{1}{2} x^{2},$ $f_{2} (x) = 2 x^{2},$ $f_{3} (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ i $f_{4} (x) = - 2 x^{2}$

Opazimo da u prethodnoj animaciji za parabole oblika $y = a x^{2}$ vrijedi:

parabole kojima je $a = \frac{1}{2} i a = - \frac{1}{2},$ općenito $| a | < 1$ su šire od osnovne $y = x^{2}$
za $a = 2 i a = - 2$ ili općenito za $| a | > 1$ su uže
sve parabole kojima je $a > 0$ otvorene su prema gore
one kojima je $a < 0$ otvorene su prema dolje
točku $T (0, 0)$ nazivamo tjeme parabole $y = a x^{2}$
os simetrije je pravac koji prolazi kroz tjeme i okomit je na os $x$ ; za parabole oblika $y = a x^{2}$ to je pravac $x = 0$ (jednadžba osi $y$ ) .

Zadatak 3.

Skicirajte u bilježnicu parabole.

$y = \frac{2}{3} x^{2}$
$y = - 3 x^{2}$

Grafičko rješenje 1. zadatka. Parabola okrenuta prema gore s tjemenom u (0,0)

Grafičko rješenje 2. zadatka. Parabola okrenuta prema dolje s tjemenom u (0,0). Uža od parabole iz prvog zadatka.

Naučili smo skicirati parabole oblika $y = a x^{2} .$ Međutim, ako nam je zadan graf kvadratne funkcije, kako odrediti njegovu jednadžbu?

Primjer 5.

Odredimo jednadžbe funkcija zadanih grafički.

Kod traženja jednadžbe parabole najprije pogledajmo čemu je jednak vodeći koeficijent $a :$ $y = a x^{2} \Rightarrow a = \frac{y}{x^{2}} .$ Znamo da svaka točka na paraboli mora zadovoljiti danu jednadžbu parabole. Kod tako zadanih parabola pronađemo točku čije koordinate s pomoću mreže lako pročitamo. Dakle, tražimo čvorišta mreže kao na slici.

Kod funkcije $f$ odabrali smo točku kojoj je $x = 3 i y = 3 .$ Uvrstimo to u našu jednadžbu za $a$ i dobijemo: $a = \frac{y}{x^{2}} = \frac{3}{3^{2}} = \frac{1}{3} .$

Funkcija $f$ glasi: $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} .$

Potražimo rješenje za funkciju $g .$

Kako graf funkcije $g$ prolazi točkom $(- 1, - 4),$ vrijedi $- 4 = a \cdot {(- 1)}^{2} \Rightarrow a = - 4 .$

Funkcija $g$ glasi: $g (x) = - 4 x^{2} .$

Općenito, za bilo koje dvije točke na paraboli možemo uočiti pravilo:

Od točke $(0, 0)$ do točke $(- 1, - 4)$ krećemo se za $1$ u smjeru osi $x,$ ali kako idemo u negativnom smjeru, mijenjamo predznak ( $x = - 1$ ), zatim nastavljamo u smjeru osi $y$ za $4,$ ali u negativnom pa je $y = - 4 .$ Uvrstimo u jednadžbu za $a :$ $a = \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 4}{(- 1)^{2}} = - 4 < 0 .$ Iz toga slijedi rješenje za $g .$

Rješenja možemo provjeriti u jednom od prethodnih GGB-nih predložaka.