3.8 Primjena kvadratne funkcije

Primjena u fizici

Primjer 1.

Horizontalni hitac

S tornja visokog $50\mathrm{m}$ bacimo horizontalno kamen početnom brzinom $30\mathrm{m/s}.$ Koliko dugo će kamen padati? Na kojoj će udaljenosti od tornja pasti na tlo?

$h=50\mathrm{m}$

$v_0=30\mathrm{m/s}$

$g=9.81\mathrm{m/s}$

U ovim zadatcima zanemarimo otpor zraka.

Prijeđeni put ovisi o kvadratu vremena. Imamo kvadratnu funkciju:

$h\left(t\right)=\frac{1}{2}g{t}^2/·2\Rightarrow g{t}^2=2h/:g\Rightarrow t^2=\frac{2h}{g}.$

Korjenovanjem ove jednakosti dobijemo formulu kojom računamo vrijeme u ovisnosti o visini: $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{100}{9.81}}=3.19\mathrm{s}.$

U formulu za prijeđeni put $s\left(t\right)=v_{0}t$ uvrstimo $t=3.19\mathrm{s}$ da bismo dobili udaljenost od tornja na koju će kamen pasti, $s=95.7\mathrm{m}$ (domet kamena).

Kutak za znatiželjne

Tijelo izbačeno u horizontalnom smjeru početnom brzinom $v_0\left[\mathrm{m/s}\right]$ opisuje luk parabole. Neka je smjer početne brzine izbačenog tijela os $x,$ a ishodište koordinatnog sustava početna točka.

Bez gravitacijske sile tijelo bi nakon $t$ sekundi prešlo put $s\left(t\right)=v_{0}t$ metara (graf je pravac).

Zbog djelovanja gravitacijske sile nakon $t$ sekundi tijelo padne za $h\left(t\right)=\frac{1}{2}g{t}^2$ metara (graf je parabola).

Presjek tih dviju krivulja je točka u kojoj će biti tijelo nakon $t$ sekundi, $D\left(v_{0}t,-\frac{1}{2}g{t}^2\right).$

Izvedimo formulu za visinu $h$ u ovisnosti o prijeđenom putu $s$ (i obrnuto). (Pogledajte: Matematika 1, Sustav jednadžbi, metoda supstitucije).

$\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}t=\frac{s}{v_0}\\ t^2=\frac{s^2}{{v_0}^2}\end{array}\right\}\boxed{h=-\frac{1}{2}g\frac{s^2}{{v_0}^2}=-\frac{g{s}^2}{2{v_0}^2}}/·\left(-2{v_0}^2\right)\end{array}$

$\Rightarrow -2{v_0}^{2}h=g{s}^2/:g$

$\Rightarrow s^2=\frac{-2{v_0}^{2}h}{g}/\sqrt{}$

$\Rightarrow \boxed{s=v_0·\sqrt{\frac{-2h}{g}}}$

Vidimo da je funkcija $h\left(s\right)=-\frac{1}{2}g\frac{s^2}{{v_0}^2}=-\frac{g{s}^2}{2{v_0}^2}$ parabola s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava (pogledajte prvu jedinicu ovog modula) okrenuta prema dolje.

Zato je $h$ uvijek negativan broj pa je izraz pod korijenom iracionalne funkcije $s\left(h\right)=v_0·\sqrt{\frac{-2h}{g}}$ dobro definiran (uvijek pozitivan broj).

Vratimo se na zadatak. Sada izravno, neovisno o $t,$ možemo dobiti domet kamena uz zadanu visinu $h,$ $s=95.78\mathrm{m}.$

Razlika u računu pojavila se zbog greške zaokruživanja vremena $t$ na dvije decimale koje smo uvrštavali u formulu za $s.$

Zadatak 1.

S tornja visokog $30\mathrm{m}$ bacimo horizontalno kamen početnom brzinom $10\mathrm{m/s}.$ Koliko dugo će kamen padati? Koliki mu je domet? Kojom će brzinom pasti na tlo?

Povezani sadržaji

Galileo je vrlo detaljno pristupio proučavanju gibanja tijela niz kosinu. To je gibanje smatrao srodnim slobodnom padu, ali sporijim tako da je mogao točno mjeriti prijeđene putove i odgovarajuće vremenske intervale. Analizirajući dobivene podatke spoznao je pravilnost jednolikoga ubrzanoga gibanja.

Pronađite više o toj temi u Mehanici Antonija Dulčića, poglavlje Newtonovi zakoni gibanja (str. 57.). Vizualizirajte pokus Nedeljkovom GeoGebrom, Galileo Galilei i pojam inercije. O Galileu nekoliko zanimljivosti možete pronaći u tekstu Doroteje Luzine te na Wikipediji.

Provedite sami istraživanje o tom Galileovu zapažanju. Kao motivaciju pogledajte što su napravili učenici Osnovne škole Fran Franković iz Rijeke, Inspirirani Galileom.

Zadatak 2.

Visina na kojoj se nalazi projektil $t$ sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom $h\left(t\right)=-2{\left(t-11\right)}^2+310$ ( $h$  je izraženo u metrima). Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad $182\mathrm{m}?$ (Zadatak je s državne mature.)​

Povezani sadržaji

Vertikalni hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja po pravcu i slobodnog pada. Pomak kod vertikalnog hica je funkcija koja ovisi o kvadratu vremena $s\left(t\right)=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2,$ gdje je $v_0$ brzina kojom je tijelo izbačeno uvis.

Zadatak 3.

Na slici je grafički prikaz vertikalnog hica. Odgovorite na pitanja koristeći se nacrtanim grafom.

1. Koliki je domet vertikalnog hica?
   
2. U kojem je trenutku tijelo u najvišoj točki svoje putanje?
   
3. Nakon koliko vremena tijelo pada na tlo?
4. Koliko je dugo tijelo na visini iznad $100\mathrm{m}?$
5. Izračunajte kolika je početna brzina izbačenog tijela?
   

Primjena u arhitekturi

Primjer 2.

Luk mosta

Odredimo jednadžbu parabole Željezničkog (Zelenog) mosta na Savi ako je duljina mosta nad kojim se pruža luk $135\mathrm{m}$ te maksimalna visina luka $17.3\mathrm{m}.$

Smjestimo most u koordinatni sustav tako da mu je najviša točka (tjeme) na osi $y.$ Znamo da je tada jednadžba parabole $y=a{x}^2+y_0.$ Koordinate tjemena $T\left(0,17.3\right)$ imamo, još moramo izračunati vodeći koeficijent. Kako nam je raspon luka $135\mathrm{m},$ to je zapravo udaljenost između dviju nultočki. Odredimo koordinate nultočki: $x_{\mathrm{1,2}}=\pm \frac{135}{2}=\pm 67.5\Rightarrow \left(\pm 67.5,0\right).$

Dobivene nultočke uvrstimo u jednadžbu parabole i izračunamo vodeći koeficijent:

$0=a·{67.5}^2+17.3\Rightarrow a=-\frac{17.3}{4\mathrm{556,25}}=-0.0038.$

Jednadžba parabole Zelenog mosta je $y=-0.0038x^2+17.3.$

Povezani sadržaji

Željeznički most preko Save u Zagrebu ima zanimljivu povijest. Službeni je naziv mosta  Novi željeznički most, iako mu je već 80-ak godina (izgrađen je potkraj 1939. godine pokraj Staroga željezničkog mosta iz 1862.). Obično ga zovu Željeznički most, odnosno Zeleni most zbog njegove zelene boje. U posljednje je vrijeme krenula inicijativa mladih da se naziv mosta promijeni u Hendrixov most, prema slavnom grafitu napisanom dva puta na mostu, Hendrix. Hendrixova (Jimy Hendrix, 1942. – 1970.) biografija Room full of mirrors ima na prvoj stranici fotografiju zagrebačkog mosta (i sam je grafit u jednom njemačkom forumu svrstan na drugo mjesto).

Još zanimljivosti o mostu, tehničkim obilježjima i tijeku obnove mosta pročitajte u časopisu Građevinar 8/2014, članak Građevina s posebnom aurom.

Zadatak 4.

Luk koji podupire most ima oblik parabole $y=-\frac{1}{120}{x}^2,$ najveća visina mosta iznosi $7.5\mathrm{m}.$ Kolika je duljina mosta?

Ako vrh mosta (tjeme parabole) smjestimo u ishodište koordinatnog sustava (kao na slici) dobivamo da je duljina mosta $60$ metara.

Zadatak 5.

Pri preuređenju parka arhitekt je predložio izradu fontane. Širina luka vodoskoka je maksimalno $2\mathrm{m}$ (od točke gdje voda izlazi do mjesta gdje se vraća u fontanu) te je jednaka maksimalnoj visini koju vodoskok smije dosegnuti. Koja je jednadžba parabole koju će vodoskok oblikovati?

Tjeme ima koordinate $T\left(1,2\right)\Rightarrow y=a{\left(x-1\right)}^2+2.$

Imamo točku na paraboli $\left(0,0\right),$ uvrstimo u jednadžbu, dobijemo $a$ pa je $y=-2{\left(x-1\right)}^2+2.$ Kvadriranjem i sređivanjem jednadžbe dobijemo parabolu: $y=-2x^2+4x.$

Primjena u ekonomiji

Povezani sadržaji

Prije nego što prijeđete na sljedeći zadatak iz ekonomije, potražite definicije pojmova koji se u primjeru rabe (ponuda i potražnja, cijena proizvoda, trošak, dobit, prihod, rentabilnost, gubitak) u Riječniku pojmova iz ekonomije i definicije, prof. dr. sc. Vjekoslava Para. Definicije također možete pronaći u Ekonomskom riječniku na stranicama Ekonomskog portala. Ako se dodatno želite upoznati s pojmom rentabilnosti, pročitajte članak Produktivnost, ekonomičnost, rentabilnost autora mag. oecc. Bajra Sarića. Potražite na internetu ili u školskoj/gradskoj knjižnici još sadržaja o pojmovima iz ekonomije te ih prezentirajte u razredu.

Primjer 3.

Funkcija dobiti

Prosječni mjesečni troškovi jednog poduzeća izraženi su u kunama formulom $\stackrel{-}{T}\left(x\right)=3x+\frac{1900}{x}.$ Ako je mjesečna potražnja proizvoda $x=400-p,$ gdje je $p$ cijena proizvoda, odredimo:

1. ​optimalnu količinu mjesečne prodaje za maksimalnu dobit​
2. ​maksimalni ukupni mjesečni prihod
3. ​interval rentabilnosti
4. ​grafički prikaz funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova te dobiti.

Neka je $P\left(x\right)=p·x$ funkcija ukupnih prihoda. Uvrstimo $p=400-x,$ pa imamo:

$P\left(x\right)=p·x=\left(400-x\right)·x=400x-x^2.$

Nadalje, s $T\left(x\right)=x·\stackrel{-}{T}\left(x\right)$ označimo funkciju ukupnih troškova pa je:

$T\left(x\right)=x\left(3x+\frac{1900}{x}\right)=3x^2+1900.$

Konačno, $D\left(x\right)=P\left(x\right)-T\left(x\right)$ je funfcija dobiti:

$D\left(x\right)=400x-x^2-3x^2-1900=-4x^2+400x-1900.$

Prvi i drugi zadatak riješit ćemo tako da potražimo maksimalnu vrijedost funkcije $D\left(x\right),$ odnosno $P\left(x\right).$ Pokušajte sami doći do rješenja.

U trećem zadatku, da bismo bili rentabilni, tj. poslovali bez gubitaka, moramo imati pozitivnu dobit. Dakle, nađemo rješenje nejednadžbe $D\left(x\right)\ge 0.$ Odredite traženi interval za $x.$

Prikažite sve funkcije grafički, a zatim s pomoću predloška u nastavku provjerite dobivena rješenja.

U označena polja upišite koeficijente kvadratne funkcije, zatim pomičite točku po paraboli i usporedite rješenja.

Savjet: Prije upisivanja novih vrijednosti koeficijenata, točku na krivulji vratite na početak krivulje (kako biste ju mogli upotrijebiti i u drugim grafovima).

1. Maksimalna dobit je $8100\mathrm{kn},$ za koju je potrebno na mjesec prodati $50$ proizvoda.
2. ​Maksimalni mjesečni prihod od $40000\mathrm{kn}$ ostvari se uz prodaju $200$ proizvoda.
3. $x\in \left[5,95\right]$

4. Pogledajte sliku. Uočite da smo koordinatni sustav prilagodili vrijednostima kako bi nam graf bio pregledniji. Pri modeliranju se često mogu vidjeti grafovi čiji omjer koordinatnih osi nije uvijek $1:1.$

Zadatak 6.

Agencija nudi jednodnevni izlet brodom. Cijena je izleta $300\mathrm{kn}$ po osobi. Za svaku sljedeću osobu cijena se umanjuje za $20\mathrm{kn}.$ Ako dvije osobe idu na izlet, cijena po osobi je $280\mathrm{kn},$ za tri osobe $260\mathrm{kn}$ itd. Kapacitet broda je $12$ osoba. Koliko bi osoba trebalo biti prijavljeno za izlet da bi agencija poslovala rentabilno? Ukupni troškovi agencije iznose $1000\mathrm{kn}.$ Kada će agencija postići maksimalnu dobit? Koji je maksimalni ukupni prihod agencije? Nacrtajte grafove funkcija prihoda i dobiti.

• cijena po osobi, $p=300-20\left(x-1\right)=320-20x$
• $x...$ broj osoba na izletu
  
• prihod agencije, $P\left(x\right)=p·x=\left(320-20x\right)·x=320x-20x^2$ 
• dobit agencije, $D\left(x\right)=P\left(x\right)-1000=-20x^2+320x-1000$ 

Pokušajte rješenje dobiti s pomoću prethodnog predloška. Zbog manjih vrijednosti potrebno je povećati prikaz koordinatnog sustava. Svakako točku na paraboli prije upisivanja koeficijenata pomaknite na početak, blizu nule, kako biste ju mogli upotrijebiti i dalje za čitanje vrijednosti na paraboli.

Rentabilno poslovanje znači poslovanje bez gubitka, tj. $D\left(x\right)\ge 0.$ Rješenje nejednadžbe je $x\in \left[8-\sqrt{14},8+\sqrt{14}\right]\Rightarrow$ poslovanje je rentabilno ako na izlet ide između $5$ i $11$ osoba.

Maksimalnu dobit ( $280\mathrm{kn}$) te maksimalan ukupni prihod ( $1 280\mathrm{kn}$) agencija ostvaruje ako je na izletu $8$ osoba.

Primjena u svakodnevnom životu

Primjer 4.

Postavljanje ograde

Perica je kupio ogradu dugu $100$ metra za travnjak u obliku pravokutnika. Koje će dimenzije imati stranice Peričina travnjaka a da mu površina bude najveća moguća? Kolika će biti ta površina?

Duljina ograde jednaka je opsegu pravokutnika sa stranicama budućeg travnjaka, $x$ i $y:$ $2x+2y=100.$

Kako tražimo maksimalnu površinu $\left(P=x·y\right),$ definirajmo je kao funkciju u ovisnosti o stranici $x.$ Drugu stranicu prikažimo s pomoću $x:$ $2y=100-2x/:2\Rightarrow y=50-x$ i uvrstimo u formulu za površinu:

$P\left(x\right)=x·y=x·\left(50-x\right)=50x-x^2=-x^2+50x.$

Imamo kvadratnu funkciju kojoj je ​ $a<0$ pa funkcija ima maksimalnu vrijednost, odnosno maksimalnu površinu u tjemenu parabole:

$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-2500}{-4}=625\Rightarrow$ maksimalna je površina travnjaka $625{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Još moramo odrediti dimenzije travnjaka. Maksimum se postiže za $x=x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{-2}=25\mathrm{m}$ pa je druga stranica pravokutnika $y=50-x=50-25=25\mathrm{m}.$

Zaključimo: Peričin je travnjak kvadratnog oblika, stranice $25\mathrm{m}$ i maksimalne površine $625{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 7.

Perica je vidio da su travnjaci uglavnom pravokutnog oblika pa se predomislio i odlučio napraviti travnjak u obliku kruga, s fontanom u sredini. Kolika će biti površina ograđenog dijela a da se iskoristi svih $100\mathrm{m}$ kupljene ograde? Koliki je promjer ograđenog dijela?

Riješite zadatak odgovarajući na sljedeća pitanja.

1. Povežite pojam s pripadajućom formulom.

   opseg kruga, $o$	$2r\pi$
   polumjer	$r$
   površina kruga, $P$	$r^2\pi$
   promjer	$2r$

   

   null

2. Ako je opseg kruga $o,$ koliki je $r\left(o\right)?$
   

   $\frac{o}{2}$ 

   $\frac{o}{\pi }$  

   $\frac{o}{2\pi }$ 

   $o·2\pi$

   

   Pomoć:

   Opseg podijelite s ​ $2\pi .$  
   

    
   

3. Dobiveni $r$ uvrstite u formulu za površinu kruga. Dobije se kvadratna funkcija:
   

   $P\left(o\right)=\frac{o^2}{\pi }$

   $P\left(o\right)=\frac{o^2}{4\pi }$ 

   $P\left(o\right)={\left(\frac{o}{2\pi }\right)}^2$

   $P\left(o\right)={\left(\frac{o}{2}\right)}^2\pi .$

   

    
   

    
   

4. Odgovorite na pitanja u zadatku. Rješenja zaokružite na dvije decimale. Površina ograđenog dijela iznosi

   Uvrstite $o=100$ i $\pi$ u prethodno dobiveni izraz za površinu.

   , a promjer ograđenog dijela je .

   

    
   

    
   

Zadatak 8.

U slobodno vrijeme kao hobi izrađujete glinene posude. Prodajete ih po $62\mathrm{kn}.$ Za svaku dodatnu kupljenu posudu spuštate cijenu za $2\mathrm{kn}.$ S koliko prodanih posuda jednoj osobi ćete najbolje zaraditi?

Rješenje

Cijena $p=62-2\left(x-1\right),$ gdje je $x$  broj prodanih posuda jednoj osobi.

Zarada $z\left(x\right)=p·x,$ uvrstite $p$ i rješenje ćete dobiti računajući maksimalnu zaradu, odnosno koordinate tjemena parabole $z\left(x\right)=-2x^2+64x.$

Zarada je najveća za $16$ prodanih glinenih posuda odjedanput i iznosi $512\mathrm{kn}.$

---

Zatvori

Primjena u matematici

Zadatak 9.

Rastavite broj $18$ na pribrojnike tako da umnožak pribrojnika bude što veći.

Primjer 5.

U polukružnicu promjera $10$ upišemo trapez čija je dulja osnovica jednaka promjeru, a opseg najveći mogući.

Uočimo dva pravokutna trokuta (kao na slici). Metodom supstitucije uvrstimo $v$ iz jedne jednakosti u drugu, sredimo jednakost i dobijemo stranicu $c$ u ovisnosti o $b$. U formulu za opseg uvrstimo $a=10$ i $c=10-\frac{1}{5}{b}^2.$

Kako se traži da je opseg najveći mogući, potražimo koordinate tjemena dobivene kvadratne funkcije $o\left(b\right)=-\frac{1}{5}{b}^2+2b+20.$

Za ​ $a=10,b=5\mathrm{i}c=5$ opseg trapeza je najveći i iznosi ​ $o=25\mathrm{cm}.$

Zadatak 10.

Od žice duljine $90\mathrm{cm}$ treba napraviti kvadrat i jednakostranični trokut. Kolike moraju biti stranice dobivenih likova da bi zbroj njihovih površina bio najmanji?

Zadatak 11.

U modulu Kvadratna jednadžba rješavali ste problem bakina vrta: Baka je kupila $16\mathrm{m}$ žice. Kako može ograditi svoj vrt pravokutnog oblika a da površina ograđenog dijela bude najveća?

Prisjetite se predloška kojim ste došli do rješenja (u nastavku).

Prikažite stranicu $b$ kao funkciju stranice $a$.

Napišite u bilježnicu kvadratnu funkciju kojom možete riješiti problem maksimalne površine te izračunajte duljine stranica ograđenog vrta.

Možete li generalizirati problem minimuma/maksimuma za geometrijske likove?