Riješite nejednadžbu x-2x-4≤0.
Prisjetimo se: ovakvu nejednadžbu rješavali smo kao sustav dviju linearnih nejednadžbi rastavljajući je na dva slučaja.
Rješenje prvog slučaja daje interval x∈[2,4⟩, a drugi sustav ne daje rješenje (presjek je prazan skup). Ukupno rješenje je unija rješenja iz oba slučaja, što za našu nejednadžbu daje x∈[2,4⟩.
Množenjem nejednadžbe
x-2x-4≤0
izrazom
x-4 dobit ćemo ekvivalentne nejednadžbe?
Pomoć:
Znamo li vrijednost izraza x-4? Je li pozitiva ili negativna?
Množenjem nejednadžbe x-2x-4≤0 izrazom (x-4)2 dobit ćemo ekvivlentnu nejednadžbu?
Jednako kao i kod linearnih jednadžbi i složenije kvadratne nejednadžbe svest će se na rješavanje sustava kvadratnih nejednadžbi. Pogledajmo kako se rješavaju sustavi kvadratnih nejednadžbi.
Primjer 1.
Riješimo sustav kvadratnih nejednadžbi:
{-x2+5x<4x2>4.
Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sve brojeve koji zadovoljavaju i jednu i drugu nejednadžbu. Da bismo odredili rješenje sustava, rješit ćemo svaku nejednadžbu zasebno te nakon toga odrediti presjek obaju rješenja.
Nejednadžba -x2+5x<4 može se napisati u obliku -x2+5x-4<0. Odredimo nultočke kvadratne funkcije f(x)=-x2+5x-4. Rješavajući kvadratnu jednadžbu dobivamo x1=1,x2=4. Grafički predočimo funkciju i očitajmo rješenje.
Rješenje prve nejednadžbe je interval ⟨-∞,1⟩∪⟨4,+∞⟩.
Nejednadžba x2>4 je ekvivalentna nejednadžbi x2-4>0, čije nultočke su x1=-2,x2=2. Grafički predočimo funkciju f(x)=x2-4 i očitajmo rješenje.
Rješenje druge nejednadžbe je interval <-∞,-2>∪<2,+∞>.
Presjek tih dvaju rješenja možemo prikazati na pravcu.
Konačno rješenje je presjek rješenja iz prvoga i drugoga slučaja ⟨-∞,-2⟩∪⟨4,+∞⟩.
Riješite sustav nejednadžbi.
{2x2-x-3≤0x2+3x-4>0
Kao pomoć možete upotrijebiti predložak za rješavanje kvadratnih nejednadžbi.
x∈⟨1,32]
Riješite sustav.
{x2+x+1≤0x2+2x+4≥0
Kao pomoć možete upotrijebiti GeoGebrin predložak iz prethodnog zadatka kako biste riješili kvadratne nejednadžbe.
Rješenje prve nejednadžbe je ∅, a rješenje druge nejednadžbe je cijeli skup R. Njihov je presjek ∅ pa je to traženo rješenje.
Koliko cjelobrojnih rješenja ima sustav nejednadžbi:
{|x2-5x+4|≥2|x|<2017.
Taj se zadatak pojavio na školskom natjecanju iz Matematike 2017. godine u B kategoriji.
4031
Rješenje je iscrpno obašnjeno na 9. stranici na linku: ŠK natjecanje2017.
Vrijednost izraza
x2-3xx2-3x+2
za
x=-1 je:
Vrijednost izraza
x2-3xx2-3x+2
za
x=0.5
je:
Vrijednost izraza
x2-3xx2-3x+2
za
x=1.5
je:
Vrijednost izraza
x2-3xx2-3x+2
za
x=2.5
je:
Vrijednost izraza
x2-3xx2-3x+2
za
x=4 je:
Primjer 2.
Složenije nejednadžbe svode se na sustave nejednadžbi. Pogledajmo primjer.
Riješimo nejednadžbu: x2-3xx2-3x+2≤0.
Razlomak je negativan ako su brojnik i nazivnik suprotnih predznaka.
Zato tu nejednadžbu možemo raspisati na dva slučaja:
- Prvi slučaj x2-3x≥0ix2-3x+2<0
- Drugi slučaj x2-3x≤0ix2-3x+2>0.
U prvom je slučaju rješenje prve nejednadžbe ⟨-∞,0]∪[3,+∞⟩, a druge ⟨1,2⟩. Presjek tih dvaju rješenja je prazan skup.
U drugom je slučaju rješenje prve nejednadžbe [0,3], a druge ⟨-∞,1⟩∪⟨2,+∞⟩.
Presjek tih dvaju rješenja je [0,1⟩∪⟨2,3].
Konačno rješenje dobijemo kao uniju rješenja iz prvoga i drugoga slučaja: [0,1⟩∪⟨2,3].
Napomena: Kao pomoć pri rješavanju kvadratnih nejednadžbi možete upotrijebiti GeoGebrin predložak iz prvog zadatka.
Rješavanje složenijih jednadžbi raspisivanjem na slučajeve prilično je zahtjevno. Treba biti osobito pažljiv ‒ kad određujemo uniju, a kad presjek rješenja. Jednostavniji način rješavanja složenih nejednadžbi je s pomoću testiranja točaka intervala. Pogledajmo na našem primjeru.
Ako faktoriziramo našu nejednadžbu, dobivamo:
x(x-3)(x-1)(x-2)≤0.
Tzv. kritične točke (točke u kojima se mijenjaju predzanci linearnih članova) dobijemo izjednačavanjem svakog od linearnih faktora s 0.
Kritične točke:
x=0⇒x1=0
x-3=0⇒x2=3
x-1=0⇒x3=0
x-2=0⇒x4=2.
Ako podijelimo skup realnih brojeva na podintervale i smjestimo u tablicu, dobit ćemo:
Rješenje možemo pročitati u posljednjem retku tablice. Kako se u nejednadžbi traže intervali u kojima je vrijednost manja od
0
ili jednaka
0, rješenje je
[0,1⟩∪⟨2,3].
Primjer 3.
Rješimo nejednadžbu.
2xx-1≤xx-2
Najjednostavnije bi bilo kad bismo nejednadžbu mogli pomnožiti s nazivnicima i svesti na jednu nejednadžbu. Nažalost, to nije moguće bez dodatnih uvjeta. Prisjeti se prvog primjera!
Ako prebacimo sve na lijevu stranu, dobivamo 2xx-1-xx-2≤0. Svođenje na zajednički nazivnik i sređivanje izraza daje x2-3xx2-3x+2≤0. Dobili smo nejednadžbu koju smo riješili u prethodnom primjeru.
Riješite nejednadžbu: x2-2x2-x-2≥1.
⟨-1,0]∪⟨2,+∞⟩
Postupak rješavanja složenijih nejednadžbi:
Za uvježbavanje rješavanja složenijih nejednadžbi možete upotrijebiti generator zadataka. Rješenje provjeravajte pritiskom na tipku RJEŠENJE, a novi zadatak dobit ćete pritiskom na tipku NOVI ZADATAK.
Za kraj ponovimo postupak rješavanja složenijih nejednadžbi s pomoću animacije.