Processing math: 100%
x
Učitavanje

3.7 Složenije nejednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Riješite nejednadžbu ​ x-2x-40.

Prisjetimo se: ovakvu nejednadžbu rješavali smo kao sustav dviju linearnih nejednadžbi rastavljajući je na dva slučaja.

Rješenje prvog slučaja daje interval x[2,4, a drugi sustav ne daje rješenje (presjek je prazan skup). Ukupno rješenje je unija rješenja iz oba slučaja, što za našu nejednadžbu daje x[2,4.

  1. Množenjem nejednadžbe x-2x-40 izrazom x-4 dobit ćemo ekvivalentne nejednadžbe?

    Pomoć:

    Znamo li vrijednost izraza x-4? Je li pozitiva ili negativna?

    null
  2. Množenjem nejednadžbe x-2x-40 izrazom (x-4)2 dobit ćemo ekvivlentnu nejednadžbu?

    null

Sustav kvadratnih nejednadžbi

Jednako kao i kod linearnih jednadžbi i složenije kvadratne nejednadžbe svest će se na rješavanje sustava kvadratnih nejednadžbi. Pogledajmo kako se rješavaju sustavi kvadratnih nejednadžbi.

Primjer 1.

Riješimo sustav kvadratnih nejednadžbi:

{-x2+5x<4x2>4.

Riješiti sustav nejednadžbi znači pronaći sve brojeve koji zadovoljavaju i jednu i drugu nejednadžbu. Da bismo odredili rješenje sustava, rješit ćemo svaku nejednadžbu zasebno te nakon toga odrediti presjek obaju rješenja.

Nejednadžba -x2+5x<4 može se napisati u obliku -x2+5x-4<0. Odredimo nultočke kvadratne funkcije f(x)=-x2+5x-4. Rješavajući kvadratnu jednadžbu dobivamo x1=1,x2=4. Grafički predočimo funkciju i očitajmo rješenje.

Grafički prikaz rješenja prve kvadratne nejednadžbe
Grafički prikaz rješenja prve kvadratne nejednadžbe

Rješenje prve nejednadžbe je interval -,14,+.

Nejednadžba x2>4 je ekvivalentna nejednadžbi x2-4>0, čije nultočke su x1=-2,x2=2. Grafički predočimo funkciju f(x)=x2-4 i očitajmo rješenje.

Grafički prikaz rješenja druge kvadratne nejednadžbe
Grafički prikaz rješenja druge kvadratne nejednadžbe

Rješenje druge nejednadžbe je interval <-,-2><2,+>.

Presjek tih dvaju rješenja možemo prikazati na pravcu.

Konačno rješenje-presjek dvaju skupova na pravcu
Presjek dvaju skupova na pravcu

Konačno rješenje je presjek rješenja iz prvoga i drugoga slučaja -,-24,+.

Zadatak 1.

Riješite sustav nejednadžbi.

{2x2-x-30x2+3x-4>0

Kao pomoć možete upotrijebiti predložak za rješavanje kvadratnih nejednadžbi.

Povećaj ili smanji interakciju

x1,32]  ​


Zadatak 2.

Riješite sustav.

{x2+x+10x2+2x+40

Kao pomoć možete upotrijebiti GeoGebrin predložak iz prethodnog zadatka kako biste riješili kvadratne nejednadžbe.

Rješenje prve nejednadžbe je , a rješenje druge nejednadžbe je cijeli skup R. Njihov je presjek pa je to traženo rješenje.


Kutak za znatiželjne

Koliko cjelobrojnih rješenja ima sustav nejednadžbi:

{|x2-5x+4|2|x|<2017.

Taj se zadatak pojavio na školskom natjecanju iz Matematike 2017. godine u B kategoriji.

4031

Rješenje je iscrpno obašnjeno na 9. stranici na linku: ŠK natjecanje2017.


Složenije nejednadžbe

  1. Odredi x za koji je brojnik razlomka x2-3xx2-3x+2 jednak 0.

    x= 
    x= 
    null
    null
  2. Odredite x za koje je nazivnik razlomka x2-3xx2-3x+2 jednak 0.

    x= 
    x= 
    null
    null
  3. Vrijednost izraza x2-3xx2-3x+2 za x=-1 je:

    null
    null
  4. Vrijednost izraza x2-3xx2-3x+2 za x=0.5 je:

    null
    null
  5. Vrijednost izraza x2-3xx2-3x+2 za x=1.5 je:

    null
    null
  6. Vrijednost izraza x2-3xx2-3x+2 za x=2.5 je:

    null
    null
  7. Vrijednost izraza x2-3xx2-3x+2 za x=4 je:

    null
    null

Primjer 2.

Složenije nejednadžbe svode se na sustave nejednadžbi. Pogledajmo primjer.

Riješimo nejednadžbu: x2-3xx2-3x+20.

Razlomak je negativan ako su brojnik i nazivnik suprotnih predznaka.

Zato tu nejednadžbu možemo raspisati na dva slučaja:

  • Prvi slučaj x2-3x0ix2-3x+2<0 
  • Drugi slučaj x2-3x0ix2-3x+2>0.

U prvom je slučaju rješenje prve nejednadžbe -,0][3,+, a druge 1,2. Presjek tih dvaju rješenja je prazan skup.

U drugom je slučaju rješenje prve nejednadžbe [0,3], a druge -,12,+.

Presjek tih dvaju rješenja je [0,12,3].

Konačno rješenje dobijemo kao uniju rješenja iz prvoga i drugoga slučaja: [0,12,3].

Napomena: Kao pomoć pri rješavanju kvadratnih nejednadžbi možete upotrijebiti GeoGebrin predložak iz prvog zadatka.

Rješavanje složenijih jednadžbi raspisivanjem na slučajeve prilično je zahtjevno. Treba biti osobito pažljiv ‒ kad određujemo uniju, a kad presjek rješenja. Jednostavniji način rješavanja složenih nejednadžbi je s pomoću testiranja točaka intervala. Pogledajmo na našem primjeru.

Ako faktoriziramo našu nejednadžbu, dobivamo:

x(x-3)(x-1)(x-2)0.

Tzv. kritične točke (točke u kojima se mijenjaju predzanci linearnih članova) dobijemo izjednačavanjem svakog od linearnih faktora s 0.

Kritične točke:

x=0x1=0

x-3=0x2=3

x-1=0x3=0

x-2=0x4=2.

Ako podijelimo skup realnih brojeva na podintervale i smjestimo u tablicu, dobit ćemo:

Tablica predznaka
Tablica predznaka

Rješenje možemo pročitati u posljednjem retku tablice. Kako se u nejednadžbi traže intervali u kojima je vrijednost manja od 0 ili jednaka 0, rješenje je [0,12,3].

Primjer 3.

Rješimo nejednadžbu. ​

2xx-1xx-2

Najjednostavnije bi bilo kad bismo nejednadžbu mogli pomnožiti s nazivnicima i svesti na jednu nejednadžbu. Nažalost, to nije moguće bez dodatnih uvjeta. Prisjeti se prvog primjera!

Ako prebacimo sve na lijevu stranu, dobivamo ​ 2xx-1-xx-20. Svođenje na zajednički nazivnik i sređivanje izraza daje x2-3xx2-3x+20. Dobili smo nejednadžbu koju smo riješili u prethodnom primjeru.

Zadatak 3.

Riješite nejednadžbu: ​ x2-2x2-x-21.

-1,0]2,+  


Postupak rješavanja složenijih nejednadžbi:

  1. Prebacite sve članove na lijevu stranu, tako da s desne strane znaka nejednakosti ostane 0.
  2. Sredite izraz na lijevoj strani (zbrojite, faktorizirajte i skratite ako možete), tako da dobijete samo jedan razlomak.
  3. Nađite kritične točke tako da svaki linearni ili kvadratni član izjednačite s 0.
  4. Napravite analizu predznaka u tablici. Intervale određuju kritične točke, a predznake dobijemo uvrštavanjem nekog broja iz intervala u linearni, odnosno kvadratni član.
  5. Upotrijebite svojstvo množenja pozitivnih i negativnih brojeva da biste dobili predznak traženog izraza u posljednjem redu tablice.
  6. Odredite rješenje isčitavajući predznak traženog izraza. Ako se u nejednadžbi traži manje ili manje jednako 0, rješenje su intervali u kojima je znak -, povezani znakom unija, a ako se u nejednadžbi traži veće ili veće jednako, rješenja su intervali u kojima je znak +, povezani znakom unija.

Za uvježbavanje rješavanja složenijih nejednadžbi možete upotrijebiti generator zadataka. Rješenje provjeravajte pritiskom na tipku RJEŠENJE, a novi zadatak dobit ćete pritiskom na tipku NOVI ZADATAK.

Povećaj ili smanji interakciju

...i na kraju

Rješavanje složenije nejednadžbe

Za kraj ponovimo postupak rješavanja složenijih nejednadžbi s pomoću animacije.

Idemo na sljedeću jedinicu

3.8 Primjena kvadratne funkcije