Matematika 2 - 3.6 Iracionalne jednadžbe

Na početku...

Prisjetimo se pojma iracionalno.

Koji su od navedenih brojeva iracionalni brojevi?

$\frac{1}{2}$
Racionalan broj

$\sqrt{5}$

$\frac{1}{3} \sqrt{3}$

$\sqrt{2} i$
Ovo je imaginarni broj

null

null
Koje su od navedenih iracionalne jednadžbe?

$x - 1 = \sqrt{2}$

$\sqrt{x - 1} = 2$

$\sqrt{x} - 1 = \sqrt{2}$

${(x - 1)}^{2} = 2$

$\sqrt{x - 1} > 2$

null

null

Jednadžbe u kojima je nepoznanica pod znakom korijena nazivamo iracionalne jednadžbe. Prvi korak u njihovu rješavanju je potenciranje.

Projekt

Pojmom iracionalnosti bavili su se mnogi matematičari tijekom povijesti. Među prvima je bio pitagorejac Hipas pa poslije Eudoxo iz Cnidusa, Theodor iz Cyrene, Indijci Samhitas, Brahmanas i Shulba Sutras, poslije Manava, Brahmagupta i Bhaskara I. te u srednjem vijeku perzijski matematičar Al-Mahani i mnogi drugi.

Istražite razvoj pojma iracionalnosti kroz povijest.

Primjer 1.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera iracionalnih jednadžbi.

Iracionalne jednadžbe

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} = 2 \\ x = 2^{3} \\ x = 8 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} = - 2 \\ x = {(- 2)}^{3} \\ x = - 8 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt{x} = 2 \\ x = 2^{2} \\ x = 4 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt{x} = - 2 \\ x = {(- 2)}^{2} \\ x = 4 \end{array}$ $\begin{array}{l} - \sqrt{x} = 2 \\ x = 2^{2} \\ x = 4 \end{array}$

Provjera: Provjera: Provjera: Provjera: Provjera:

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{8} = 2 \\ 2 = 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 8} = - 2 \\ - 2 = - 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt{4} = 2 \\ 2 = 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt{4} \neq - 2 \\ 2 \neq - 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} - \sqrt{4} \neq 2 \\ - 2 \neq 2 \end{array}$

Iracionalne jednadžbe
$\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} = 2 \\ x = 2^{3} \\ x = 8 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt[3]{x} = - 2 \\ x = {(- 2)}^{3} \\ x = - 8 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt{x} = 2 \\ x = 2^{2} \\ x = 4 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt{x} = - 2 \\ x = {(- 2)}^{2} \\ x = 4 \end{array}$	$\begin{array}{l} - \sqrt{x} = 2 \\ x = 2^{2} \\ x = 4 \end{array}$
Provjera:	Provjera:	Provjera:	Provjera:	Provjera:
$\begin{array}{l} \sqrt[3]{8} = 2 \\ 2 = 2 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 8} = - 2 \\ - 2 = - 2 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt{4} = 2 \\ 2 = 2 \end{array}$	$\begin{array}{l} \sqrt{4} \neq - 2 \\ 2 \neq - 2 \end{array}$	$\begin{array}{l} - \sqrt{4} \neq 2 \\ - 2 \neq 2 \end{array}$

Rješavanje iracionalnih jednadžbi s parnim korijenom

Potenciranjem se rješavamo znaka korijena, ali kod parnih korijena dobili smo netočno rješenje. Zašto?

Računanja s korijenima možete se podsjetiti u Matematici 1, modul Korijeni i potencije.

Množenjem ili dijeljenjem jednadžbe nekim brojem (različitim od nula) dobivali smo ekvivalentne jednadžbe. Njihova su rješenja bila jednaka rješenjima početne jednadžbe.

Kvadriranjem iracionalne jednadžbe (ili potenciranjem s parnim eksponentom) ne dobivamo ekvivalentne jednadžbe, ali je svako rješenje polazne jednadžbe sačuvano. Možemo dobiti višak rješenja.

Primjer 2.

Jednadžba $\sqrt{x + 3} = - 1$ nema rješenja u skupu realnih brojeva. Kvadrirajući, dobili bismo jednadžbu $x + 3 = 1,$ tj. $x = - 2 .$ Uvrštavanjem u početnu jednadžbu možemo uočiti da $x = - 2$ ne zadovoljava jednadžbu. $x = - 2$ nije rješenje te jednadžbe.

Da jednadžba $\sqrt{x + 3} = - 1$ nema rješenja, mogli smo zaključiti i bez rješavanja. Drugi korijen nikada ne može biti negativan (u našem slučaju $- 1$ ).

Primjer 3.

Pogledajmo još jedan primjer.

$\sqrt{x + 2} = x$

Kvadriranjem dobijemo

$x + 2 = x^{2}$

$- x^{2} + x + 2 = 0$

$x_{1} = 2, x_{2} = - 1 .$

Uvrštavanjem vrijednosti za $x$ u početnu jednadžbu dobivamo:

za $x_{1} = 2$

$\sqrt{2 + 2} = 2$

$\sqrt{4} = 2,$

za $x_{2} = - 1$

$\sqrt{- 1 + 2} = - 1$

$\sqrt{1} \neq - 1 .$

Dakle, rješenje je $x = 2 .$

I u tom smo primjeru imali drugi korijen. Također smo mogli razmišljati o tome da je drugi korijen nenegativan realan broj te postaviti uvjet $x \geq 0,$ koji zadovoljava rješenje $x_{1} = 2,$ ali ne i $x_{2} = - 1 .$ Je li to jedini uvjet u ovom primjeru?

Funkcija drugi korijen (i svaki parni korijen) nije definirana za negativne brojeve i uvijek je nenegativan realan broj.

Jednadžba $\sqrt{x + 2} = x$ ima dva uvjeta: $x + 2 \geq 0$ i $x \geq 0 .$ Presjek tih dvaju uvjeta je $x \geq 0$ pa smo prethodni primjer dobro riješili iako smo „ zaboravili” na jedan uvjet. Na taj uvjet možemo uvijek „ zaboraviti” jer kvadriranjem desne strane dobijemo „nešto” na kvadrat, što je uvijek pozitivno.

Primjer 4.

Riješimo primjer $\sqrt{1 + 3 x} + x = 1 .$

Kvadriramo li jednadžbu u ovom obliku, u kojem s lijeve strane imamo binom, trebali bismo upotrijebiti formulu za kvadriranje binoma ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$ Ali time bismo i dalje zadržali korijen s lijeve strane (pokušajte kvadrirati).

Bolje je $x$ prebaciti na desnu stranu tako da nam na lijevoj strani jednadžbe ostane samo korijen.

$\sqrt{1 + 3 x} = 1 - x$

Kvadriranjem dobijemo:

$1 + 3 x = 1 - 2 x + x^{2}$

$- x^{2} + 5 x = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = 5 .$

Uvjeti:

$1 + 3 x \geq 0 \Rightarrow x \geq - \frac{1}{3}$ (mogli smo i izostaviti)

$1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 .$

Presjek tih dvaju uvjeta je interval $[- \frac{1}{3}, 1] .$ Prvi $x_{1} = 0$ zadovoljava uvjete pa je rješenje naše jednadžbe, a $x_{2} = 5$ ne zadovoljava uvjete pa odbacujemo kao rješenje.

Zadatak 1.

Riješite jednadžbu $\sqrt{x - 1} + 7 = x .$

$x = 10$

Napomena

$x = 5$ ne zadovoljava početnu jednadžbu.

Primjer 5.

Riješimo jednadžbu: $\sqrt{5 - x^{2}} = x + 1 .$

Postupak rješavanja te jednadžbe pomno je objašnjen u videozapisu koji slijedi.

Iracionalne jednadžbe s parnim korijenima rješavamo potenciranjem. Pritom možemo dobiti višak rješenja. Da bismo odredili koja su rješenja točna, potrebno je:

provjeriti rješenja uvrštavanjem u početnu jednadžbu

ili ispisati uvjete za parni korijen te provjeriti koja rješenja zadovoljavaju sve uvjete.

Napomena

U iracionalnim je jednadžbama obično jednostavnije provjeriti rješenja uvrštavanjem u početnu jednadžbu. No vrijedi li to i za nejednadžbe?

Kutak za znatiželjne

Riješimo nejednadžbu: $\sqrt{x^{2} - 5 x + 4} < x - 3 .$

Nakon kvadriranja dobijemo: $x^{2} - 5 x + 4 < x^{2} - 6 x + 9 \Rightarrow x < 5 .$

Provjeriti sve brojeve koji su manji od $5$ nije moguće. Zato u nejednadžbi moramo upotrijebiti uvjete.

Uvjeti:

$x^{2} - 5 x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \in ⟨- \infty, 1] \cup [4, + \infty⟩$

$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 .$

Konačno rješenje mora zadovoljavati rješenje nejednadžbe i oba uvjeta pa je to interval: $[4, 5⟩ .$

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu: $2 x - 6 = \sqrt{6 x - x^{2} - 5}$ .

$x = \frac{15 + 2 \sqrt{5}}{5} \approx 3.89$

Primjer 6.

Riješimo primjer: $\sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{x} + \sqrt{x - 4} = 0 .$

U ovom slučaju s lijeve strane znaka jednakosti imamo trinom. Nije moguće dobiti samo jedan korijen s jedne strane znaka jednakosti. Prebacimo li jedan korijen na desnu stranu, još će nam ostati binom. Pokušajmo riješiti zadatak kvadrirajući binom s jedne strane.

$\sqrt{3 x + 4} + \sqrt{x - 4} = 2 \sqrt{x}$ nakon kvadriranja dobivamo

$3 x + 4 + 2 \sqrt{3 x^{2} - 8 x - 16} + x - 4 = 4 x.$ Sredimo li izraz dobit ćemo

$2 \sqrt{3 x^{2} - 8 x - 16} = 0 .$ Ponovno kvadriramo i dobijemo

$12 x^{2} - 32 x - 64 = 0 .$

Rješenja jednadžbe su: $x_{1} = 4, x_{2} = - \frac{4}{3} .$

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu ili ispisivanjem uvjeta možemo provjeriti da je samo $x_{1} = 4$ rješenje početne jednadžbe.

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu: $\sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 2} = 2 .$

$x = 6$

3.6 Iracionalne jednadžbe

Na početku...

Projekt

Rješavanje iracionalnih jednadžbi s parnim korijenom

Zadatak 1.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Rješavanje iracionalnih jednadžbi s neparnim korijenom

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

3.7 Složenije nejednadžbe