3.4 Presjek pravca i parabole

Položaj pravca i parabole

Pravac i parabola mogu se naći u trima položajima:

1. ​parabola i pravac se ne sijeku
2. parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
3. parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.
   

Presjek pravca i parabole moguće je pronaći na dva načina: analitički i grafički.

U sljedećim primjerima pokazat ćemo kako se to radi analitički.

Neka su pravac i parabola zadani jednadžbama. Naći presjek pravca i parabole znači odrediti koordinate točaka koje zadovoljavaju jednadžbu pravca i jednadžbu parabole. Te su koordinate rješenja pripadnog sustava jednadžbi.

Sjetite se metode supstitucije koju ste primjenjivali pri rješavanju dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Metodu supstitucije primijenit ćemo i ovdje. Iz linearne jednadžbe izrazit ćemo jednu nepoznanicu s pomoću druge te ju uvrstiti u drugu kvadratnu jednadžbu.

Moguće je također primijeniti metodu suprotnih koeficijenata.

Primjer 1.

Pronađimo sjecišta pravca $y=2x+3$ i parabole $y=-x^2+6x.$

Lijeve strane jednakosti su jednake, pa izjednačimo i desne:

$2x+3=-x^2+6x.$

Sređivanjem izraza dobit ćemo kvadratnu jednadžbu:

$x^2-4x+3=0.$

Riješimo je s pomoću poznate formule.

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{16-4·1·3}}{2·1}=\frac{4\pm 2}{2}$

$x_1=3,x_2=1$

Rješenja uvrstimo u jednadžbu pravca kako bismo dobili vrijednost $y$ koordinate:

$y_1=2·3+3=9$

$y_2=2·1+3=5.$

Točke u kojima se pravac i parabola sijeku su $\left(3,9\right)\mathrm{i}\left(1,5\right).$

Pravac je sekanta parabole.

Pogledajmo grafički prikaz.

Primjer 2.

Pronađimo sjecišta pravca $y=-4x+4$ i parabole $y-4=-{\left(x+1\right)}^2.$

Umjesto y, u drugu jednadžbu uvrstimo $-4x+4.$

$-4x+4-4=-{\left(x+1\right)}^2$

Jednadžbu sredimo:

${\left(x+1\right)}^2=4x$

$x^2+2x-4x+1=0$

$x^2-2x+1=0$ .

Jedina vrijednost koja zadovoljava tu jednadžbu je $x=1.$

$y=-4·1+4$ 

$y=0$ 

Dobili smo samo jednu točku $\left(1,0\right).$ Što to znači? Sijeku li se parabola i pravac?

Parabola i pravac dodiruju se, tj. imaju jednu zajedničku točku. Pravac je tangenta parabole.

Primjer 3.

Odredimo sjecišta pravca $y=x+2$ i parabole $y=2x^2+3.$

$x+2=2·x^2+3$

$-2x^2+x-1=0$

Rješenja te kvadratne jednadžbe nisu realna. Sijeku li se pravac i parabola?

U ovom slučaju pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

Diskriminanta i broj sjecišta

Pri traženju sjecišta kvadratne i linearne funkcije rješavamo kvadratnu jednadžbu. Možemo li prije rješavanja znati postoje li dva sjecišta, jedna dodirna točka ili se pravac i parabola ne sijeku?

Pozorno pogledajte primjere i uočite da:

1. ​ako kvadratna jednadžba ima dva različita realna rješenja, onda postoje dvije zajedničke točke, tj. pravac i parabola se sijeku
2. ako kvadratna jednadžba ima dva ista realna rješenja, onda se pravac i parabola dodiruju, tj. pravac je tangenta parabole
3. ako kvadratna jedndažba ima dva kompleksna rješenja, onda pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

Možemo li znati rješenja kvadratne jednadžbe prije njezina rješavanja?

Sjetite se diskriminante kvadratne jdnadžbe. S pomoću nje možemo ispitati vrstu rješenja te zaključiti kakav je položaj zadanog pravca i parabole.

Pri rješavanju sustava jednadžbi $y=kx+l$ i $y=a{x}^2+bx+c$ dolazimo do kvadratne jednadžbe $a{x}^2+\left(b-k\right)·x+c-l=0.$

Ovisno o diskriminanti, kvadratna jednadžba može imati: ​

• ​​dva različita realna rješenja za $D>0$
  
• dva jednaka realna rješenja za $D=0$
  
• dva kompleksna rješenja za $D<0.$
  

Ovisnost broja sjecišta o diskriminanti:

• ​ako je $D>0,$ pravac siječe parabolu u dvjema točkama
• ako je $D=0,$ pravac dodiruje parabolu
• ako je $D<0,$ pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka.

1. Povežite diskriminantu i broj sjecišta pravca i parabole

   $D=0$	Dvije zajedničke točkeJedna zajednička točkaNema zajedničkih točaka
   $D>0$ ​	Dvije zajedničke točkeJedna zajednička točkaNema zajedničkih točaka
   $D<0$  ​	Dvije zajedničke točkeJedna zajednička točkaNema zajedničkih točaka

   

   null

   null
2. Pravac koji siječe parabolu njezina je .

   

   null

   null
3. Pravac koji dodiruje parabolu u jednoj njezinoj točki njezina je .

   

   null

   null

Zadatak 1.

Analitički odredite sjecišta pravca i parabole.

1. $y=8x+3$ i $y=x^2+4x-9$ ​
2. $y+x=5$ i $y+3x^2=-7x+2$ ​
3. $y=-3x-10$ i $y=5x^2-2$​

Rješenje

---

Pogledajte u sljedećem videozapisu kako s pomoću GeoGebre možete grafički pronaći sjecišta parabole i pravca. Nakon što riješite analitički, rješenja možete brzo i lako provjeriti.

Primjer 4.

Riješimo sustav kvadratne i linearne funkcije grafički.

$y=x-5$

$y=x^2-6x+5$

U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf linearne i kvadratne funkcije.

Prvo nađimo sjecište grafa linearne funkcije s koodinatnim osima.

$x=0,y=0-5=-5$

$y=0,x=5$

Imamo dvije točke $\left(0,-5\right)$ i $\left(\mathrm{5,\; 0}\right).$

Za kvadratnu funkciju izračunajmo nultočke.

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{6\pm \sqrt{36-4·1·5}}{2·1}=\frac{6\pm 4}{2}$

$\left(\mathrm{5,\; 0}\right)$ i $\left(\mathrm{1,\; 0}\right)$ su nultočke. Izračunajmo x koordinatu tjemena kao aritmetičku sredinu nulišta.

$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+1}{2}=3$

$y_0=3^2-6·3+5=9-18+5=-4$

Imamo i točku $C\left(\mathrm{0,\; 5}\right).$

Nacrtajmo i potražimo točke u kojima se sijeku.

Vidimo da su sjecišta točke $\left(\mathrm{5,\; 0}\right)$ i $\left(2,-3\right).$

Kutak za znatiželjne

Presjek dviju parabola pronalazimo rješavajući sustav dviju kvadratnih jednadžbi.

Takav sustav također se svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe.

Dvije parabole mogu biti u sljedećem položaju:

• ​sijeku se u dvjema točkama
• imaju jednu zajedničku točku
  
• ne sijeku se.

Možemo li opisati njihov položaj s pomoću diskriminante kvadratne jednadžbe?

Riješite sustav.

$f\left(x\right)=x^2+3x$

$g\left(x\right)=x^2+3x+4$

Izjednačimo desne strane.

$x^2+3x=x^2+3x+4$

$0=4$

Dobili smo neistinitu jednakost pa zaključujemo da sustav nema rješenja. Parabole se ne sijeku.

Jesmo li mogli predvidjeti rješenje?