Matematika 8 - 8.3 Kvadar

Odnosi bridova i strana kvadra

Primjer 2.

Odredimo u kakvu su odnosu bridovi kvadra koji se spajaju u jednom njegovu vrhu.

Odaberimo jedan vrh, na primjer $F .$ Svi su bridovi koji se spajaju u vrhu $F$ u parovima okomiti, $\bar{E F} ⊥ \bar{B F} ⊥ \bar{G F} .$ To vrijedi za sve bridove kvadra koji se spajaju u vrhu kvadra.

Primjer 3.

Odredimo u kakvu su međusobnom položaju parovi susjednih strana kvadra.

Susjedne su strane kvadra međusobno okomite.

Kvadar ćemo opisati duljinama bridova, najčešće

a, b, c .

Dimenzije kvadra često zapisujemo i zapisom

a \times b \times c .

Proučavat ćemo mjerljiva obilježja kvadra.

Mjerljivo obilježje	Oznaka
duljina osnovnih bridova kvadra	$a, b, c$
duljine plošnih dijagonala kvadra	$d_{a b}, d_{b c}, d_{a c}$
duljina prostorne dijagonale kvadra	$D$
oplošje kvadra	$O$
volumen kvadra	$V$
površina dijagonalnog presjeka	$p_{d p}$

Mreža kvadra

Primjer 4.

Kutija ima oblik kvadra. Nacrtajmo kako izgleda takva kutija kad je rastvorimo u ravninu režući je duž bridova.

Ravninski je prikaz kvadra sastavljen od triju parova sukladnih pravokutnika.

Primjer 5.

Pridružimo mreži kvadra odgovarajuće duljine bridova.

Na slici je prikazana mreža kvadra s pridruženim duljinama bridova a, b i c

Mreža kvadra je ravninski prikaz svih strana kvadra. Mreža se kvadra osnovnih bridova duljine $a, b, c$ sastoji od triju parova sukladnih pravokutnika .

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Koji od prikaza predstavlja mrežu kvadra?

Na slici je tri para sukladnih pravokutnika naizmjenično postavljenih i međusobno spojenih

Na slici su dva para sukladnih pravokutnika ostali su različiti

null

Zadatak 2.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte stvaranje mreže kvadra. Pokušajte postići što raznolikije mreže. U gornjem su izborniku ponuđeni dijelovi mreže kvadra koje povlačite na plohu za slaganje. Dvoklikom na dio možete ga okrenuti prije nego ga prenesete u donji prostor za slaganje. (Na mobitelu prvo treba odabrati pa klikom okrenuti.). Obratite pažnju na to da ne možete spojiti dva dijela ako su im spojene stranice različitih duljina.

Zatvori

Oplošje kvadra

Zadatak 3.

Mirna je na tavanu kuće pronašla stari bakin drveni sanduk. Poželjela ga je obnoviti kako bi ga premjestila u svoju sobu. Roditelji su joj savjetovali kako ga mora prebrusiti i ponovno lakirati. Krenula je u trgovinu kupiti lak za drvo, ali nije znala koliko laka treba kupiti. Pronašla je podatak kako je jedna litra laka dovoljna za $13 m^{2},$ $13 m^{2} / l .$ Pakiranja su bila od $0.2 l,$ $0.5 l,$ $0.75 l$ i $2.5 l .$ Kako nije željela kupiti ni previše ni premalo, odlučila je vratiti se kući i odrediti površinu koju treba prelakirati. Kako će Mirna odrediti površinu koju treba prelakirati?

Odredimo nepoznatu duljinu brida kvadra ako su zadane duljine dvaju bridova

$a = 5 cm,$

Mirna zna da sanduk ima oblik kvadra i da će računanjem površine mreže kvadra odrediti površinu sanduka koju treba prelakirati. Izmjerila je dimenzije sanduka i upisala ih u skiciranu mrežu.

Mirna će izračunati oplošje sanduka koji ima oblik kvadra.

Primjer 6.

Odredimo izraz za računanje oplošja bilo kojeg kvadra.

Zbrojimo površine svih strana kvadra prikazanih mrežom kvadra.

$\begin{array}{l} O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c \\ O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \end{array}$

Oplošje kvadra jednako je zbroju površina svih strana kvadra. Izraz za izračunavanje oplošja kvadra $O$ s osnovnim bridovima duljine $a, b i c$ je

$O = 2 a b + 2 a c + 2 b c,$

što je nakon izlučivanja jednako

$O = 2 \cdot (a b + a c + b c) .$

Izračun oplošja sanduka.

Izračunajmo oplošje $O$ Mirnina sanduka uz oznake $a = 0.7 m, b = 0.5 m, c = 1.36 m$ i pakiranje laka koje je dovoljno za lakiranje njezina sanduka.

$\begin{array}{l} O = 2 \cdot (a b + a c + b c) \\ O = 2 \cdot (0.7 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 1.36 + 0.5 \cdot 1.36) \\ O = 2 \cdot (0.35 + 0.952 + 0.68) \\ O = 2 \cdot 1.982 \\ O = 3.964 \end{array}$

Površina sanduka iznosi $3.964 m^{2},$ što je približno $4 m^{2} .$

Za lakiranje sanduka bit će joj dovoljno pakiranje od $0.5 l$ jer je to dovoljno za $0.5 \cdot 13 = 6.5 m^{2} .$

Primjer 7.

Odredimo nepoznatu duljinu brida kvadra ako su zadane duljine dvaju bridova $a = 5 cm,$ $b = 7 cm$ i oplošje kvadra $O = 118 {cm}^{2} .$

Uvrstimo poznate vrijednosti $a = 5 cm, b = 7 cm i O = 118 {cm}^{2}$ u formulu za oplošje kvadra.

$\begin{array}{l} O = 2 (a b + a c + b c) \\ 118 = 2 (5 \cdot 7 + 5 c + 7 c) \\ 118 = 2 (35 + 12 c) \\ 118 = 2 \cdot 35 + 2 \cdot 12 c \\ 118 = 70 + 24 c \\ 24 c = 118 - 70 \\ 24 c = 48 \\ c = 48 : 24 \\ c = 2 \end{array}$

Duljina trećeg brida iznosi $c = 2 cm .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Oplošje kvadra $[{cm}^{2}]$ $O$	Duljina brida $[cm]$ $a$	Duljina brida $[cm]$ $b$	Duljina brida $[cm]$ $c$
$148$		$5$	$6$
	$\frac{3}{4}$	$\frac{7}{8}$	$1.5$
$96$		$4$	$6$
$7.4$	$0.2$	$1.5$
	$35$	$25$	$15$
$1 \frac{5}{6}$	$\frac{3}{8}$		$0.8$

Oplošje kvadra $[{cm}^{2}]$ $O$	Duljina brida $[cm]$ $a$	Duljina brida $[cm]$ $b$	Duljina brida $[cm]$ $c$
$148$	$4$	$5$	$6$
$5 \frac{3}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{7}{8}$	$1.5$
$96$	$2$	$4$	$6$
$7.4$	$0.2$	$1.5$	$2$
$3 550$	$35$	$25$	$15$
$1 \frac{5}{6}$	$\frac{3}{8}$	$0 . \dot{6}$	$0.8$

Zadatak 5.

Tvornica je ambalaže dobila narudžbu za izradu tri tisuće kutija dimenzija $0.5 m,$ $0.4 m$ i $0.2 m .$ Koliko najmanje treba kartona za izradu kartonske kutije tih dimenzija? Količina kartona za jednu kutiju mora biti uvećana za $5 %$ zbog dijelova koji se lijepe.

Prvo treba izračunati količinu kartona za jednu kutiju te to pomožiti s brojem naručenih kutija.

Izračunajmo količinu kartona za jednu kutiju, tj. oplošje jedne kutije.

$\begin{array}{l} O = 2 (a b + b c + a c) \\ O = 2 \cdot (0.2 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.5) \\ O = 2 \cdot (0.8 + 0.2 + 0.1) \\ O = 2 \cdot 1.1 \\ O = 2.2 \end{array}$

Taj iznos treba uvećati za $5 %,$ tj. koeficijent povećanja iznosi $1 + 5 % = 1 + 0.05 = 1.05 .$

Za cijelu kutiju treba $2.2 \cdot 1.05 = 2.31 m^{2}$ kartona.

Za tri tisuće kutija treba $3 000 \cdot 2.31 = 6 930 m^{2} .$

(To je približna površina nogometnog igrališta srednje veličine.)

Zadatak 6.

Površina baze i površine dviju različitih pobočki odnose se kao $1 : 2 : 3 .$ Oplošje kvadra iznosi $288 m^{2} .$ Kolika je površina baze, a kolika je površina pobočki?

Omjer površina baze i pobočki je $1 : 2 : 3 .$ Znači da površine baze i pobočki možemo prikazati u obliku

$\begin{array}{l} a b = k \\ a c = 2 k \\ c b = 3 k. \end{array}$

Uvrstimo vrijednosti u izraz za oplošje kvadra.

$\begin{array}{l} O = 2 (a b + a c + b c) \\ 288 = 2 (k + 2 k + 3 k) \\ 288 = 2 \cdot 6 k \\ 288 = 12 k \\ k = 288 : 12 \\ k = 24 \end{array}$

Površina je baze $a b = k = 24 m^{2},$ a površine su pobočki $a c = 2 k = 48 m^{2} i c b = 3 k = 72 m^{2} .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Površina pobočja iznosi $180 {cm}^{2} .$ Opseg baze iznosi $36 cm .$ Izračunajte visinu kvadra.

Slika prikazuje mrežu kvadra s duljinama bridova

Površina je pobočja pravokutnik sa stranicama duljine $(2 a + 2 b) i c$ (pogledajte sliku). Za površinu pobočja vrijedi:

$\begin{array}{l} O = (2 a + 2 b) \cdot c \\ 180 = (2 a + 2 b) \cdot c \\ 180 = 2 (a + b) \cdot c . \end{array}$

Zadan je opseg baze $2 (a + b) = 36 .$ Uvrstimo ga u gornji izraz.

$\begin{array}{l} 180 = 36 \cdot c \\ c = 180 : 36 \\ c = 5 \end{array}$

Visina kvadra iznosi $5 cm .$

Zadatak 8.

Majstor je za bojenje donio kantu boje dovoljnu za bojenje $50 m^{2} .$ Hoće li jedna takva kanta biti dovoljna za bojenje sobe čije su dimenzije $4 m \times 5 m \times 2.7 m ?$ Boje se zidovi i strop.

Na slici je prikaz sobe u obliku kvadra — Prikaz sobe

Treba izračunati oplošje umanjeno za površinu poda. Pogledajmo skicu sobe. Prema slici je površina koju treba obojiti jednaka površini pobočke uvećane za površinu jedne baze.

$\begin{array}{l} O = 4 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 2.7 + 2 \cdot 5 \cdot 2.7 \\ O = 20 + 21.6 + 27 \\ O = 68.6 \end{array}$

Površina je sobe koju treba obojiti $68.6 m^{2} .$

S obzirom na to da je veća od $50 m^{2},$ jedna kanta boje neće biti dovoljna.

Zadatak 9.

Riješite kviz.

Duljine su bridova kvadra $15 cm,$ $1.8 dm$ i $0.08 m .$ Njegovo oplošje iznosi:

$1 068 {cm}^{3}$

$10.68 {dm}^{2}$

$56.688 {cm}^{2}$

$56.688 {dm}^{2}$

null

Postupak:

$\begin{array}{l} P = 2 (15 \cdot 18 + 15 \cdot 8 + 18 \cdot 8) \end{array}$

$P = 2 \cdot 534$

$P = 1 068 {cm}^{2} = 10.68 {dm}^{2}$
Kvadar ima oplošje $24 {dm}^{2} .$ Kocka ima isto oplošje i cjelobrojnu duljinu brida. Duljina brida iznosi

$4 dm$

$2 dm$

$6 dm$

$8 dm$

null

Postupak:

$\begin{array}{l} O = 6 \cdot a^{2} \\ 24 = 6 \cdot a^{2} \\ a^{2} = 4 \\ a = 2 dm \end{array}$
Oplošje kvadra iznosi $52 m^{2},$ a duljine njegovih dvaju bridova iznose $2 m i 3 m .$ Duljina trećeg brida iznosi $m .$

null

Postupak:

$\begin{array}{l} P = 2 (a b + b c + a c) \\ 52 = 2 (2 \cdot 3 + 2 \cdot c + 3 \cdot c) \\ 52 = 2 (6 + 5 c) \\ 52 = 12 + 10 c \\ 10 c = 52 - 12 \\ 10 c = 40 \\ c = 4 \end{array}$
Površina baze kvadra iznosi $15 {cm}^{2},$ a površina pobočja $30 {cm}^{2} .$ Oplošje tog kvadra iznosi ${cm}^{2} .$

null

Postupak:

$\begin{array}{l} P = 2 \cdot 15 + 30 \\ P = 30 + 30 \\ P = 60 c m^{2} \end{array}$

Zatvori

Prostorna dijagonala kvadra

Kvadar ima plošne dijagonale, njih $12 .$ Na slici su prikazane samo tri glavne plošne dijagonale.

Kvadar ima četiri prostorne dijagonale koje imaju duljinu $D .$

Prostorna dijagonala kvadra je dužina koja spaja dva suprotna vrha kvadra koji ne pripadaju istoj strani kvadra.

Primjer 8.

Baka je kupila štapove za nordijsko hodanje duge $1.28 m .$ Ormar za sportsku opremu ima visinu $1.2 m,$ širinu $0.4 m$ i duljinu $0.3 m .$ Ispitajmo hoće li štapovi stati u ormar.

Štap je dulji od svih dimenzija ormara. Međutim možemo ga pokušati smjestiti u ormar dijagonalno na jednu stranu pravokutnika ili dijagonalno u prostor.

Treba ispitati može li se smjestiti po duljini plošne dijagonale. Ako ne može, treba ispitati može li se smjestiti duž prostorne dijagonale.

Primjer 9.

Izrazimo duljinu prostorne dijagonale kvadra $D$ duljinama bridova kvadra $a, b i c .$

Uočimo pravokutni trokut s katetama duljine $c i d$ te hipotenuzom duljine $D .$

Postavimo Pitagorin poučak za taj pravokutni trokut.

$D^{2} = c^{2} + d^{2}$ (1)

Izrazimo duljinu plošne dijagonale $d$ duljinama bridova $a i b .$

Uočimo pravokutni trokut s katetama duljine $a i b$ te hipotenuzom duljine $d .$

Postavimo Pitagorin poučak za taj pravokutni trokut.

$d^{2} = a^{2} + b^{2}$

Uvrstimo vrijednost $d^{2}$ u jednadžbu (1)

$\begin{array}{l} D^{2} = c^{2} + a^{2} + b^{2} \\ D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} /^{\sqrt{}} \\ D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \end{array}$

Duljina je prostorne dijagonale kvadra $D,$ izražene duljinama bridova kvadra $a,$ $b$ i $c :$ $D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Izračunajmo sada hoće li štapovi duljine $1.28 m$ stati u ormar dimenzija $1.2 \times 0.3 \times 04 .$

Ormar ima visinu $1.2 m,$ širinu $0.4 m$ i duljinu $0.3 m .$

Provjerimo prvo može li stati duž najveće plošne dijagonale.

$\begin{array}{l} {d_{a c}}^{2} = a^{2} + c^{2} \\ {d_{a c}}^{2} = {1.2}^{2} + {0.4}^{2} \\ {d_{a c}}^{2} = 1.44 + 0.16 \\ {d_{a c}}^{2} = 1.6 /^{\sqrt{}} \\ d_{a c} = 1.26 \end{array}$

Ne može stati duž najveće plošne dijagonale jer je $1.26 < 1.28 .$

Ispitajmo sada odnos duljine štapa i prostorne dijagonale.

Ako je duljina štapa manja od duljine ili jednaka duljini prostorne dijagonale, on će stati u ormar.

$\begin{array}{l} D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ D = \sqrt{{1.2}^{2} + {0.3}^{2} + {0.4}^{2}} \\ D = \sqrt{1.44 + 0.09 + 0.16} \\ D = \sqrt{1.69} \\ D = 1.3 \end{array}$

Duljina je štapa manja od duljine prostorne dijagonale, $1.28 < 1.3,$ pa će štapovi stati u ormar.

Primjer 10.

Duljina prostorne dijagonale kvadra iznosi $D = 5 \sqrt{2},$ a duljine su dvaju bridova kvadra $3 i 4.$ Odredimo duljinu trećeg brida kvadra?

$\begin{array}{l} D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ 5 \sqrt{2} = \sqrt{3^{3} + 4^{2} + c^{2}} \\ \sqrt{5^{2}} \sqrt{2} = \sqrt{9 + 16 + c^{2}} \\ \sqrt{5^{2} \cdot 2} = \sqrt{25 + c^{2}} \\ \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25 + c^{2}} \\ 50 = 25 + c^{2} \\ c^{2} = 50 - 25 \\ c^{2} = 25 /^{\sqrt{}} \\ c = 5 \end{array}$

Duljina je trećeg brida $5 .$

Zadatak 10.

Uvježbajte izračunavanje nepoznatih mjerljivih obilježja kvadra, duljina bridova $a, b i c,$ duljinu prostorne dijagonale $D$ i površinu dijagonalnog presjeka $P .$ Računajte u bilježnici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

$a$ $[cm]$	$b$ $[cm]$	$c$ $[cm]$	$D$ $[cm]$	$P$ $[{cm}^{2}]$
$1$	$2$	$2$
	$3$	$6$	$7$
$8$		$16$	$21$
		$7$	$9$	$28 \sqrt{2}$
$2$	$6$			$18 \sqrt{10}$
$3$	$4$	$12$
	$5$	$20$	$21$
$9$		$20$	$25$
		$21$	$29$	$420$

$a$ $[cm]$	$b$ $[cm]$	$c$ $[cm]$	$D$ $[cm]$	$P$ $[{cm}^{2}]$
$1$	$2$	$2$	$3$	$2 \sqrt{5}$
$2$	$3$	$6$	$7$	$6 \sqrt{13}$
$8$	$11$	$16$	$21$	$16 \sqrt{185}$
$4$	$4$	$7$	$9$	$28 \sqrt{2}$
$2$	$6$	$9$	$11$	$18 \sqrt{10}$
$3$	$4$	$12$	$13$	$60$
$4$	$5$	$20$	$21$	$20 \sqrt{41}$
$9$	$12$	$20$	$25$	$300$
$12$	$16$	$21$	$29$	$420$

Zanimljivost

pitagorine četvorke — Pitagorine četvorke

Izraz za prostornu dijagonalu kvadra $D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ( $a, b i c$ duljine su međusobno okomitih bridova kvadra koje se spajaju u jednom vrhu) podsjeća na izraz za Pitagorin poučak na pravokutnom trokutu $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ ( $x i y$ su duljine međusobno okomitih stranica pravokutnog trokuta).

Uređene trojke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorin poučak $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ nazivamo Pitagorine trojke.

Uređene četvorke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju izraz $D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ nazivamo Pitagorine četvorke.

Na desnoj ilustraciji pogledajte primjere Pitagorinih četvorki $(a, b, c, D)$ čiji su svi članovi manji od $30 .$

Dijagonalni presjek

Presjek ravnine okomite na stranu kvadra koja sadrži prostornu dijagonalu je dijagonalni presjek kvadra.

Dijagonalni je presjek kvadra pravokutnik.

Za razliku od kocke, kod koje su svi dijagonalni presjeci sukladni, kvadar ima dijagonalne presjeke s trima različitim iznosima površine.

$d_{a b}$ je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine $a i b .$

$d_{b c}$ je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine $b i c .$

$d_{a c}$ je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine $a i c .$

Dijagonalni presjek kvadra je presjek kvadra ravninom koju određuju međusobno usporedne/paralelne dijagonale dviju nasuprotnih strana.

Primjer 11.

Izračunajmo površinu dijagonalnih presjeka kvadra s bridovima duljina $3,$ $4$ i $5$ centimetara.

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina $b i c$ te dijagonalom duljine $d_{b c} .$

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina $a i d_{b c} .$ Duljina $a$ je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale $d_{b c} .$ Plošna dijagonala duljine $d_{b c}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina $b i c .$

$\begin{array}{l} {d_{b c}}^{2} = b^{2} + c^{2} \\ {d_{b c}}^{2} = 4^{2} + 5^{2} \\ {d_{b c}}^{2} = 16 + 25 \\ {d_{b c}}^{2} = 41 /^{\sqrt{}} \\ d_{b c} = \sqrt{41} \end{array}$

Površina traženog dijagonalnog presjeka iznosi

$\begin{array}{l} p_{d p} = a \cdot d_{b c} \\ p_{d p} = 3 \cdot \sqrt{41} \\ p_{d p} = 3 \sqrt{41.} \end{array}$

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina $a i c$ te dijagonalom duljine $d_{a c} .$

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina $b i d_{a c} .$ Duljina $b$ je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale $d_{a c} .$ Plošna dijagonala duljine $d_{a c}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina $a i c .$

$\begin{array}{l} {d_{a c}}^{2} = a^{2} + c^{2} \\ {d_{a c}}^{2} = 3^{2} + 5^{2} \\ {d_{a c}}^{2} = 9 + 25 \\ {d_{a c}}^{2} = 34 /^{\sqrt{}} \\ d_{a c} = \sqrt{34} \end{array}$

Površina traženoga dijagonalnog presjeka iznosi

$\begin{array}{l} p_{d p} = b \cdot d_{a c} \\ p_{d p} = 4 \cdot \sqrt{43} \\ p_{d p} = 4 \sqrt{34.} \end{array}$

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina $a i b$ te dijagonalom duljine $d_{a b} .$

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina $a i b$ te dijagonalom duljine $d_{a b} .$

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina $c i d_{a b} .$ Duljina $c$ je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale $d_{a b} .$ Plošna dijagonala duljine $d_{a b}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina $a i b .$

$\begin{array}{l} {d_{a b}}^{2} = a^{2} + b^{2} \\ {d_{a b}}^{2} = 3^{2} + 4^{2} \\ {d_{a b}}^{2} = 9 + 16 \\ {d_{a b}}^{2} = 25 /^{\sqrt{}} \\ d_{a b} = 5 \end{array}$

Površina traženog dijagonalnog presjeka iznosi

$\begin{array}{l} p_{d p} = c \cdot d_{a b} \\ p_{d p} = 5 \cdot 5 \\ p_{d p} = 25. \end{array}$

Taj je dijagonalni presjek kvadrat.

Dijagonalni presjek kvadra je kvadrat ako su duljine osnovnih bridova kvadra $(a, b, c)$ Pitagorina trojka.

Zadatak 11.

Izračunajte površine dijagonalnih presjeka kvadra s bridovima duljina $a, b i c .$ Računajte u bilježnici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

$a$ $[cm]$	$b$ $[cm]$	$c$ $[cm]$
$6$	$8$	$10$
$5$	$12$	$13$
$14$	$48$	$50$

$(a, b, c)$ $[cm]$	$a \cdot d_{b c}$ $[c m^{2}]$	$b \cdot d_{a c}$ $[c m^{2}]$	$c \cdot d_{a b}$ $[c m^{2}]$
$(6, 8, 10)$	$12 \sqrt{41}$	$16 \sqrt{34}$	$100$
$(5, 12, 13)$	$5 \sqrt{313}$	$12 \sqrt{194}$	$169$
$(14, 48, 50)$	$28 \sqrt{1201}$	$96 \sqrt{674}$	$2500$

Volumen ili obujam kvadra

Ponovimo!

Izraz za volumen $V$ kocke brida duljine $a$ je $V = a \cdot a \cdot a = a^{3} .$

Volumen kocke brida duljine $a = 1 cm$ iznosi $V = 1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 {cm}^{3} .$

Primjer 12.

Odredimo koliko puta kocka brida duljine $1 cm,$ a obujma $1 {cm}^{3}$ stane u kvadar čije duljine bridova iznose $5 cm,$ $3 cm$ i $6 cm .$

Odredit ćemo volumen kvadra.

U sljedećoj aktivnosti odaberite duljine bridova kao u zadanom kvadru te ispitajte koliko takvih kocaka stane u kvadar.

Primjer 13.

Klizačem odaberimo duljine bridova kvadra. Posložimo jedinične kocke u taj kvadar. Odredimo volumen (obujam) kvadra zadanog duljinama bridova. (Jedinične kocke odaberite s iste razine na kojoj želite slagati.)

Volumen ili obujam kvadra jednak je broju jediničnih kvadrata koji ga u potpunosti ispune.

Volumen $V$ kvadra s bridovima duljina $5 cm,$ $3 cm$ i $6 cm$ iznosi

$\begin{array}{l} V = 5 \cdot 3 \cdot 6 \\ V = 90 {cm}^{3} \end{array}$

Volumen ili obujam kvadra $V$ s bridovima duljina $a,$ $b$ i $c$ iznosi $V = a \cdot b \cdot c,$ tj. jednak je umnošku duljina osnovnih bridova kvadra.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadane su duljine bridova kvadra. Izračunajte njegovo oplošje i volumen (obujam).

Zatvori

Zadatak 13.

Koliko litara tekućine stane u plastični spremnik čije su dimenzije $25 cm \times 30 cm \times 45 cm ?$

Kako bismo odredili koliko litara tekućine sadržava, moramo odrediti obujam posude u decimetrima kubnim. Izračunajmo volumen.

$\begin{array}{l} V = a \cdot b \cdot c \\ V = 25 \cdot 30 \cdot 40 \\ V = 30 000 {cm}^{3} \\ V = 30 {dm}^{3} \end{array}$

U plastični spremnik danih dimenzija stane $30$ litara tekućine.

Zadatak 14.

Kutija ima obujam $V = 1 716 {cm}^{3} .$ Bridovi baze imaju dimenzije $a = 12 cm i b = 13 cm .$ Kolika je dubina te kutije?

Dubina je kutije jednaka duljini bočnog brida $c .$

Napišimo izraz za računanje volumen i uvrstimo u njega poznate podatke.

$\begin{array}{l} V = a \cdot b \cdot c \\ 1 716 = 12 \cdot 13 \cdot c \\ 1 716 = 156 \cdot c \\ c = 1 716 : 156 \\ c = 11 cm \end{array}$

Dubina je kutije $11$ cetimetara.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 15.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajmo računanje oplošja i obujma (volumena) kvadra te duljine prostorne dijagonale kvadra.

Zadatak 16.

Komad plastelina ima obujam $12 {cm}^{3} .$ Kojih su dimenzija kvadri koje možete oblikovati od tog komada plastelina, a da su mu duljine bridova prirodni brojevi?

Tri kvadra obujma 12 kubičnih centimetara

Volumen je 12 pa treba istražiti koje trojke prirodnih brojeva imaju umnožak 12.

$\begin{array}{l} 12 = 1 \cdot 1 \cdot 12 \\ 12 = 1 \cdot 2 \cdot 6 \\ 12 = 1 \cdot 3 \cdot 4 \\ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \end{array}$

Možemo napraviti tri vrste kvadra: $1 \times 1 \times 12,$ $1 \times 2 \times 6$ i $1 \times 3 \times 4,$ $2 \times 2 \times 3 .$

Zadatak 17.

U spavaćoj sobi koja ima dimenzije $5 \times 6 \times 2.8$ nalazi se veliki krevet dimenzija $2 \times 2 \times 0.6,$ ormar dimenzija $4 \times 0.7 \times 2$ i komoda dimenzija $1.8 \times 0.6 \times 1.3 .$ Koliki postotak prostora sobe zauzima namještaj? (Zadani su podatci $duljina \times širina \times visina$ u metrima.)

Treba izračunati zbroj volumena $V_{n}$ namještaja u prostoriji i podijeliti ga s volumenom sobe $V_{s} .$

Volumen namještaja.

$\begin{array}{l} V_{n} = 2 \cdot 2 \cdot 0.6 + 4 \cdot 0.7 \cdot 2 + 1.8 \cdot 0.6 \cdot 1.3 \end{array}$

$V_{n} = 2.4 + 5.6 + 1.404$

$V_{n} = 9.404$

Volumen sobe.

$\begin{array}{l} V_{s} = 5 \cdot 6 \cdot 2.8 \\ V_{s} = 84 \end{array}$

Računanje postotka.

$\frac{V_{n}}{V_{s}} = \frac{9.404}{84} = 0.1119 \approx 11 %$

Namještaj zauzima $11.19 % \approx 11 %$ prostora sobe.

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Slika bazena s malim kvadratnim pločicama.

Unutarnje strane bazena obložene su malim kvadratnim pločicama koje imaju dimenzije $2 \times 2$ centimetra. Bazen ima dimenzije $6 \times 8 \times 1.5$ metara. S koliko je takvih malih pločica obložen taj bazen?

Kako bismo dobili broj pločica, treba izračunati površinu strana bazena pokrivenih pločicama te ju podijeliti s površinom jedne pločice.

Ako su dimenzije bazena $a = 6 m, b = 8 m i c = 1.5 m,$ tada je površina prekrivena pločicama

$\begin{array}{l} O = a b + 2 a c + 2 b c \\ O = 6 \cdot 8 + 2 \cdot 6 \cdot 1.5 + 2 \cdot 8 \cdot 1.5 \\ O = 48 + 18 + 24 \\ O = 90 m^{2} \end{array}$

Površina jedne pločice iznosi $2 \cdot 2 = 4 {cm}^{2} .$

Podijelimo površinu prekrivenu pločicama s površinom jedne pločice.

$90 m^{2} : 4 {cm}^{2} = 900 000 {cm}^{2} : 4 {cm}^{2} = 225 000$

Bazen je popločan s $225 000$ pločica.

Zadatak 19.

Krov se sastoji od dviju strana čije su dimenzije $8 \times 6$ metara. Krov treba prekriti limom. Ispod lima ga treba prekriti daskama debljine $2.5 cm .$ Koliko je kubnih metara dasaka potrebno za drvenu podlogu tog krova i kolika im je cijena? Cijena je kubika jelovih dasaka te debljine (duljina $4$ metra) $1400$ kuna po metru kubnom.

Treba izračunati površinu krova te ju pomnožiti s debljinom daske.

Površina krova iznosi $2 \cdot 7 \cdot 8 = 112 m^{2} .$

Preračunajmo debljinu daske koja je zadana u centimetrima u metre: $2.5 cm = 2.5 \cdot 10^{- 2} m = 0.025 m$ .

Volumen je dasaka jednak umnošku površine krova i debljine daske:

$112 m^{2} \cdot 0.025 m= 2.8 m^{3} .$

Cijena dasaka za taj krov iznosi $2.8 \cdot 1 400 = 3920$ kuna.

Zadatak 20.

Kvadru, čije su duljine bridova

x = 10 m, y = 5 m, z = 10 m,

izrezane su dvije kocke brida duljine

a = 3 m .

Izračunajte oplošje i volumen nastalog tijela.

Oplošje tijela jednako je oplošju kvadra.

Iz cijele površine izrezano je šest kvadrata površine $a^{2},$ ali su oni dodani kako bi zatvorili oblik.

Dakle oplošje takva tijela jednako je oplošju kvadra.

$\begin{array}{l} O = 2 (x y + x z + y z) \\ O = 2 (10 \cdot 5 + 10 \cdot 5 + 10 \cdot 10) \\ O = 2 \cdot 200 \\ O = 400 m^{2} \end{array}$

Volumen je tog tijela jednak obujmu kvadra umanjenom za obujam dviju kocki.

$\begin{array}{l} V = x y z - 2 a^{3} \\ V = 10 \cdot 10 \cdot 5 - 2 \cdot 3^{3} \\ V = 500 - 2 \cdot 27 \\ V = 500 - 54 \\ V = 446 m^{3} \end{array}$

Zatvori

Povezani sadržaji

Prema pravilniku o poštanskom prometu dimenzije paketa ne smiju biti veće od $3 000 mm$ u zbroju dužine i opsega paketa na najširem dijelu poprečno, s tim da najveća dimenzija može biti do $1 500 mm$ . Može li paket koji ima oblik kvadra imati dimenzije u omjeru $1 : 2 : 3 ?$ Koliki je volumen takva kvadra?

Označimo duljine bridova paketa u obliku kvadra s $x, y i z .$ Ako su u omjeru $1 : 2 : 3,$ znači da ih možemo prikazati u ovisnosti o koeficijentu $k > 0 .$