8.4 Oplošje i obujam prizme

Od mreže do prizme

Mreža geometrijskog tijela je ravninski prikaz svih ploha koje omeđuju to tijelo.

Mreža $n$-terostrane prizme je ravninski prikaz pobočja i baza prizme. Mrežu $n$-terostrane prizme nalazimo tako da prizmu razrežemo duž jednoga bočnog i $n-1$osnovnih bridova na svakoj bazi pa dobiveno razvijemo u ravninu.

Mreža uspravne $n$ -terostrane prizme sastoji se od dvaju sukladnih $n$ -terokuta (baze) i $n$ pravokutnika (pobočki).

Pogledajmo nastanak mreža nekih uspravnih prizmi.

Na sljedećim su slikama prikazane mreže nekih uspravnih prizmi.

Zadatak 1.

Mreža svake uspravne prizme može se prikazati na više različitih načina. Promotrite slike i odgovorite na pitanja.

Oplošje prizme

Uspravna prizma je geometrijsko tijelo omeđeno s dvama međusobno sukladnim $n$–terokutima (koji pripadaju paralelnim ravninama, a nazivamo ih bazama ili osnovkama prizme) te s $n$ pravokutnika (koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje prizme). Baze i pobočke jednim imenom nazivamo stranama prizme.

Visina uspravne prizme jednaka je duljini njezina pobočnog brida.

Označimo li površinu baze prizme s $B$, a površinu njezina pobočja s $P,$ onda ćemo oplošje te prizme izračunati tako da zbrojimo površine obiju baza i površinu pobočja.

$O=2B+P$ 

Primjer 1.

Izračunajmo oplošje prizme ako je površina njezine baze $27 {\mathrm{cm}}^2,$ a površina njezina pobočja $56.6 {\mathrm{cm}}^2.$

Primjer 2.

Oplošje je neke prizme $316.4 {\mathrm{cm}}^2,$ a površina je njezine baze $63 {\mathrm{cm}}^2.$ Kolika je površina pobočja te prizme?  

Primjer 3.

Oplošje je neke prizme $178.4 {\mathrm{cm}}^2,$ a površina je njezina pobočja $101 {\mathrm{cm}}^2.$ Kolika je površina baze te prizme?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Primjenjujući formulu za oplošje prizme ( $O=2B+P$), izračunajte i na crtu upišite odgovarajući broj.

1. Površina baze prizme iznosi $26.7 {\mathrm{cm}}^2$, a površina njezina pobočja $43.4 {\mathrm{cm}}^2.$ Oplošje je te prizme ${\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

   

   null

   null
2. Oplošje je prizme $215.2 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}},$ a površina je pobočja $87.4 {\mathrm{cm}}^2.$ Površina je baze te prizme ${\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$ ​

   

   null

   null
3. Oplošje je neke prizme $147.6 {\mathrm{cm}}^2,$ a površina je baze $47.1 {\mathrm{cm}}^2.$ Površina je pobočja te prizme ${\mathrm{cm}}^2.$ ​

   

   null

   null

Zadatak 3.

S pomoću sljedeće aktivnosti uvježbajte računanje oplošja prizme.

Zatvori

Obujam (volumen) prizme

U sljedećem video sadržaju pogledajte kako obujam (volumen) izmjeriti menzurom.

Zadatak 4.

Katja jako voli kornjače i izrađuje ih od plastičnih kockica dimenzija $1\mathrm{cm}\times 1\mathrm{cm}\times 1\mathrm{cm}.$ Takve kockice imaju volumen $1 {\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ i nazivamo ih jediničnim kockicama. Koliko joj je jediničnih kockica potrebno kako bi napravila jednu kornjaču?

Pod volumenom geometrijskog tijela podrazumijevamo veličinu prostora koje to tijelo zauzima.

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine prizme.  

​

Označimo li s $B$ površinu baze, a s $h$ visinu prizme, za njezin volumen vrijedi

$V=B·h$

Primjer 4.

Izračunajmo volumen prizme ako je površina baze te prizme jednaka $14.5 {\mathrm{cm}}^2,$ a visina $3.2 \mathrm{cm}.$

Primjer 5.

Izračunajmo površinu baze prizme ako je obujam te prizme jednak $164.7 {\mathrm{cm}}^3,$ a visina $4.5 \mathrm{cm}.$

Primjer 6.

Izračunajmo visinu prizme ako je njezin obujam jednak $900.48 {\mathrm{cm}}^3,$ a površina baze $107.2 {\mathrm{cm}}^2.$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Primjenjujući formulu za volumene prizme ( $V=B·h$ ), izračunajte i na crtu upišite odgovarajući broj.

1. Površina je baze uspravne prizme $24.5 {\mathrm{cm}}^2$, a njezina je visina $6.4 \mathrm{cm}.$ Volumen te prizme iznosi ${\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$ ​

   

   null

   null
2. Volumen je neke prizme $234.36 {\mathrm{cm}}^3,$ a površina je njezine baze $37.8 {\mathrm{cm}}^2$. Visina je te prizme ​   $\mathrm{cm}.$

   

   null

   null
3. Volumen je neke prizme $467.25 {\mathrm{cm}}^2$ , a njezina je visina $7.5\mathrm{cm}$. Površina je baze te prizme ${\mathrm{cm}}^2.$  ​

   

   null

   null

Zadatak 6.

S pomoću sljedeće aktivnosti uvježbajte računanje volumena (obujma) prizme.

Zatvori

Prizme oko nas

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Prodavač u prodavaonici mješovite robe reže sir koji ima oblik kvadra. Kakva će oblika biti narezak toga sira?

Rješenje

Narezak je toga sira pravokutna oblika.

---

Zadatak 8.

Najveći sendvič na svijetu prema Guinessovoj knjizi rekorda napravljen je u saveznoj državi Michigan, u SAD-u. Sendvič je imao oblik kvadratne prizme s bridom baze duljine $3.6$ metara i visinom $44\mathrm{cm}.$ Odredite volumen tog sendviča.

Rješenje

Baza je te prizme kvadrat sa stranicom duljine $3.6$ metara. Površina je njegove baze jednaka $B={3.6}^2=12.96{\mathrm{m}}^2.$ Volumen te prizme iznosi $V=B·h=12.96·0.44=5.7024{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

---

Zadatak 9.

Na benzinskoj je postaji Matko kupio sendvič koji ima oblik trostrane prizme. Baza je toga sendviča pravokutni trokut s katetama duljine $7\mathrm{cm}.$ Visina toga sendviča iznosi $4\mathrm{cm}.$ Koliki je volumen tog sendviča?

Rješenje

Baza je te prizme pravokutan trokut s katetama duljine $7\mathrm{cm}.$ Površina je njezine baze jednaka $B=\frac{7·7}{2}=24.5{\mathrm{cm}}^2.$ Volumen te prizme iznosi $V=B·h=24.5·4=98{\mathrm{cm}}^3.$

---

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Sven presvlači tabure koji ima oblik kvadra. Za bočne će mu strane trebati $0.848$ metara kvadratnih tkanine. Za gornji će mu dio trebati $0.2809$ metara kvadratnih tkanine. Koliko će mu tkanine trebati da presvuče taj tabure?

Rješenje

Za presvlačenje toga taburea, čija donja baza nije prekrivena tkaninom, trebat će $0.848+0.2809=1.1289,$ tj. približno $1.2$ metara kvadratnih tkanine.

---

Zadatak 11.

Jana i Tibor planiraju oličiti svoj dnevni boravak. Njihov je dnevni boravak dug $8$ metara, širok $6$ metara i visok $3$ metra. Kolika je maksimalna površina koju moraju oličiti (ako zanemarimo prozore i vrata)?

Rješenje

Dimenzije jednog para sukladnih zidova iznose $5$ metara puta $3$ metra, a drugog para $6$ metara puta $3$ metra. Dakle, ukupna površina pobočja iznosi $P=2·(5·3+6·3)=2·33=66{\mathrm{m}}^2.$ Površina stropa iznosi $B=6·5=30{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$ Maksimalna površina koju trebaju oličiti je $66+30=96$ metara kvadratnih.

---

Zatvori