x
Učitavanje
  1. Matematika 8
  2. 8. Prizme
  3. 8.5 Pravilna četverostrana prizma

8.5 Pravilna četverostrana prizma

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Fotografija prikazuje prizmu izrađena od drvenih štapića i bombona.

Sara je od drvenih štapića i gumenih bombona izrađivala prizme. Napravila je sljedeću prizmu. Kako se ta prizma naziva? Koliko ima vrhova, bridova i strana?

Sara je izradila pravilnu uspravnu četverostranu prizmu. Ta prizma ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana.

Primjer 1.

Slika prikazuje pravilnu uspravnu četverostranu prizmu.

Mlijeko je pakirano u ambalažu koja ima oblik uspravne četverostrane prizme i kojoj je baza kvadrat. Opseg baze pakiranja od 1 litre iznosi 26 cm . Kolika je površina materijala potrebnog za takvo pakiranje?

Slika prikazuje mrežu pravilne uspravne četverostrane prizme.

Na temelju poznatih podataka može se izračunati duljina osnovnog brida tako da se opseg baze podijeli na 4 jednaka dijela. Dakle, duljina je osnovnog brida a = 26 : 4 = 6.5   cm . Na temelju toga možemo izračunati da je površina baze jednaka B = 6.5 2 = 42.25   cm 2 .

Da bismo doznali površinu pobočja, treba doznati kolika je visina pakiranja. Sjetimo se formule za volumen/obujam (bilo koje) prizme ( V = B h ) i činjenice da je volumen od 1 litre isto što i volumen od 1   dm 3 = 1000   cm 3 . Nakon uvrštavanja dobivamo 1000 = 42.25 · h . Iz tog izraza slijedi da je h ≈ 23.7   cm .

Pobočje se sastoji od četiriju sukladnih pravokutnika. Površina pravokutnika svakog iznosi 6.5 · 23.7 ≈ 154.05   cm 2 , što znači da je površina cijelog pobočja P ≈ 4 · 154.05 ≈ 616.2   cm 2 .

Površina je potrebnog materijala 2 · 42.25 + 616 .   2 ≈ 84.5 + 616.2 = 700.7   cm 2 .

Uspravnu četverostranu prizmu kojoj je baza pravilni četverokut (kvadrat) nazivamo pravilna četverostrana ili kvadratna prizma.

U mreži pravilne četverostrane prizme

Slika prikazuje dvije mreže pravilne uspravne četverostrane prizme s nazivima odgovarajućih dijelova.

Mreža se pravilne četverostrane prizme sastoji od dvaju međusobno sukladnih kvadrata (to su baze prizme) i četiriju međusobno sukladnih pravokutnika (to su pobočke prizme).

Pobočke zajedno čine pobočje prizme. Uočite da je pobočje pravilne četverostrane prizme pravokutnik sa stranicama duljina 4 a i h ( 4 a je opseg baze, a h je visina te prizme).

Promotrite nastanak mreže pravilne uspravne četverostrane prizme.

Nastanak mreže pravilne uspravne četverostrane prizme.

Oplošje pravilne četverostrane prizme

Slika prikazuje pravilnu četverostranu prizmu i njezinu mrežu s upisanim formulom za površinu svake pojedine strane.

Baza je pravilne četverostrane prizme kvadrat sa stranicom duljine a pa je površina baze jednaka B = a 2 .

Pobočke pravilne četverostrane prizme sukladni su pravokutnici sa stranicama duljina a i h pa je površina svakoga od njih jednaka p 1 = a · h . Prema mreži te prizme zaključujemo da je površina pobočja pravilne četverostrane prizme jednaka P = 4 a h .

Oplošje se pravilne četverostrane prizme (kao i svake uspravne prizme) računa prema formuli ​ O = 2 B + P .

Primjer 2.

Slika prikazuje pravilnu uspravnu četverostranu prizmu s oznakom za duljinu brida baze a te visinu prizme h. .

Izračunajmo oplošje pravilne četverostrane prizme s osnovnim bridom duljine a = 3.5 cm i visinom h = 8 cm .

Slika prikazuje mrežu pravilne uspravne četverostrane prizme.

Baza je pravilne četverostrane prizme kvadrat sa stranicom duljine a = 3.5 cm .

Površina se baze računa kao B = a 2 pa uvrštavanjem dobivamo da je B = 3.5 2 = 12.25   cm 2 .

Površina svake od četiriju pobočki iznosi p 1 = a · h = 3.5 · 8 = 28   cm 2 , što znači da je površina pobočja P = 4 a h = 4 · 28 = 112   cm 2 .

Oplošje te prizme računamo po formuli O = 2 B + P , odakle dobivamo da je O = 2 · 12.25 + 112 = 24.5 + 112 = 136.5   cm 2 .

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Oplošje je pravilne četverostrane prizme O = 276   cm 2 , a duljina je osnovnog brida te prizme a = 6 cm . Kolika je visina te prizme?

Slika prikazuje pravilnu četverostranu prizmu i njezinu mrežu.

Ako je duljina osnovnog brida prizme a = 6 cm , onda je površina baze jednaka B = a 2 = 6 2 = 36   cm 2 . Uvrštavanjem poznatih podataka u formulu O = 2 B + P dobivamo da je 276 = 2 · 36 + P , odakle je P = 276 - 72 = 204   cm 2 .

Budući da je P = 4 a h , uvrštavanjem poznatih podataka dobivamo da je 204 = 4 · 6 · h , odakle slijedi da je visina te prizme h = 204 : 24 = 8.5   cm .

Zadatak 2.

Slika prikazuje kvadrat.

Pobočje prizme razvijeno u ravninu čini kvadrat površine 144   cm 2 . Koliko je oplošje te prizme?

Slika prikazuje pobočje prizme podijeljeno na sukladne pobočke.

Ako je površina kvadrata 144   cm 2 , onda je duljina njegove jedne stranice 12 cm . Na temelju toga zaključujemo da je visina te prizme 12 cm . Podijelimo li pobočje na 4   sukladna pravokutnika (pobočke), dobit ćemo duljinu osnovnog brida a = 3 cm .

To znači da je površina baze B = a 2 = 3 2 = 9   cm 2 .

Oplošje te prizme računamo po formuli O = 2 B + P , odakle dobivamo da je O = 2 · 9 + 144 = 18 + 144 = 162 cm 2  

Zatvori

Volumen (obujam) pravilne četverostrane prizme

Volumen pravilne četverostrane prizme računamo kao i volumen svake uspravne prizme – kao umnožak površine baze i duljine visine, tj. prema formuli V = B h .

Primjer 3.

Slika prikazuje pravilnu četverostranu prizmu.

Izračunajmo volumen pravilne četverostrane prizme s osnovnim bridom duljine a = 3.5 cm i visinom h = 8 cm .

Baza je pravilne četverostrane prizme kvadrat sa stranicom duljine a = 3.5 cm . Površina se baze računa kao B = a 2 , a uvrštavanjem dobivamo da je B = 3.5 2 = 12.25   cm 2 .

Volumen svake (pa i pravilne četverostrane) prizme računamo po formuli V = B · h pa uvrštavanjem dobivamo da je V = 12.25 · 8 = 98   cm 3 .

Zadatak 3.

Slika prikazuje pravilnu četverostranu prizmu.

Izračunajte oplošje i volumen pravilne četverostrane prizme ako je duljina njezina osnovnog brida jednaka 9 cm , a visina 12 cm .

Površina je baze te prizme B = a 2 = 9 2 = 81   cm 2 .

Površina je pobočja P = 4 a h = 4 · 9 · 12 = 432   cm 2 .

Oplošje je tada O = 2 B + P = 2 · 81 + 432 = 594   cm 2 .

Volumen je te prizme V = B h = 81 · 12 = 972   cm 3 .

Primijenite naučeno

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Slika prikazuje pravilnu četverostranu prizmu i njezinu mrežu.
Zadatci koji slijede odnose se na pravilnu četverostranu prizmu.

  1. Promotrite slike. Na kojoj slici nisu prikazane mreže pravilne četverostrane prizme?

    Slike prikazuju moguće i nemoguće mreže prizme iz zadatka.


    null
    null
  2. Volumen je pravilne četverostrane prizme 525   cm 3 , a njezina je visina 2.1   dm . Površina pobočja te prizme iznosi   cm 2 , a oplošje   cm 2 . ​
    null
    null

  3. Oplošje je pravilne četverostrane prizme 1110   cm 2 , a površina je njezine baze 2.25   dm 2 . Koji su od sljedećih podataka točni?

    null
    null

  4. Površina je pobočja pravilne četverostrane prizme​ 528   cm 2 , a visina je te prizme 1.1   dm . Koliki je volumen te prizme?

    null
    null
  5. Volumen je pravilne četverostrane prizme 19   200   cm 3 . Ta je prizma presječena ravninom koju određuju paralelne dijagonale baza. Površina je dobivenog presjeka 450 2   cm 2 . Duljina je osnovnog brida te prizme cm , a njezina je visina cm .
    null
    null

Zadatak 5.

Odaberite prikaz s mrežom. Klizačem mijenjajte duljinu stranice baze te visinu prizme. Odredite volumen (obujam) svoje prizme te provjerite svoje rješenje.

Izradite prizmu čiji je obujam 175 cm 3 . ​

Povećaj ili smanji interakciju
Zatvori

U video sadržaju promotrite presjek pravilne četverostrane prizme ravninom paralelnom (usporednom) s ravninom baze, presjek ravninom koja prolazi dijagonalom baze i bridom pobočke, a zatim presjek ravninom koja prolazi bridom baze i dijagonalom pobočke te otkrijte formule koje će vam pomoći izračunati površinu tih presjeka.

Presjeci pravilne četverostrane prizme ravninom te formule za površinu tih presjeka

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Volumen pravilne četverostrane prizme iznosi 270   cm 2 , a duljina dijagonale njezine baze iznosi 6 2 cm . ​ Izračunaj oplošje i površinu dijagonalnog presjeka te prizme.

Dijagonala baze je dijagonala kvadrata te je​ a 2 = 6 2   cm   i a = 6 cm . Površina baze te prizme iznosi B = 6 2 = 36 cm 2 . Volumen se prizme računa po forumuli V = B · h  te je h = 270 : 36 = 7.5 cm . Pobočje pravilne uspravne četverostrane prizme iznosi P = 4 a h = 4 · 6 · 7.5 = 180 cm 2  te je oplošje  O = 2 B + P = 2 · 36 + 180 = 252   cm 2 .  

Površina je dijagonalnog presjeka P = d h = 6 2 · 7.5 = 45 2 cm 2 .

Zadatak 7.

Izračunaj oplošje i volumen pravilne uspravne četverostrane prizme s duljinom brida baze  4 cm  te površinom dijagonalnog presjeka 36 2 cm 2 .

Visina te prizme iznosi h = p d p : d = p d p : a 2 = 36 2 : 4 2 = 9 cm .

Površina baze iznosi B = 4 2 = 16 cm 2 , a površina pobočja P = 4 a h = 4 · 4 · 9 = 144 cm 2 . Oplošje iznosi O = 2 B + P = 2 · 16 + 144 = 176 cm 2 .

Volumen prizme iznosi V = B h = 16 · 9 = 144 cm 3 .

Zatvori

Povezani sadržaji

Zadatak 8.

Baka je ispekla četvrtastu tortu koju je izrezala na 16 jednakih manjih dijelova, svaki oblika pravilne četverostrane prizme. Svaki od tih dijelova prerezala je duž dijagonala baza te prizme. Dobiveni je presjek kvadrat površine 36   cm 2 . Koliki je volumen cijele torte?

Slika prikazuje tortu u obliku četverostrane prizme prema uputama iz zadatka te njezin dijagonalni presjek.

Bakina četvrtasta torta ima oblik pravilne četverostrane prizme. Da bismo izračunali volumen cijele torte, treba znati duljinu osnovnog brida i visinu te prizme.

Označimo s a duljinu brida jednoga od 16 jednakih dijelova oblika manje četverostrane prizme, a s h visinu torte. Svaka manja prizma podijeljena je na dva sukladna dijela, a dobiveni dijagonalni presjek ima oblik kvadrata. Uz oznake kao na slici vrijedi da je h = d . Površina je tog presjeka 36   cm 2 , što znači da je h = d = 6 cm .

Površina je baze male prizme B 1 = 1 2 d 2  (kvadrat je četverokut s okomitim dijagonalama), tj. 18   cm 2 , što znači da je površina baze cijele torte jednaka B = 16   B 1 = 16 · 18 = 288   cm 2 . Volumen je cijele torte V = 288 · 6 = 1 728   cm 3 .

Kutak za znatiželjne

Evo i nekoliko malo složenijih zadataka.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Slika prikazuje pravilnu uspravnu četverostranu prizmu.

Površina je pobočja pravilne četverostrane prizme 432   cm 2 , a njezin je volumen 972   cm . Izračunajte oplošje te prizme.

Površina se pobočja te prizme računa prema formuli P = 4 a h i jednaka je 432   cm 2 , što znači da je a h = 432 : 4 = 108   cm 2 .

Uvrstimo li dobiveno u izraz za volumen ​ V = B h = a 2 h = a ( a h ) , dobivamo 972 = a · 108 , odakle dobivamo da je a = 9 cm . U tom je slučaju površina baze jednaka B = a 2 = 9 2 = 81   cm 2 . Tada je oplošje prizme jednako O = 2 B + P = 2 · 81 + 432 = 594   cm 2 .

Zadatak 10.

Posuda koja ima oblik pravilne četverostrane prizme s bridovima baze duljine 4 dm i bočnim bridovima duljine 65 cm položena je na stol jednom pobočkom. Posuda je ispunjena vodom do 85 % svoje visine. U posudu je ubačena metalna kocka oplošja 1 176   cm 2 . Hoće li se voda preliti iz posude? Ako hoće – koliko?

Slika prikazuje posudu oblika pravilne četverostrane prizme napunjena vodom do 85 % visine.

Površina je baze prizme B = 40 2 = 1 600   cm 2 , a njezin je volumen V = B h = 1 600 · 65 = 104   000   cm 3 .

Volumen vode u posudi jednak je V v = 85 % ( V ) = 0.85 · 104   000 = 88   400   cm 3 , što znači da je volumen praznog prostora jednak 15   600   cm 3 .

Slika prikazuje prizmu iz zadatka u koju je ubačena kockica.

Označimo li s x duljinu brida kocke, njezino oplošje računamo prema formuli O = 6 x 2 . Prema uvjetu zadatka vrijedi 6 x 2   = 1 176 pa je x 2   = 196 , odnosno x = 14   cm .

Volumen je te kocke V k = x 3 = 14 3   = 2   744   cm 3   , što znači da će se nakon ubacivanja kocke za toliko povećati volumen zauzetog prostora u akvariju.

Budući da je to manje od volumena praznog prostora u posudi, voda se neće preliti iz posude.

Zadatak 11.

Od papira formata A4 napravljeno je pobočje pravilne četverostrane prizme. Tako se mogu napraviti dvije različite pravilne četverostrane prizme. Koja od njih ima veći volumen?

A4 format papira znači da su dimenzije lista papira koji se savija u pobočje pravilne četverostrane prizme 210 × 297 mm . Za potrebe ovog zadatka, radi jednostavnijeg računanja, pretpostavit ćemo da su te dimenzije 210 × 300 mm .

Slika prikazuje pobočje niske četverostrane prizme prema uputama iz zadatka.
Uz gore navedene podatke i oznake kao na slici zaključujemo da je duljina osnovnog brida a = 300 : 4 = 75   mm , a duljina bočnog brida (visina prizme) h = 210 mm  .Tada je površina baze jednaka B = a 2 = 75 2 = 5 625   mm 2 , a volumen je te prizme V = B h = 5 625 · 210 = 1   181   250   mm 3 . ​
Slika prikazuje pobočje visoke četverostrane prizme prema uputama iz zadatka.
Uz podatke navedene u zadatku i oznake kao na slici zaključujemo da je duljina osnovnog brida a = 210 : 4 = 52.5   mm , a duljina bočnog brida (visina prizme) h = 300 mm . Tada je površina baze jednaka B = a 2 = 52.5 2 = 2 756.25   mm 2 , a volumen je te prizme V = B h = 2 756.25 · 300 = 826   875   mm 3 .  
Zatvori

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

Za kraj riješite sljedeći zadatak:

Zadatak 12.

Matko izrađuje kutiju za olovke u obliku pravilne četverostrane prizme. Strane prizme učvrstit će ljepljivom trakom. Ima komad kartona pravokutna oblika duljine 75 cm i širine 10 cm . Kolika je najveća moguća visina gotove kutije?

Slika prikazuje rezanje papira za kutiju za olovke.

Za izradu kutije za olovke Matko će trebati odrezati jedan kvadrat sa stranicom duljine 10 cm i taj će kvadrat biti dno kutije. Od preostalog kartona mora izrezati četiri sukladne pobočke. Dakle, 65 cm duljine treba podijeliti na 4 jednaka dijela pa će svaki imati duljinu 16.25 cm .

Idemo na sljedeću jedinicu

8.6 Pravilna trostrana prizma