Svijet oko sebe promatramo kroz različite kategorizacije. Prepoznajemo objekte, pojave, situacije, osjećaje… Svjesno, a još češće nesvjesno, sve što opažamo i doživljavamo svrstavamo u neku od nama poznatih kategorija. Na primjer, promotrimo li neki objekt, okarakterizirat ćemo ga kao velikoga ili maloga, korisnoga ili beskorisnoga, lijepoga ili ružnoga, plastičnoga ili drvenoga, crvenoga ili plavoga itd. Promotrimo li na isti način dva ili više objekata, pronaći ćemo barem jednu zajedničku karakteristiku prema kojoj ih možemo grupirati.
Primjer 1.
Promotrite sljedeće objekte:
P, Kamen mudraca, 2, V, Ringo Starr, S, 33, J, Odaja tajni, O, Plameni pehar, N, Red feniksa, K, George Harrison, 1,Princ miješane krvi, 22, E, Darovi smrti, 11,Ukleto dijete, John Lennon, 3, D, Zatočenik Azkabana, A, U, Paul McCartney, I.
Ima li među njima onih koji su povezani prema nekom načelu? Možemo li ih grupirati u posebne cjeline ili mnoštva?
Pogledajte jedan od načina grupiranja danih objekata.
Pojam skupa i oznake
Okupimo li neke objekte prema određenom načelu u jednu cjelinu, kažemo da smo odredili skup. Članovi ili objekti koji tvore skup nazivaju se elementi skupa.
U matematici se osnovni pojmovi kao što je skup ne definiraju nego se podrazumijevaju jer ih upotrebljavamo za izgradnju drugih matematičkih pojmova.
Zato podrazumijevamo da je skup mnoštvo nekih objekata sa zajedničkim svojstvom.
Elemente skupa obično zapisujemo unutar vitičastih zagrada, a nazive skupova označavamo velikim tiskanim slovima.
Primjer 2.
Kako bismo zapisali i označili skupove iz Primjera 1.?
Zapišite i označite slovom
Askup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u Jadransko more, a slovom
Bskup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u rijeku Savu.
Katkad ne ispisujemo sve elemente skupa unutar vitičastih zagrada nego samo dio i pritom rabimo oznaku "…" ili zapis simbolima kao u sljedećem primjeru.
Primjer 3.
Skup zadan opisno
Nabrajanjem elemenata
Simbolima
Skup
A je skup svih slova abecede
A={a,b,c,...ž}
A={x:xjeslovoabecede} (čitaj:
A je skup svih elemenata
x sa svojstvom da je
x
slovo abecede)
Skupove predočavamo Vennovim dijagramom, kao na sljedećoj slicikoja predstavlja skupA={2,3,5,11,19}.
Zanimljivost
Naziv Vennov dijagram potječe od prezimena engleskog logičara i filozofa Johna Venna koji je skupove 1881. godine predstavio u svojemu djelu Simbolička logika.
Broj
5 pripada skupu
A={2,3,5,11,19}, što simbolima zapisujemo
5∈A i čitamo
5je element skupa A.
Broj
10 ne pripada skupu
A, što simbolima zapisujemo
10∉A i čitamo
10nije element skupa
A.
Znak
∅ simbol je za prazan skupili skup bez elemenata.
Kardinalni broj
Broj elemenata nekog skupa A zovemo kardinalni broji označavamo ga s
card(A).
Primjer 4.
Koliko je
card(A), ako je
Askup svih znamenki broja
1726355?
Ispišimo prvo elemente skupa
A.
A={1,2,3,5,6,7}
Tada je
card(A)=6.
Podskup
Kažemo da je Apodskupskupa B i pišemo
A⊆B ako je svaki element skupa A
ujedno element skupa
B.
Primjer 5.
Neka je
A={1,2,3},B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Je li
A⊆B ili je
B⊆A?
Svaki je element iz skupa
A element skupa
B pa vrijedi
{1,2,3}⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ili
A⊆B.
Neka je U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}univerzalni skup, a skupovi
A={0,2,4,6,8} i
B={2,3,5,6} su njegovi podskupovi.
Uparite sljedeće skupove s njihovim elementima:
ˉA=
ˉB=
A∪B=
A∩B=
A\B=
B\A=
null
null
Zadatak 5.
Osjenčajte područje koje predočuje zadani skup klikom na jedno ili više područja na slici.
Katkad će nam određeni prikaz skupova biti korisniji za rješavanje zadatka u odnosu prema onome u kojem su skupovi zadani u zadatku. Primjerice, ako su skupovi zapisani s pomoću vitičastih zagrada, a nemaju preveliki broj elemenata, Vennov je dijagram pregledniji i jednostavniji prikaz za određivanje njihove unije, presjeka, razlike ili komplementa. Kako elemente skupova rasporediti unutar Vennova dijagrama? Provjerite u sljedećem zadatku.
Zadatak 6.
Gdje mi je mjesto?
Zadatak 7.
Kako izgleda određivanje unije ili presjeka koristeći se Vennovim dijagramom za tri skupa?
Provjerite u sljedećem zadatku. Zapišite osjenčani dio Vennovog dijagrama kao uniju ili presjek skupovaA,B i C pa označite točan odgovor.
Skupovi mogu imati beskonačno mnogo elemenata ili tako veliki broj da bi njihovo ispisivanje unutar Vennova dijagrama bilo nepregledno. No i u tom će nam slučaju Vennov dijagram pomoći pri utvrđivanju njihovih međusobnih odnosa. Provjerite u sljedećem zadatku.
Zadatak 8.
Na slici je prikazan Vennov dijagram za skupove
U,A,B,C.Koje su od sljedećih tvrdnji istinite za prikazani dijagram?
Prikažite Vennovim dijagramom međusobni odnos sljedećih skupova u geometriji:
U={svi četverokuti},
P={svipravokutnici},
K={svi kvadrati},
L={sviparalelogrami},
R={svi rombovi},
T={svi trapezi}.
Primjer 6.
Jedna je internetska trgovina sportske obuće zaprimila ukupno
200 narudžbi za dva različita modela obuće A i B. Od toga je
125 narudžbi modela A, a
102 modela B. Trgovina je prodavala samo modele A i B.
Koliko je bilo narudžbi obaju modela?
Koliko je narudžbi samo modela A, a koliko samo modela B?
Neka skupA predstavlja narudžbe modela A, a skupB narudžbe modela B.
Povežimo sljedeće rečenice s njihovim simboličkim zapisom i brojčanim iznosom.
Broj narudžbi...
obaju modela, i A i B.
card(B\A)=75
barem jednog od modela A ili B.
card(A∩B)=27
samo modela A.
card(A\B)=98
samo modela B.
card(A∪B)=200
Ukupno je
200 narudžbi, a ukupan broj narudžbi modela A i narudžbi modela B iznosi
125+102=227.
Razlika je tih brojeva
27, što predstavlja broj narudžbi obaju modela, i A i B.
Broj narudžbi samo modela A:
125-27=98.
Broj narudžbi samo modela B:
102-27=75.
Pri rješavanju takvih zadataka uobičajeno je dane podatke pregledno prikazati Vennovim dijagramom i jednostavno pročitati rješenje u nekom od područja. Obično se prvo upisuje podatak za broj zajedničkih elemenata, a zatim se dalje popunjava područje po područje.
Kako bi to izgledalo u našem primjeru?
Postoji li veza između card(A∪B) i card(A∩B)?
Kardinalni broj unije i presjeka
Istražite kako su povezani kardinalni broj unije i presjeka s pomoću Vennovih dijagrama. Odredite kardinalne brojeve skupova A,B,A∪B,A∩B. Upišite dobivene vrijednosti na odgovarajuća mjesta. Primjećujete li neku pravilnost?
Zadatak 9.
Možete li pretpostaviti vezu između broja elemenata u uniji
A∪B i broja elemenata u skupovima
A,B,A∩B? Ako ne možete, pomoći će vam sljedeći zadatak.
Opći brojevi
a,b,cna slici označavaju broj elemenata područja (dio skupa) u kojem su napisani. Zapišite s pomoću brojeva
a,b,c: card(A)= card(B)= card(A∩B)= card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)=
= .
null
null
Za broj elemenata unije skupova
A i
B vrijedi formula:
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
Kutak za znatiželjne
Kako glasi slična formula za tri skupa? Istražite.
U skupini od
60 učenika provedena je anketa o vrsti rekreacije kojom se bave. Barem dva dana u tjednu bicikl voze
24 učenika,
30 ih barem dva dana u tjednu trči, a
15 učenika ne trči i ne vozi bicikl.
Koliko učenika...
i vozi bicikl i trči?
card(A∪B)=9
samo vozi bicikl?
card(A∪B)=45
se bavi bar jednom aktivnosti?
card(B\A)=21
samo trči?
card(A\B)=15
null
null
U jednoj je školi
22%maturanata kao izborni predmet na maturi odabralo Biologiju,
18% Kemiju, a njih
12% odabralo je i Biologiju i Kemiju. Koliko posto učenika nije odabralo ni jedan od tih dvaju izbornih predmeta?
100%-(22+18-12)%=100%-28%=72%
null
Postupak:
100%-(22+18-12)%=100%-28%=72%
Skupina učenika razgovarala je o tome koja su tri grada posjetili: Berlin, London ili Pariz. Berlin je posjetilo
5 učenika, London
10, a Pariz
8 učenika. Dva su učenika posjetila sva tri grada. Pet je učenika posjetilo London i Pariz, a Berlin i London posjetila su
3 učenika. Ni jedan učenik nije posjetio samo Berlin i Pariz, a da nije bio u Londonu. Ako tri učenika nisu bila ni u Berlinu, ni u Londonu, ni u Parizu, odredite:
Koliko je učenika posjetilo samo Pariz?
2
Koliko je učenika posjetilo barem jedan od tih gradova?
4
Koliko je učenika posjetilo Berlin i London, a nije Pariz?
15
Koliko je učenika posjetilo samo Berlin (a nije druge gradove)?
18
Koliko je ukupno učenika u skupini?
3
Koliko je učenika posjetilo samo London?
1
null
...i na kraju
Radeći u paru ili u tročlanim skupinama odaberite jedno od sljedećih područja: ekonomija, biologija, medicina, geografija, povijest, sport ili umjetnost.
Zamislite neku situaciju unutar odabranog područja u kojoj ćete s pomoću skupova organizirati ili kategorizirati određene podatke. (Primjerice, u medicini možemo promatrati nekoliko različitih bolesti i njihove simptome. Pritom će neki simptomi biti zajednički za sve bolesti, neki samo za dvije ili samo za jednu bolest.)
Koristeći se Vennovim dijagramom s najmanje tri skupa ilustrirajte odabranu situaciju.
Na osnovi Vennova dijagrama zapišite tri do četiri pitanja koja će ilustrirati uniju, presjek, razliku ili komplement nekih od prikazanih skupova.
Razmijenite i diskutirajte vaš odabir i pitanja s nekom od ostalih skupina.
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE
1
Više objekata okupljenih prema nekom načelu u cjelinu tvori
.
null
null
2
Simbol
∈
čitamo: je
.
null
null
3
Ako je presjek dvaju skupova prazan skup, kažemo da su ti skupovi
.
null
null
4
Skup u kojem se nalaze svi elementi iz univerzalnog skupa koji nisu u skupu
A zovemo
skupa
A.
null
null
5
Neka je skup svih različitih znamenki broja 12 563 783. Koji od sljedećih skupova su podskupovi skupaA? (Više je točnih odgovora.)
null
null
6
Neka je Uuniverzalni skup i Anjegov podskup. Označite sve točne odgovore:
null
null
7
Neka je U={1,2,3,4,5,6,...,19,20},A={2,3,5,7,11,13},B={2,4,6,8,10,12,14,16,18},C={1,2,3,4,5,10,11,12}.
Odredite:
ˉB=
A∪C=
B∩C=
A\C=
A∩B∩C=
ˉA∩ˉC=
(B∩C)\A=
null
null
8
Školska je liječnica ispitala
108 učenika u dobi od
14 do
15 godina i zapisala koje su bolesti s osipom preboljeli: vodene kozice (VK), ospice (O) i tzv. petu bolest (PB). Zapisala je sljedeće podatke: VK:
97 učenika, O:
4 učenika, PB:
76 učenika. Analizirajući dobivene podatke utvrdila je da je
70 učenika preboljelo i VK i PB, tri su učenika preboljela i O i PB, a dva su učenika preboljela i O i VK. Jedan je učenik prebolio i O i PB, a nije VK. Koliko učenika nije preboljelo ni jednu od tih triju bolesti?
. Koliko je učenika preboljelo sve tri bolesti?
. Koliko je učenika preboljelo barem jednu od tih triju bolesti?
. Koliko je učenika preboljelo točno jednu od tih triju bolesti?
.