Matematika 1 - 1.5 Apsolutna vrijednost realnog broja

Na početku...

Na slici je prikazano mjerenje visine djeteta kod kuće i kod liječnika.

Tko je točno izmjerio?

Dječak je, mjereći svoju visinu, sam izmjerio $165 cm .$ No liječnik je na sistematskom pregledu ipak provjerio tu informaciju i otkrio malu pogrešku.

„Pogriješio je za $3 cm$ ˮ, rekao je liječnik medicinskoj sestri koja je upisivala podatke.

Je li liječnik bio precizan u svojoj izjavi?

Koju će vrijednost medicinska sestra upisati za dječakovu visinu?

Liječnik nije bio sasvim precizan u svojoj izjavi jer su dvije moguće vrijednosti za dječakovu visinu: $162 cm$ ili $168 cm$ .

Što mislite, hoće li liječnik biti precizniji ako kaže: „Izmjerio si $- 3 cm$ .ˮ ili „ Izmjerio si $3 cm$ previše. ˮ Koja je od tih dviju izjava prirodnija?

Kolika je razlika?

U stvarnome životu vrlo često računamo razliku između dviju veličina. Obično govorimo:

„Razlika u jutarnjoj i podnevnoj temperaturi zraka je $10 ℃ .$ "
„Savladali su razliku nadmorske visine od $120$ metara."
„Izgubili smo utakmicu za $1$ koš."
„Moja se računica razlikuje od tvoje u $15$ kuna."

Uočimo da je razlika koju smo izračunali nekad pozitivna, a nekad negativna. No u većini je slučajeva prirodnije dobiveni iznos izreći kao pozitivan broj, a predznak razlike izreći u kontekstu ( $3 cm$ previše), a ne eksplicitno ga navesti $(- 3 cm) .$ Zašto nam je to prirodnije?

Intuitivno, računajući razliku gledamo koliko je neka izmjerena vrijednost udaljena od polazne vrijednosti. Kako udaljenost smatramo pozitivnom veličinom, prirodno je da iznos dobivene razlike iskažemo kao pozitivan broj.

Udaljenost

Na slici je prikazan brojevni pravac i brojevi koji su udaljeni za 3 od 0

Za pozitivan broj koji smo upotrijebili u navedenim iskazima kažemo da je apsolutna vrijednost dobivene razlike.

Za brojeve $- 3$ ili $3$ apsolutna je vrijednost broj $3 .$ To zapisujemo $|- 3| = 3$ i $|3| = 3 .$

Koliko su brojevi $3$ i $- 3$ udaljeni od nule na brojevnom pravcu?

Brojevi $- 3$ i $3$ su od broja $0$ udaljeni za tri jedinice na brojevnom pravcu.

Apsolutna vrijednost realnog broja $x$ mjeri njegovu udaljenost od nule na brojevnom pravcu i označavamo je s $|x|$ $.$

Pokušajmo sada i formalno, strogo matematički, definirati apsolutnu vrijednost.

Apsolutna je vrijednost realnog broja $x$ broj koji označavamo s $|x|$ i vrijedi

$|x| = \{\begin{cases} x ako je x > 0 \\ 0 ako je x = 0 \\ - x ako je x < 0 \end{cases}$

ili kraće zapisano:

$|x| = \{\begin{cases} x ako je x \geq 0 \\ - x ako je x < 0 \end{cases}$

Zašto minus ?

Za negativne realne brojeve $|x| = - x .$ Zašto znak za minus ako je apsolutna vrijednost uvijek pozitivan broj?

S obzirom na to da je $x$ negativan, znak minus će broju $x$ pridružiti njegov suprotni broj, što znači da će apsolutna vrijednost biti pozitivna.

Primjer 1.

Kako se definicijom apsolutne vrijednosti koristimo pri računanju?

$|54| = 54$ jer je broj $54$ pozitivan. Broj $54$ od $0$ je udaljen za $54$ jedinice na brojevnom pravcu.

$|0| =0,$ jer je broj $0$ udaljen od $0$ za $0$ jedinica na brojevnom pravcu.

$|- 32| = - (- 32),$ jer je broj $- 32$ negativan te je njegova apsolutna vrijednost njemu suprotan broj. Od $0$ je udaljen za $32$ jedinice na brojevnom pravcu.

$| - \sqrt{2} | = - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2},$ jer je broj pozitivan i od $0$ je udaljen za $\sqrt{2}$ jedinice na brojevnom pravcu.

Zadatak 4.

Riješite zadatak te mijenjajući brojeve

a i |b|

promatrajte dobivena rješenja.

Ako znamo apsolutnu vrijednost realnog broja $x,$ možemo li odrediti broj $x ?$

Je li taj broj jedinstven?

Objasnite sljedeće svojstvo.

Neka je $a \geq 0 .$ Tada iz $|x| = a$ slijedi $x = a ili x = - a .$

Ako je apsolutna vrijednost nekoga realnog broja $x$ jednaka realnom broju $a \geq 0,$ broj $x$ je od $0$ udaljen za $a,$ što je moguće samo ako se radi o broju $a$ ili broju $- a .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

U jednu grupu dovucite brojeve koji mogu biti apsolutna vrijednost nekoga broja, a u drugu grupu one koji to ne mogu biti:

π - 1

- 0.23002

1.002 - 1.006

- 120

3 \cdot (\begin{array}{l} 2.3 - 3.2 \end{array})

12.6

0

\frac{11}{13}

- \sqrt{10}

1 - \sqrt{2}

0.000012

- (\frac{- 24}{- 3})

100

1 + \sqrt{2}

\frac{- 2}{- 13.1}

- \frac{1}{0.012}

Apsolutna vrijednost

Nije apsolutna vrijednost

null

Zadatak 6.

Zadan je niz apsolutnih vrijednosti. Poredajte ih po veličini od najmanje do najveće.

Poredajte brojeve povlačenjem tako da su u traženom poretku.

$|\begin{array}{l} 67 \end{array}|$
$|- 42|$
$|\begin{array}{l} 14.3 \end{array}|$
$|\begin{array}{l} 44 \end{array}|$
$|\begin{array}{l} - 51 \end{array}|$
$|- 14.6|$
$|\begin{array}{l} 22 \end{array}|$
$|- 43|$
$|- 14.2|$
$|- 21|$

null

Zatvori

Apsolutna vrijednost i udaljenost na brojevnom pravcu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Brojevi $a$ i $b$ pridruženi su redom točkama $A$ i $B$ na brojevnom pravcu. Mijenjajte položaj točaka $A$ i $B .$ Pritom promatrajte njihovu međusobnu udaljenost $d (A, B)$ i apsolutnu vrijednost $| a - b | .$

Što zamjećujete?

Što u geometrijskom smislu predstavlja izraz $| a - b | ?$

Umetnite odgovarajuću riječ tako da dobijete istinitu tvrdnju.

Apsolutna vrijednost

|\begin{array}{l} a - b \end{array}|

predstavlja između brojeva $a$ i $b$ na brojevnom pravcu.

null

Zadatak 8.

Svaki od izraza s apsolutnom vrijednošću uparite s njegovim geometrijskim značenjem.

$\|a - 3\|$	broj $a$ je udaljen od $0$ za $2$
$\|a - 1.5\| = 2$	udaljenost realnog broja $a$ od $- 3$
$\|a + 5\| \geq 3$	broj $a$ je od $1.5$ udaljen za $2$
$\|5.8 - a\|$	broj $a$ je od $- 5$ udaljen za više ili jednako $3$
$\|a\| = 2$	udaljenost realnog broja $a$ od $3$
$\|a - 5\| < 3$	udaljenost realnog broja $a$ od $5.8$
$\|a + 3\|$	broj $a$ je od $5$ udaljen za manje od $3$

null

Zatvori

Svojstva apsolutne vrijednosti

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Za realne brojeve $a$ i $b$ izračunajte apsolutne vrijednosti i usporedite dobivene rezultate (zaokružene na dvije decimale).

Što možete zaključiti o brojevima $|\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}|$ i $|\begin{array}{l} a \end{array}| \cdot |\begin{array}{l} b \end{array}|,$ a što o brojevima $|\frac{a}{b}|$ i $\frac{|a|}{|b|}$ na osnovi provedenog istraživanja?

$|\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}|$ = $|\begin{array}{l} a \end{array}| \cdot |\begin{array}{l} b \end{array}|$

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$

Zadatak 10.

Za realne brojeve $a$ i $b$ izračunajte apsolutne vrijednosti i usporedite dobivene rezultate.

Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Na osnovi provedenog istraživanja riješite zadatak.

Uparite tvrdnje tako da dobijete svojstva apsolutne vrijednosti realnoga broja.

$\|\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}\|$	$= \frac{\|a\|}{\|b\|}$
$\|\begin{array}{l} \frac{a}{b} \end{array}\|$	$= \|\begin{array}{l} a \end{array}\| \cdot \|\begin{array}{l} b \end{array}\|$
$\|a\| - \|b\|$	$= \| b \|$
$\|\begin{array}{l} a - b \end{array}\|$	$\geq 0$
$\|\begin{array}{l} a + b \end{array}\|$	$\leq \|\begin{array}{l} a - b \end{array}\|$
$\| - b \|$	$= \|\begin{array}{l} b - a \end{array}\|$
$\| a \|$	$\leq \|\begin{array}{l} a \end{array}\| + \|\begin{array}{l} b \end{array}\|$

null

Primijenite svojstva apsolutne vrijednosti pri računanju u sljedećim zadatcima.

Zadatak 12.

Ako je $a = - 4$ $,$ $b = 9,$ izračunajte:

$| 3 a + b |$
$a - | - 2 b |$
$|\frac{a}{2 b}|$
$| a + b | - 5$
$|\begin{array}{l} \frac{|\begin{array}{l} 2 a - b \end{array}|}{a} \end{array}| .$

$3$
$- 22$
$\frac{2}{9}$
$0$
$\frac{17}{4}$

Zatvori

Račun pogreške

Svi ćemo se složiti da je u realnom svijetu teško provesti savršeno mjerenje i odrediti točnu ili stvarnu vrijednost veličine koju mjerimo. Je li beznačajna nastala pogreška? Kako ćemo izmjeriti veličinu i procijeniti kvalitetu pogreške?

Na slici je prikazano vaganje i prikazana je težina od 0.6 kg, a trgovac je mjerenje zaokružio na 1 kg.

Zanimljivost

Numerička matematika je grana matematike koja se bavi rješavanjem problema koje ne možemo egzaktno nego samo približno riješiti te pronalazi metode i procjenjuje koliko je neko rješenje pronađeno tim metodama dobro, to jest ocjenjuje pogrešku.

Povijesni primjer greške u zaokruživanju je primjer iz američke povijesti. Samuel J. Tilden je 1876. godine izgubio izbore u korist Rutherforda B. Hayesa zbog greške u zaokruživanju u načinu dodjele elektorskih glasova. Više o tome možete pročitati u skripti s predavanja i vježbi na PMF-u Numerička matematika (autori: Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, M. Rogina, Sanja i Saša Singer), poglavlje 2.8. Primjeri iz života, primjer 2.8.4. str. 25– 189. Pogledajte na poveznici.

Mjere za pogrešku

Neka je $x$ stvarna (točna) vrijednost, a $x_{m}$ izmjerena vrijednost ili aproksimacija stvarne vrijednosti.

Apsolutna pogreška je odstupanje izmjerene vrijednosti $x_{m}$ od stvarne vrijednosti $x .$ Računa se kao apsolutna vrijednost njihove razlike i označava se s $∆ x .$ Pišemo:

$∆ x = |{x - x}_{m}| .$

Relativna pogreška $(r)$ mjeri relativnu točnost izmjerene vrijednosti $x_{m}$ u odnosu prema stvarnoj vrijednosti $x .$ Računa se kao omjer apsolutne pogreške i stvarne vrijednosti, a obično se iskazuje u postotku. Pišemo:

$r = \frac{∆ x}{x} = \frac{|x - x_{m}|}{x} .$

Primjer 2.

Što je lošije – izmjeriti $1 kg$ umjesto $0.6 kg$ ili $151 kg$ umjesto $150.6 kg ?$

Apsolutna je pogreška u obama slučajevima ista:

$Δ x = |1 - 0.6| = |151 - 150.6| = 0.4 kg$

Bez obzira na rezultat, osjećamo da to nije ista pogreška. Pogledajmo kako izgleda relativna pogreška. Relativna je pogreška u prvom slučaju:

$r = \frac{∆ x}{x} = \frac{0.4}{0.6} = 0.666 \dots \approx 0.667 .$

Relativna je pogreška u drugom slučaju:

$r = \frac{∆ x}{x} = \frac{0.4}{150.6} = 0.002656 \approx 0.003.$

Ako to zapišemo kao postotak, dobivamo redom $66.7 %$ i $0.3 % .$ (Prisjetite se pojma postotka: Matematika 7, Modul 3)

Sada je potpuno jasno da je veća greška izmjeriti $1 kg$ umjesto $0.6 kg$ nego $151 kg$ umjesto $150.6 kg .$

Zadatak 13.

Broj $a = 12.345$ zaokružite na jednu decimalu i odredite apsolutnu i relativnu pogrešku nastalu pri zaokruživanju.

Apsolutna pogreška: $\begin{array}{l} ∆ x = | 12.3 - 12.345 | = | - 0.045 | = 0.045 . \end{array}$

Relativna pogreška: $\begin{array}{l} r = \frac{∆ x}{x} = \frac{0.045}{12.345} = 0.0036452 \approx 0.004 = 0.4 % . \end{array}$

Uočite:

Ako je $∆ x = |{x - x}_{m}|,$ tada je $x = x_{m} \pm ∆ x .$

Zadatak 14.

Kako biste dokazali prethodnu tvrdnju?

Sljedeće elemente poredajte tako da dobijete sve korake u dokazu dane tvrdnje.

Izmjerena vrijednost $x_{m}$ može biti veća ili manja od stvarne vrijednosti $x .$ Tada je

$x - x_{m} = \pm △ x \Rightarrow$
$x - x_{m} \geq 0 ili x - x_{m} \leq 0 \Rightarrow$
$x = x_{m} \pm △ x.$

null

Na slici je stopalo i metar kojim se mjeri njegova duljina

Primjer 3.

Mjereći duljinu svojeg stopala učenik je dobio broj koji se nalazi između dviju oznaka za $cm,$ a u bilježnicu zapisao kao rezultat $28 cm .$ Koliko će najviše njegovo mjerenje biti neprecizno? Smatramo da je mjerenje precizno do $\pm 0.5$ od najmanje podjele na nekoj ljestvici. Koju stvarnu duljinu može imati njegovo stopalo?

Izračunajmo apsolutnu i relativnu pogrešku njegova mjerenja.

Procjena je stvarne duljine učenikova stopala $(28 \pm 0.5) cm$ .

Apsolutna je pogreška $0.5 cm,$ a relativna $\frac{∆ x}{x} = \frac{0.5}{28} = 0.017857 \approx 1.8 % .$

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 15.

Čokolada ima na deklaraciji istaknutu masu od 80 grama uz maksimalnu relativnu pogrešku od $1.8 % .$

Kolika je stvarna masa čokolade?

Izmjerena je vrijednost $x_{m} = 80 g,$ a relativna pogreška $r = \frac{∆ x}{x} = 0.018 .$

Tada je $∆ x = 0.018 x$ i $x = 80 \pm ∆ x,$ a odatle $x = 80 \pm 0.018 x,$ odnosno $x \pm 0.018 x = 80 .$

Slijedi:

$1.018 x = 80$ ili $0.982 x = 80$

$x = 78.585 g$ ili $x = 81.466 g .$

Zaključak: Stvarna masa čokolade je između 79 i 81 grama. Napominjemo da se rezultat obično zapisuje s onom točnošću koja se koristila za zadane podatke u zadatku.

Zadatak 16.

Ljekarnik mora testirati novu vagu prije korištenja pri spravljanju ljekovitih pripravaka. Vaga neće proći test ako je relativna pogreška pri mjerenju $2 %$ i više. Za testiranje će uzeti masu od $250$ grama. Ako je ljekarnik izvagao $256$ grama, hoće li vaga proći test? Kolika mora biti izvagana masa da bi vaga prošla test?

Vaga neće proći test jer je relativna pogreška $2.4 %,$ što je veće od $2 % .$ Izvagana bi masa trebala biti između $(250 \pm 5)$ $g,$ odnosno između $245 g$ i $255 g.$

Zatvori

$\sqrt{3}$	$20$
$a$	$3.5$
$3.5$	$\sqrt{3} - 1$
$20$	$\sqrt{3}$
$\sqrt{3} - 1$	$a$
$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

$- 3.5$	$- (- 3.5) = 3.5$
$- \frac{2}{5}$	$- (- a) = a$
$- a, a > 0$	$- (- \frac{2}{5}) = \frac{2}{5}$
$- \sqrt{3}$	$- (- \sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$- 20$	$- (1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$
$1 - \sqrt{3}$	$- (- 20) = 20$

$\|\begin{array}{l} a \cdot b \end{array}\|$	$= \frac{\|a\|}{\|b\|}$
$\|\begin{array}{l} \frac{a}{b} \end{array}\|$	$= \|\begin{array}{l} a \end{array}\| \cdot \|\begin{array}{l} b \end{array}\|$
$\|a\| - \|b\|$	$= \| b \|$
$\|\begin{array}{l} a - b \end{array}\|$	$\geq 0$
$\|\begin{array}{l} a + b \end{array}\|$	$\leq \|\begin{array}{l} a - b \end{array}\|$
$\| - b \|$	$= \|\begin{array}{l} b - a \end{array}\|$
$\| a \|$	$\leq \|\begin{array}{l} a \end{array}\| + \|\begin{array}{l} b \end{array}\|$

1.5 Apsolutna vrijednost realnog broja

Na početku...

Kolika je razlika?

Udaljenost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zašto minus ?

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Apsolutna vrijednost

Nije apsolutna vrijednost

Zadatak 6.

Apsolutna vrijednost i udaljenost na brojevnom pravcu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Svojstva apsolutne vrijednosti

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Račun pogreške

Zanimljivost

Mjere za pogrešku

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 15.

Zadatak 16.

...i na kraju

1.6 Primjena (omjeri, razmjeri, postotci, aritmetička sredina)