1.4 Računske radnje na skupu realnih brojeva

Zaokruživanje realnih brojeva

Često se pri rješavanju problema dogodi da rezultat računanja nije egzaktan, to jest ne možemo ga precizno zapisati ili nam egzaktna vrijednost nije nužna. Katkad je dovoljno rezultat zapisati na najbližu desetinku, stotinku ili slično, ovisno o kontekstu zadatka.

Povezani sadržaji

Podsjetimo se. Brojeve smo učili zaokruživati na desetice, stotice, tisućice…

Na primjer, broj $2527$ zaokružen na deseticu je $2530,$ a zaokružen na stoticu je $2500.$

Koliko iznosi taj broj zaokružen na tisućicu?

Rješenje

---

Kada računamo s racionalnim i iracionalnim brojevima, rezultati se, ovisno o načinu na koji zaokružujemo, mogu dosta razlikovati. Pogledajmo.

Primjer 1.

Izračunajmo vrijednost izraza $\frac{7.953+10.074}{\sqrt{24.9-15.7}}$ i rezultat zaokružimo na dvije decimale.

Računat ćemo na dva načina.

Prvo ćemo zadani izraz upisati u džepno računalo i tek nakraju rezultat zaokružiti na dvije decimale:

$\frac{7.953+10.074}{\sqrt{24.9-15.7}}=5.94.$ ​

Sada ćemo računati tako da svaki međurezultat zaokružimo na dvije decimale:

$\frac{7.953+10.074}{\sqrt{24.9-15.7}}=\frac{18.03}{3.03}=5.95.$

Rezultati se razlikuju za $0.01,$ što nam se ne mora činiti velikom razlikom.

Riješite sljedeći zadatak na oba načina, bez zaokruživanja međurezultata i sa zaokruživanjem međurezultata na dvije decimale.

Zadatak 5.

Gustoća srebra je $10.49\frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}}.$ Ako je $\mathrm{1}\mathrm{oz}=\mathrm{28.35}\mathrm{g},$ a $1\mathrm{in}=2.54\mathrm{cm},$ kolika je gustoća srebra u $\frac{\mathrm{oz}}{{\mathrm{in}}^3}?$ Rezultat zaokružite na dvije decimale. Što zamjećujete?

Rješenje

---

Dakle, preporučuje se koristiti se džepnim računalom i ne zaokruživati podatke tijekom računanja.

Ako se u zadatku traži zaokruživanje na određeni broj decimala, misli se na konačan rezultat. Međurezultati se u tome slučaju mogu zaokruživati na dvije decimale više od traženog rezultata.

Riješite prethodne zadatke uz zaokruživanje međurezultata na četiri decimale i provjerite razlike u rezultatima.

Zaokruživanje na značajne znamenke

Bez obzira na to koliko precizne mjerne instrumente imamo, veličinu kao što je primjerice duljina ne možemo egzaktno odrediti. Svako je mjerenje zapravo aproksimacija. Mjerenje je korisno ako se u njega možemo pouzdati. Na primjer, izmjerili smo da je neka osoba visoka $173\mathrm{cm}.$ Taj smo podatak dobili mjerenjem broja metara, broja decimetara i broja centimetara, odnosno sve su tri znamenke dobivene mjerenjem pa kažemo da imamo tri značajne znamenke. ​

U nekim je podatcima zapisano da Hrvatska ima $4203604$ stanovnika. Taj podatak ima $7$ značajnih znamenki. Takva je točnost malo vjerojatna jer pretpostavlja da smo brojili svakog stanovnika Hrvatske, što je praktički nemoguće. S obzirom na stalne promjene u broju stanovnika, pouzdanije je reći da Hrvatska ima $4204000$ stanovnika, što je točnost na $4$ značajne znamenke.  

Prva značajna znamenka u nekome broju prva je znamenka različita od nule, gledajući slijeva nadesno.

Druga značajna znamenka sljedeća je znamenka broja, uključujući nulu, ako iza nje slijedi znamenka različita od nule itd.

Nule se na kraju broja zanemaruju osim ako nisu iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi $31.7,$ $0.0529$ i $1.80$ imaju tri značajne znamenke.

Zadatak 6.

Provjerite!

1. Broj $312000$ ima $3$ značajne znamenke.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Broj $5207$ ima $3$ značajne znamenke.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

3. Broj $935.10$ ima četiri značajne znamenke.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

4. Broj $0.005006$ ima četiri značajne znamenke.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

Primjer 2.

Kako brojeve zaokružujemo na značajne znamenke? Pogledajte.

Uočavate li pravilo prema kojem se broj zaokružuje na značajne znamenke? Opišite ga.

Provjerite "svoje" pravilo o zaokruživanju na značajne znamenke.

Pravilo je slično zaokruživanju na decimale, jedino što u zaokruživanju na decimale odbrojavamo od prvoga decimalnog mjesta, desetinke, a u zaokruživanju na značajne znamenke odbrojavamo od prve značajne znamenke.

Primjer 3.

Broj $2.352$ zaokružen na $3$ značajne znamenke je $2.35.$

Broj $4.298$ zaokružen na $3$ značajne znamenke je $4.30.$

Broj $\mathrm{8\; 251}$ zaokružen na $3$ značajne znamenke je $\mathrm{8\; 250}.$

Zadatak 7.

Zaokružite sljedeće brojeve na zadani broj značajnih znamenaka.

1. $1.248$ na $3$ značajne znamenke
2. $0.512$ na $2$ značajne znamenke
3. $21.978$ na $3$ značajne znamenke
4. $739.51$ na $2$ značajne znamenke

Rješenje

---

Procjena

U nekim je situacijama potrebno rezultat smisleno procijeniti i aproksimirati, odlučiti kada je procjenu ili aproksimaciju prikladno upotrijebiti te vrednovati smislenost rezultata. Pri procjeni moramo paziti na veličinu i na jedinicu te veličine. Znamo da je, na primjer, prosječna visina petnaestogodišnjaka oko $170\mathrm{cm}$ $,$ duljina osobnog automobila oko $2\mathrm{m}$ itd. ​

Tehnologija nas okružuje i pomaže pri rješavanju problema. Složene ćemo račune brže riješiti koristeći se džepnim računalom. No, dogodi se da pritisnemo krivu tipku pa dolazi do greške. Zato je važno naučiti procijeniti rezultat, odnosno red veličine rezultata prije točnog računanja. Ako se procjena i rezultat znatno razlikuju, to nam govori da smo pogriješili ili u procjeni ili u računanju.

Primjer 4.

Procijenimo vrijednost izraza $\frac{17.092-8.05}{4.15}$  uz zaokruživanje brojeva na $1$ značajnu znamenku .

$\frac{17.093-8.05}{4.15}\approx \frac{20-8}{4}\approx \frac{10}{4}\approx 2.$

Izračunajte s pomoću džepnog računala i usporedite. Jesmo li napravili dobru procjenu?

Rješenje

---

Rad s džepnim računalom

Na različitim džepnim računalima postoje različite tipke za iste radnje. Da bismo se učinkovito služili džepnim računalom, potrebno ga je dobro proučiti i pročitati upute za uporabu.

Budući da zaokruživanjem međurezultata gubimo točnost rješenja, najbolje je da u računanju upotrebljavamo njihove vrijednosti s džepnog računala i da ne utipkavamo zaokružene međurezultate.

Vrlo su korisne tipke za spremanje podataka $\boxed{\mathrm{STO}},$ za prikaz broja iz memorije $\boxed{\mathrm{RCL}},$ za ispis zadnjeg rezultata $\boxed{\mathrm{2}\mathrm{nd}}$  $\boxed{\mathrm{ANS}}$ i slično.

Uz to, možemo upotrijebiti zagrade i mogućnost upisivanja razlomaka, gdje je to omogućeno, te tako cijeli račun provesti direktno na džepnom računalu.

Primjer 5.

Izračunajte vrijednost izraza $\frac{15-8}{9+5}.$

Jedan je od mogućih načina utipkavanje sljedećeg niza u džepno računalo:

$\boxed{(}\boxed{1}\boxed{5}\boxed{-}\boxed{8}\boxed{)}\boxed{÷}\boxed{(}\boxed{9}\boxed{+}\boxed{5}\boxed{)}\boxed{=}$ 

Rješenje je $0.5.$​

Zadatak 13.

Koristeći se džepnim računalom, bez olovke i papira, izračunajte i rezultat zaokružite na tri značajne znamenke. Upišite dobivene vrijednosti na odgovarajuća mjesta.

Povezani sadržaji

Indeks tjelesne mase koristi se kao pokazatelj stupnja uhranjenosti osobe. Predstavlja omjer tjelesne mase u kilogramima i kvadrata tjelesne visine u metrima.

1. Koliki je indeks tjelesne mase osobe kojoj je masa $57\mathrm{kg}$ i koja je visoka $168\mathrm{cm}?$ Rezultat zaokružite na cijeli broj. ​
2. Osoba visoka $194\mathrm{cm}$ ima indeks tjelesne mase $23$ (zaokružen na cijeli broj). Izračunajte interval u kojem se nalazi njezina tjelesna masa.
3. Osoba mase $64\mathrm{kg}$ ima indeks tjelesne mase $22$ (zaokružen na cijeli broj). Izračunajte interval u kojem se nalazi njezina visina.

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Gdje je pogreška?

Koristeći se džepnim računalom izračunajte $123·123+10-123·123.$ Koji ste rezultat dobili?

Izračunajte $1234·1234+10-1234·1234.$ Koji ste rezultat dobili?

Ponavljajte postupak dopisujući faktorima znamenku $5,$  $6$ itd. Što zamjećujete? Možete li objasniti?

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Koristeći se džepnim računalom izračunajte zbrojeve.

1. $\begin{array}{l}\frac{1}{1·2}+\frac{1}{2·3}+\frac{1}{3·4}+...+\frac{1}{999·1000}+\frac{1}{1000·1001}=\end{array}$
2. $\begin{array}{l}\frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+\frac{1}{5·7}+...+\frac{1}{997·999}+\frac{1}{999·1001}=\end{array}$
3. $\begin{array}{l}\frac{1}{2·5}+\frac{1}{5·8}+\frac{1}{8·11}+...+\frac{1}{995·998}+\frac{1}{998·1001}=\end{array}$
4. $\begin{array}{l}\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{899}+\sqrt{900}}=\end{array}$

Rješenje

---