Matematika 1 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Dovucite brojeve koji nedostaju tako da je zbroj svih brojeva u recima, stupcima i dijagonalama isti.

Na slici je tablica 4x4 u koju su upisani neki brojevi.

null

Koliko iznosi magični zbroj u danoj tablici, odnosno zbroj brojeva po redcima, stupcima i dijagonali? Znate li kako se nazivaju takve i slične tablice brojeva?

Na slici je Durerov magični kvadrat. — Detalj s gravure Melencolie i Albrechta Dürera

Zbroj je $34,$ a tablica je primjer magičnog kvadrata reda $4 .$ Tablica koja ima $n$ redaka i $n$ stupaca je magični kvadrat reda $n$ ako je zbroj brojeva u svim stupcima, redcima i dijagonalama isti broj.

Ovaj je magični kvadrat jedan od najpoznatijih magičnih kvadrata dimenzije $4 \times 4,$ a nalazi se na djelu Melencolia I, gravuri njemačkog umjetnika Albrechta Dürera. Osim magičnog zbroja u redovima, stupcima i dijagonalama, u tom se kvadratu pojavljuje i mnogo drugih zanimljivih pojedinosti.

Projekt

U sklopu projekta o temi Magični kvadrati, vaš je zadatak u tročlanim skupinama obraditi zadanu temu, izraditi plakat i prezentaciju. Evo i nekih smjernica kojima se možete voditi tijekom projekta:

Istražite pojedinosti iz povijesti ili legende vezane za magične kvadrate.
Otkrijte ostale zanimljive pojedinosti u Dürerovu magičnom kvadratu.
Pronađite još neki primjer poznatoga magičnog kvadrata.
Navedite neke posebne vrste i podvrste magičnih kvadrata.
Izradite sami jedan magični kvadrat reda 4 i reda 5 te opišite postupak kojim ste se pritom koristili.

Što znamo o skupovima i brojevima?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

Dovlačenjem stavite u jednu skupinu beskonačne, a u skupinu konačne skupove.

$N \cap Z$

beskonačni

konačni

null

Zadatak 2.

U bilježnicu nacrtajte dva Vennova dijagrama. Na prvome osjenčajte skup koji predstavlja $\bar{A \cup B},$ a na drugome $\bar{A} \cap \bar{B} .$
Zatim nacrtajte dva Vennova dijagrama. Na prvome osjenčajte skup koji predstavlja $\bar{A \cap B},$ a na drugome $\bar{A} \cup \bar{B} .$

Što zaključujete? Koja ste svojstva za skupove otkrili?

$\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ i $\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$

Svojstva koja ste otkrili poznata su pod nazivom De Morganovi zakoni.

Zadatak 3.

Odredite zbroj prvih $100$ prirodnih brojeva.
Odredite zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
Odredite zbroj brojeva $3 + 6 + 9 + 12 + \dots + 99 .$
Odredite zbroj svih prirodnih brojeva manjih od $1 000$ koji pri dijeljenju s $4$ daju ostatak $1 .$

Slika prikazuje kako se mogu zbrojiti brojevi od jedan do sto. Zbrajamo prvi i zadnji broj u nizu, zatim drugi i predzadnji. Svi su zbrojevi isti, a kako je takvih parova 50, ukupan je zbroj 50∙101=5050. — Gaussova dosjetka

Koristite se načinom zbrajanja pod nazivom Gaussova dosjetka.

Pogledajte poveznicu.

$5 050$
$4 905$
$1 683$
$124 750 .$

Zatvori

Mjerenje

Povezani sadržaji

Mjerenje je postupak kojim se određuje vrijednost neke veličine. Kako bismo što preciznije odredili stvarnu vrijednost te veličine, postupak mjerenja može se provesti više puta. Prije obrade dobivenih podataka treba odbaciti mjerenja koja znatno odstupaju od ostalih izmjerenih vrijednosti i najvjerojatnije su posljedica ljudske greške (takozvana gruba greška ili omaška). Za najbolju procjenu obično uzimamo srednju vrijednost $(\bar{x}),$ odnosno aritmetičku sredinu svih preostalih rezultata mjerenja.

Nakon toga se za svaki od $n$ rezultata mjerenja izračuna apsolutno odstupanje:

$Δ x_{i} = |x_{i} - \bar{x}|,$ $i = 1 . . . n .$

Od svih se apsolutnih odstupanja odabere najveće. Označavamo ga s $△ x_{m a x}$ i nazivamo maksimalna apsolutna pogreška.

Maksimalna relativna pogreška označava se s $r_{m a x},$ a računa se prema formuli

$r_{m a x} = \frac{△ x_{m a x}}{\bar{x}} .$

Dogovor je da se prvo zaokružuje maksimalna apsolutna pogreška, na prvu značajnu znamenku koja nije $0,$ te se na temelju toga ispravlja zapis srednje vrijednosti na isti broj decimala (i uzima se u obzir broj značajnih znamenaka ulaznih podataka). Konačan zapis mjerenja nakon pravilnog zaokruživanja zapisuje se s $(\bar{x} \pm △ x) .$

Primjer 1.

Skok udalj

Pripremajući se za školsko natjecanje u skoku udalj, učenik je zamolio svoje prijatelje da mu izmjere duljinu skoka. Svatko je od njih šest dobio drukčiji rezultat (u metrima).

Rezultati, redom kako su izmjereni, iznose:

$x_{1} = 3.26 m,$ $x_{2} = 3.58 m,$ $x_{3} = 3.48 m,$ $x_{4} = 3.53 m,$ $x_{5} = 3.32 m,$ $x_{6} = 2.25 m .$

Na osnovi izmjerenih podataka procijenite koliko je učenik skočio udalj.

Na početku treba odbaciti mjerenje $x_{6} = 2.25 m,$ koje znatno odstupa od ostalih izmjerenih vrijednosti.

Aritmetička sredina preostalih pet rezultata
$\bar{x} =$ $m .$

null

null
Apsolutna odstupanja dobivenih mjerenja u odnosu prema aritmetičkoj sredini su:
$|x_{1} - \bar{x}| =$ $m,$

null

null
$| x_{2} - \bar{x} | =$ $m,$

null

null
$| x_{3} - \bar{x} | =$ $m,$

null

null
$| x_{4} - \bar{x} | =$ $m,$

null

null
$| x_{5} - \bar{x} | =$ $m .$

null

null
Maksimalna apsolutna pogreška iznosi: $△ x_{m a x} =$ $m .$

null

null
Izračunata se vrijednost tada zapisuje: $(\bar{x} \pm △ x) m=($ $\pm$ $) m .$

null

null

Takav je rezultat nužno pravilno zaokružiti – mjerni instrument nije imao preciznost mjeriti na $3 .$ decimalu, zato taj zapis nije točan.

Kako glasi konačan zapis mjerenja?

Između kojih se brojeva nalazi stvarna vrijednost i kolika je maksimalna relativna pogreška?

Konačni zapis mjerenja je $(\bar{x} \pm △ x) = (3.40 \pm 0.20) m,$ odnosno stvarna se vrijednost mjerenja nalazi između brojeva $3.20 m$ i $3.60 m .$

Maksimalna je relativna pogreška

$\begin{array}{l} r_{m a x} = \frac{0.2}{3.4} \cdot 100 % = 0.0588 \cdot 100 % = 5.9 % . \end{array}$

Loptica koja pada

Pokus

Za sljedeći su vam pokus potrebni teniska loptica, štoperica, džepno računalo i pribor za pisanje. Radite u tročlanim skupinama na sljedeći način:

Jedan će član puštati lopticu da slobodno pada s visine $h .$ Drugi će član štopericom mjeriti vrijeme za koje će loptica pasti na tlo, tako da će uključiti štopericu u trenutku puštanja loptice, a isključiti u trenutku kad ona dotakne tlo. Treći će član pregledno zapisivati rezultate mjerenja u za to predviđenu tablicu. Mjerenje vremena potrebno je provesti od $10$ do $15$ puta. Obradite dobivene podatke i napišite u bilježnicu kratak osvrt na rezultate mjerenja, točnost i pogreške pri mjerenju. U svoja razmatranja uključite i odgovore na pitanja:

Koje se pogreške i zašto mogu javiti pri mjerenju?

S kojom preciznošću štoperica mjeri vrijeme?

Kojim ste se matematičkim, a kojim fizikalnim znanjima koristili pri izvođenju pokusa i računanju?

Možete li nakraju, i koliko precizno, odgovoriti na pitanje koliko je dugo loptica padala i s koje je visine puštena?

Štopericu možete pronaći na poveznici.

Ako niste u mogućnosti izvesti pokus, možete upotrijebiti pokus s lopticom i osam mjerenja u simulaciji:

Nekoliko zadataka

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Ispišite sve elemente skupova $\begin{array}{l} A, B i C . \end{array}$

$A = \{n : n = 3 k - 1, k \in N, 1 \leq k \leq 7\}$

$B = \{n : n \in N, n je djelitelj broja 20\}$

$C = \{n : n \in N, n je prost broj manji od 20\}$
Odredite $B \cap C$ i $(B \cup C) \ A .$

$A = \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\},$ $B = {1, 2, 4, 5, 10, 20},$ $C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},$
$B \cap C = \{2, 5\},$ $(B \cup C) \ A = {1, 3, 4, 7, 10, 13, 19}$

Zadatak 5.

Za koji cijeli broj $x$ vrijedi:

$\frac{x + 2}{18} = \frac{2}{9}$
$\frac{x - 5}{x} \in Z ?$

$x = 2$
$x \in \{- 5, - 1, 1, 5\}$

Zadatak 6.

Poredajte elemente po veličini tako da na vrhu bude element koji ima najmanju vrijednost.

$- 0.68$
$\frac{13}{16}$
$|\begin{array}{l} - 0.67 \end{array}|$
$\frac{4}{5}$
$\frac{27}{32}$
$0 . \dot{7}$
$0.7$

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Ako je $a = 1,$ $b = - 2,$ izračunajte:

$| a | - | b |$
$| - | a | - b |$
$| 0.5 a \cdot b | - b$
$\frac{| a | - 5}{1 - | b |}$
$\frac{- a + |a|}{- b + |b|} .$

$- 1$
$1$
$3$
$4$
$0$

Zadatak 8.

Prema popisu stanovništva od 2011. godine, Hrvatska je imala $4 284 889$ stanovnika, od kojih je muškaraca bilo $2 066 355 .$ Udjel stanovništva starijega od $80$ godina iznosio je $3,9$ posto. Udjel žena u fertilnoj dobi (od $15$ do $49$ godina) u ukupnom stanovništvu bio je $43,9$ posto. Na osnovi danih podataka odredite:

broj stanovnika koji su bili stariji od $80$ godina
postotak žena u ukupnom broju stanovnika
broj žena u fertilnoj dobi
koliko posto žena (od njihova ukupnog broja) nije bilo u fertilnoj dobi.

$167 111$
$51.8 %$
$1 881 066$
$15.2 %$

Zadatak 9.

Zaokružite brojeve na dani broj značajnih znamenki.

$567 000 000 (2)$
$0.00625 (2)$
$1.092 (3)$
$0.08025 (3)$

$570 000 000$
$0.0063$
$1.09$
$0.0803$

Zadatak 10.

Izračunajte i rezultat zaokružite na dvije decimale.

$\frac{- 3 . \dot{3}}{5}$
$\frac{5 000}{100} \cdot 21.1305 \cdot \sqrt{0.127}$
$\frac{1.654 - 2.321 \cdot (- 0.11 + 2.7654)}{13.8 : (- 2.5)}$

$- 0.67$
$435.93$
$0.82$

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 11.

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

$\|a - 9\| = 11$	$a = - 2 ili a = 20$
$\|a - b\| = 11$	$a = - 6, b = 5$
Razlika im je $1 .$	$a = - 6, b = - 5$
$\|a\| = \|b\| = 11$	$a = - 11, b = 11$

null

Zadatak 12.

Pripremajući se za važno natjecanje Marin je morao pažljivo izmjeriti svoju masu. Na vagi piše da mjeri vrijednost mase s točnošću na dekagram uz maksimalnu relativnu pogrešku od $1 % .$ Marin je deset puta izmjerio svoju masu, ali svaki je put dobio drukčiji rezultat. Provjerite točnost vage, to jest je li $1 %$ dobra procjena točnosti. Kolika je stvarna Marinova masa ako je on izmjerio sljedeće vrijednosti:

$78.4 kg,$ $78.8 kg,$ $77.3 kg,$ $77.9 kg,$ $77.6 kg,$ $78.2 kg,$ $78.1 kg,$ $77.8 kg,$ $78.3 kg,$ $78.5 kg$ ?

Srednja je vrijednost $kg .$

null

null
Maksimalna je apsolutna pogreška $kg \approx$ $kg .$

null

null
Korigirana je srednja vrijednost $kg .$

null

null
Maksimalna je relativna pogreška $% .$

null

null
Stvarna je Marinova masa između $kg$ i $kg .$

null

null

Zadatak 13.

U decimalnom zapisu racionalnog broja $\frac{2}{7}$ odredite decimalu koja se nalazi iza decimalne točke na

$101 .$ mjestu: ,

$276 .$ mjestu: ,

$873 .$ mjestu: .

null

Zatvori

Matematika i glazbena ljestvica

Kutak za znatiželjne

Znate li što je glazbena ljestvica? Koliko je tonova u njoj? Ako istodobno odsviramo neka dva tona, hoće li zvučati ugodno ili neugodno?

U ljestvici je osam tonova: C, D, E, F, G, A, H i c.

Visina tona ovisi o duljini žice na kojoj sviramo. Ako skratimo žicu na kojoj sviramo ton C na polovinu njezine duljine, dobit ćemo žicu na kojoj sviramo ton c. Razmak je između tih dvaju tonova osam pa se naziva oktava.

Interval oktave ostvaruje se titranjem žica kojima su duljine u omjeru $2 : 1 .$ Ton c zovemo oktava na C. Interval kvinte je razmak od pet tonova, a ostvaruje se omjerom $3 : 2 .$ Razmak od četiriju tonova je interval kvarte koji se ostvaruje omjerom $4 : 3 .$

Zadatak 14.

Zamislimo da ton C sviramo na žici duljine $1 .$ Koji je ton kvinta na C, a koji kvarta na C? Kolike su duljine žica na kojima sviramo te tonove?

Kvinta na C je G, kvarta na C je F. Ton G svira se na žici duljine $\frac{2}{3},$ a ton F na žici duljine $\frac{3}{4} .$

Primjer 2.

Odredimo interval F do G.

Treba naći omjer duljina žica na kojima se sviraju tonovi F i G.

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{8} .$

Taj se interval naziva cijeli ton.

Podijelimo donju kvartu od C do F cijelim tonovima. Krećući od C odredimo ton D tako da interval među njima bude cijeli ton. Zatim odredimo ton E tako da interval između D i E bude cijeli ton. Isto tako podijelimo gornju kvartu od G do c cijelim tonovima. Dobit ćemo još dva nova tona, A i H.

Uparite elemente.

c	$\frac{2}{3}$
E	$\frac{128}{243}$
D	$\frac{64}{81}$
A	$\frac{16}{27}$
C	$1$
H	$\frac{8}{9}$
G	$\frac{3}{4}$
F	$\frac{1}{2}$

null

Pitagora i njegovi sljedbenici pitagorejci govorili su da je sustav reda i ljepote izgrađen na suglasjima oktave, kvinte i kvarte. Zaključili su kako bit oktave, kvinte i kvarte nije žica, nego broj. Oblikovali su zakon malih brojeva: dva tona zvuče ugodno, skladno ako su im omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.

Zadatak 15.

Pronađite tonove čiji su omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.

Planetarij i verižni razlomci

Povezani sadržaji

Na slici je nizozemski matematičar, fizičar i astronom Christiaan Huygens — Izvor: commons.wikimedia.org. Autor: F. Ottens. Licenca: CC CC BY 4.0

Nizozemski matematičar, fizičar i astronom Christiaan Huygens živio je u 17. stoljeću. Za Francusku akademiju znanosti osmislio je Planetarij koji prikazuje gibanja šest planeta oko Sunca i Mjeseca oko Zemlje. Modeli planeta kretali su se s pomoću zupčanika. Huygens je računao omjere vremena ophoda planeta i Zemlje oko Sunca. Za Veneru je dobio omjer $\frac{64 725}{105 190} .$ To je značilo da bi trebalo napraviti zupčanike sa $64 725$ i $105 190$ zubaca. To je, naravno, bilo tehnički neizvedivo. Potrebno je bilo pronaći razlomak koji se malo razlikuje od istaknutog, a koji ima manje brojeve u brojniku i nazivniku.

Predložite neke razlomke.

Zadatak 16.

Koristite se džepnim računalom. Zapišite broj $\frac{64 725}{105 190}$ zaokružen na jednu, dvije, tri i četiri decimale. Dobili ste četiri decimalna broja. Prikažite ih u obliku potpuno skraćenog razlomka.

$0.6 = \frac{3}{5},$ $0.61 = \frac{61}{100}$ ili $0.62 = \frac{31}{50},$ $0.615 = \frac{123}{200},$ $0.6153 = \frac{6 153}{10 000} .$

Razlomci koje smo dobili u prethodnom zadatku nisu dobri. Mali nazivnik ima samo prvi razlomak, ali on daje točnost samo na prvu decimalu. Razlomci koji se manje razlikuju od zadanog imaju velike nazivnike. Jeste li pronašli neke bolje? Problem pronalaženja dobrog razlomka može se riješiti s pomoću verižnih razlomaka. Što su to verižni razlomci?

Primjer 3.

Razlomak $\frac{371}{251}$ zapišimo u drugom obliku. Koristimo se džepnim računalom.

Podijelimo brojnik s nazivnikom. Količnik je 1, a ostatak 120. Možemo pisati $\frac{371}{251} = 1 + \frac{120}{251} = 1 + \frac{1}{\frac{251}{120}} .$

Ponovimo postupak s razlomkom $\frac{251}{120} .$ Količnik je 2, a ostatak 11. Možemo pisati $\frac{251}{120} = 2 + \frac{11}{120} .$

Tako smo dobili $\frac{371}{251} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{11}{120}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{120}{11}}} .$

Zadatak 17.

Nastavite postupak najprije s razlomkom $\frac{120}{11},$ a zatim i dalje sve dok ne dobijete ostatak $0 .$

$\frac{371}{251} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{10 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10}}}} .$

U prethodnom ste zadatku odredili verižni razlomak. Taj verižni razlomak zapisujemo i ovako: $[1,2,10,1,10] .$ Promotrimo brojeve:

$C_{1} = 1,$ $C_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},$ $C_{3} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{10}} = \frac{31}{21},$ $C_{4} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{10 + \frac{1}{1}}} = \frac{34}{23},$ $C_{5} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{10 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10}}}} = \frac{371}{251} .$

Ti se brojevi zovu konvergente verižnog razlomka. Opišite kako su dobivene konvergente verižnog razlomka iz našeg primjera. Konvergente su dobra aproksimacija za razlomak $\frac{371}{251} .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 18.

Odlučili smo umjesto zadanog razlomka $\frac{371}{251}$ upotrijebiti konvergentu $C_{4} .$ Izračunajte apsolutnu pogrešku $|C_{4} - \frac{371}{251}| .$ Zapišite apsolutnu pogrešku kao decimalni broj zaokružen na pet decimala.

$0.00017$

Zadatak 19.

Razlomak $\frac{58}{15}$ zapišite u obliku verižnog razlomka.

$[3, 1, 6, 2]$

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 20.

Povežite postupak pretvaranja razlomka u verižni razlomak i Euklidov algoritam.

Zadatak 21.

Racionalni brojevi mogu imati konačne, ali i beskonačne periodičke decimalne prikaze. Mogu li imati beskonačne verižne razlomke? Ili će postupak pretvaranja uvijek završiti u nekom koraku?

Objasnite.

Prikaz je racionalnoga broja u obliku verižnog razlomka konačan.

Zadatak 22.

Zapišite broj $\frac{64 725}{105 190}$ u obliku verižnog razlomka. Izračunajte konvergente. Izračunajte pogrešku za svaku od konvergenti.

Koji biste broj zubaca za Huygensov zupčanik odabrali?

$[\begin{array}{l} 0, 1, 1, 1, 1, 2, 84, 1, 3, 1, 3 \end{array}]$

Konvergente su: $0,$ $\frac{1}{1} = 1,$ $\frac{1}{2} = 0.5,$ $\frac{2}{3} = 0 . \dot{6},$ $\frac{3}{5} = 0.6,$ $\frac{8}{13} = 0 . \dot{6} 1538 \dot{4},$ $\frac{675}{1 097} = 0.615314494.. .$

Zatvori