Dovucite brojeve koji nedostaju tako da je zbroj svih brojeva u recima, stupcima i dijagonalama isti.
5
3
15
14
2
9
12
8
null
null
Koliko iznosi magični zbroj u danoj tablici, odnosno zbroj brojeva po redcima, stupcima i dijagonali? Znate li kako se nazivaju takve i slične tablice brojeva?
Detalj s gravure Melencolie i Albrechta Dürera
Zbroj je
34, a tablica je primjer magičnog kvadrata reda
4. Tablica koja ima
n redaka i
n stupaca je magični kvadrat reda
nako je zbroj brojeva u svim stupcima, redcima i dijagonalama isti broj.
Ovaj je magični kvadrat jedan od najpoznatijih magičnih kvadrata dimenzije 4×4, a nalazi se na djelu Melencolia I, gravuri njemačkog umjetnika Albrechta Dürera. Osim magičnog zbroja u redovima, stupcima i dijagonalama, u tom se kvadratu pojavljuje i mnogo drugih zanimljivih pojedinosti.
Projekt
U sklopu projekta o temi Magični kvadrati, vaš je zadatak u tročlanim skupinama obraditi zadanu temu, izraditi plakat i prezentaciju. Evo i nekih smjernica kojima se možete voditi tijekom projekta:
Istražite pojedinosti iz povijesti ili legende vezane za magične kvadrate.
Otkrijte ostale zanimljive pojedinosti u Dürerovu magičnom kvadratu.
Pronađite još neki primjer poznatoga magičnog kvadrata.
Navedite neke posebne vrste i podvrste magičnih kvadrata.
Izradite sami jedan magični kvadrat reda 4 i reda 5 te opišite postupak kojim ste se pritom koristili.
Mjerenje je postupak kojim se određuje vrijednost neke veličine. Kako bismo što preciznije odredili stvarnu vrijednost te veličine, postupak mjerenja može se provesti više puta. Prije obrade dobivenih podataka treba odbaciti mjerenja koja znatno odstupaju od ostalih izmjerenih vrijednosti i najvjerojatnije su posljedica ljudske greške (takozvana gruba greška ili omaška). Za najbolju procjenu obično uzimamo srednju vrijednost
(ˉx), odnosno aritmetičku sredinu svih preostalih rezultata mjerenja.
Nakon toga se za svaki od
n rezultata mjerenja izračuna apsolutno odstupanje:
Δxi=|xi-ˉx|,i=1...n.
Od svih se apsolutnih odstupanja odabere najveće. Označavamo ga s
△xmax i nazivamo maksimalna apsolutna pogreška.
Maksimalna relativna pogreška označava se s
rmax, a računa se prema formuli
rmax=△xmaxˉx.
Dogovor je da se prvo zaokružuje maksimalna apsolutna pogreška, na prvu značajnu znamenku koja nije 0, te se na temelju toga ispravlja zapis srednje vrijednosti na isti broj decimala (i uzima se u obzir broj značajnih znamenaka ulaznih podataka). Konačan zapis mjerenja nakon pravilnog zaokruživanja zapisuje se s
(ˉx±△x).
Primjer 1.
Skok udalj
Pripremajući se za školsko natjecanje u skoku udalj, učenik je zamolio svoje prijatelje da mu izmjere duljinu skoka. Svatko je od njih šest dobio drukčiji rezultat (u metrima).
Na osnovi izmjerenih podataka procijenite koliko je učenik skočio udalj.
Na početku treba odbaciti mjerenje
x6=2.25m, koje znatno odstupa od ostalih izmjerenih vrijednosti.
Aritmetička sredina preostalih pet rezultata
ˉx=
m.
null
null
Apsolutna odstupanja dobivenih mjerenja u odnosu prema aritmetičkoj sredini su:
|x1-ˉx|=m,
null
null
|x2-ˉx|=m,
null
null
|x3-ˉx|=m,
null
null
|x4-ˉx|=m,
null
null
|x5-ˉx|=m.
null
null
Maksimalna apsolutna pogreška iznosi:
△xmax=m.
null
null
Izračunata se vrijednost tada zapisuje:
(ˉx±△x)m=(±)m.
null
null
Takav je rezultat nužno pravilno zaokružiti – mjerni instrument nije imao preciznost mjeriti na 3. decimalu, zato taj zapis nije točan.
Kako glasi konačan zapis mjerenja?
Između kojih se brojeva nalazi stvarna vrijednost i kolika je maksimalna relativna pogreška?
Konačni zapis mjerenja je
(ˉx±△x)=(3.40±0.20)m, odnosno stvarna se vrijednost mjerenja nalazi između brojeva
3.20m i
3.60m.
Maksimalna je relativna pogreška
rmax=0.23.4·100%=0.0588·100%=5.9%.
Loptica koja pada
Pokus
Za sljedeći su vam pokus potrebni teniska loptica, štoperica, džepno računalo i pribor za pisanje. Radite u tročlanim skupinama na sljedeći način:
Jedan će član puštati lopticu da slobodno pada s visine
h. Drugi će član štopericom mjeriti vrijeme za koje će loptica pasti na tlo, tako da će uključiti štopericu u trenutku puštanja loptice, a isključiti u trenutku kad ona dotakne tlo. Treći će član pregledno zapisivati rezultate mjerenja u za to predviđenu tablicu. Mjerenje vremena potrebno je provesti od 10 do 15puta. Obradite dobivene podatke i napišite u bilježnicu kratak osvrt na rezultate mjerenja, točnost i pogreške pri mjerenju. U svoja razmatranja uključite i odgovore na pitanja:
Koje se pogreške i zašto mogu javiti pri mjerenju?
S kojom preciznošću štoperica mjeri vrijeme?
Kojim ste se matematičkim, a kojim fizikalnim znanjima koristili pri izvođenju pokusa i računanju?
Možete li nakraju, i koliko precizno, odgovoriti na pitanje koliko je dugo loptica padala i s koje je visine puštena?
Prema popisu stanovništva od 2011. godine, Hrvatska je imala 4284889 stanovnika, od kojih je muškaraca bilo 2066355. Udjel stanovništva starijega od
80 godina iznosio je
3,9 posto. Udjel žena u fertilnoj dobi (od
15 do
49 godina) u ukupnom stanovništvu bio je
43,9 posto. Na osnovi danih podataka odredite:
broj stanovnika koji su bili stariji od
80 godina
postotak žena u ukupnom broju stanovnika
broj žena u fertilnoj dobi
koliko posto žena (od njihova ukupnog broja) nije bilo u fertilnoj dobi.
167111
51.8%
1881066
15.2%
Zadatak 9.
Zaokružite brojeve na dani broj značajnih znamenki.
567000000(2)
0.00625(2)
1.092(3)
0.08025(3)
570000000
0.0063
1.09
0.0803
Zadatak 10.
Izračunajte i rezultat zaokružite na dvije decimale.
Pripremajući se za važno natjecanje Marin je morao pažljivo izmjeriti svoju masu. Na vagi piše da mjeri vrijednost mase s točnošću na dekagram uz maksimalnu relativnu pogrešku od 1%. Marin je deset puta izmjerio svoju masu, ali svaki je put dobio drukčiji rezultat. Provjerite točnost vage, to jest je li 1%
dobra procjena točnosti. Kolika je stvarna Marinova masa ako je on izmjerio sljedeće vrijednosti:
Znate li što je glazbena ljestvica? Koliko je tonova u njoj? Ako istodobno odsviramo neka dva tona, hoće li zvučati ugodno ili neugodno?
U ljestvici je osam tonova: C, D, E, F, G, A, H i c.
Visina tona ovisi o duljini žice na kojoj sviramo. Ako skratimo žicu na kojoj sviramo ton C na polovinu njezine duljine, dobit ćemo žicu na kojoj sviramo ton c. Razmak je između tih dvaju tonova osam pa se naziva oktava.
Interval oktave ostvaruje se titranjem žica kojima su duljine u omjeru
2:1. Ton c zovemo oktava na C. Interval kvinte je razmak od pet tonova, a ostvaruje se omjerom
3:2. Razmak od četiriju tonova je interval kvarte koji se ostvaruje omjerom
4:3.
Zadatak 14.
Zamislimo da ton C sviramo na žici duljine 1. Koji je ton kvinta na C, a koji kvarta na C? Kolike su duljine žica na kojima sviramo te tonove?
Kvinta na C je G, kvarta na C je F. Ton G svira se na žici duljine
23, a ton F na žici duljine
34.
Primjer 2.
Odredimo interval F do G.
Treba naći omjer duljina žica na kojima se sviraju tonovi F i G.
3423=98.
Taj se interval naziva cijeli ton.
Podijelimo donju kvartu od C do F cijelim tonovima. Krećući od C odredimo ton D tako da interval među njima bude cijeli ton. Zatim odredimo ton E tako da interval između D i E bude cijeli ton. Isto tako podijelimo gornju kvartu od G do c cijelim tonovima. Dobit ćemo još dva nova tona, A i H.
Uparite elemente.
c
23
E
128243
D
6481
A
1627
C
1
H
89
G
34
F
12
null
null
Pitagora i njegovi sljedbenici pitagorejci govorili su da je sustav reda i ljepote izgrađen na suglasjima oktave, kvinte i kvarte. Zaključili su kako bit oktave, kvinte i kvarte nije žica, nego broj. Oblikovali su zakon malih brojeva: dva tona zvuče ugodno, skladno ako su im omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.
Zadatak 15.
Pronađite tonove čiji su omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.
Planetarij i verižni razlomci
Povezani sadržaji
Izvor: commons.wikimedia.org. Autor: F. Ottens. Licenca: CC CC BY 4.0
Nizozemski matematičar, fizičar i astronom Christiaan Huygens živio je u 17. stoljeću. Za Francusku akademiju znanosti osmislio je Planetarij koji prikazuje gibanja šest planeta oko Sunca i Mjeseca oko Zemlje. Modeli planeta kretali su se s pomoću zupčanika. Huygens je računao omjere vremena ophoda planeta i Zemlje oko Sunca. Za Veneru je dobio omjer64725105190. To je značilo da bi trebalo napraviti zupčanike sa
64725 i
105190 zubaca. To je, naravno, bilo tehnički neizvedivo. Potrebno je bilo pronaći razlomak koji se malo razlikuje od istaknutog, a koji ima manje brojeve u brojniku i nazivniku.
Predložite neke razlomke.
Zadatak 16.
Koristite se džepnim računalom. Zapišite broj
64725105190 zaokružen na jednu, dvije, tri i četiri decimale. Dobili ste četiri decimalna broja. Prikažite ih u obliku potpuno skraćenog razlomka.
0.6=35,0.61=61100 ili
0.62=3150,0.615=123200,0.6153=615310000.
Razlomci koje smo dobili u prethodnom zadatku nisu dobri. Mali nazivnik ima samo prvi razlomak, ali on daje točnost samo na prvu decimalu. Razlomci koji se manje razlikuju od zadanog imaju velike nazivnike. Jeste li pronašli neke bolje? Problem pronalaženja dobrog razlomka može se riješiti s pomoću verižnih razlomaka. Što su to verižni razlomci?
Primjer 3.
Razlomak
371251 zapišimo u drugom obliku. Koristimo se džepnim računalom.
Podijelimo brojnik s nazivnikom. Količnik je 1, a ostatak 120. Možemo pisati
371251=1+120251=1+1251120.
Ponovimo postupak s razlomkom
251120. Količnik je 2, a ostatak 11. Možemo pisati
251120=2+11120.
Tako smo dobili
371251=1+12+11120=1+12+112011.
Zadatak 17.
Nastavite postupak najprije s razlomkom
12011, a zatim i dalje sve dok ne dobijete ostatak 0.
371251=1+12+110+11+110.
U prethodnom ste zadatku odredili verižni razlomak. Taj verižni razlomak zapisujemo i ovako:
[1,2,10,1,10]. Promotrimo brojeve:
Ti se brojevi zovu konvergente verižnog razlomka. Opišite kako su dobivene konvergente verižnog razlomka iz našeg primjera. Konvergente su dobra aproksimacija za razlomak
371251.
Odlučili smo umjesto zadanog razlomka
371251 upotrijebiti konvergentu
C4. Izračunajte apsolutnu pogrešku
|C4-371251|. Zapišite apsolutnu pogrešku kao decimalni broj zaokružen na pet decimala.
0.00017
Zadatak 19.
Razlomak
5815 zapišite u obliku verižnog razlomka.
Povežite postupak pretvaranja razlomka u verižni razlomak i Euklidov algoritam.
Zadatak 21.
Racionalni brojevi mogu imati konačne, ali i beskonačne periodičke decimalne prikaze. Mogu li imati beskonačne verižne razlomke? Ili će postupak pretvaranja uvijek završiti u nekom koraku?
Objasnite.
Prikaz je racionalnoga broja u obliku verižnog razlomka konačan.
Zadatak 22.
Zapišite broj
64725105190 u obliku verižnog razlomka. Izračunajte konvergente. Izračunajte pogrešku za svaku od konvergenti.
Koji biste broj zubaca za Huygensov zupčanik odabrali?
[0,1,1,1,1,2,84,1,3,1,3]
Konvergente su:
0,
11=1,12=0.5,23=0.˙6,35=0.6,
813=0.˙61538˙4,6751097=0.615314494...