1.3 Realni brojevi i brojevni pravac

Pretpostavimo da je $\sqrt{3}$ racionalan. To znači da postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ za koje vrijedi da je

$\sqrt{3}=\frac{m}{n}.$

Odaberimo brojeve $m$ i $n$ tako da je razlomak $\frac{m}{n}$ potpuno skraćen. Kvadriranjem dobivamo

$3n^2=m^2$

iz čega zaključujemo da je broj $m^2$ djeljiv s $3.$ Ako je $m^2$ djeljiv s $3,$ onda je i $m$ djeljiv s $3$ pa zapisujemo

$m=3k,k\in \mathbf{N}.$

Uvrštavanjem dobivamo

$3n^2=(3k{)}^2$

$3n^2=9k^2$

$n^2=3k^2.$

Ponovno možemo zaključiti da je broj $n^2$ djeljiv s $3.$ Ako je $n^2$ djeljiv s $3,$ onda je i $n$ djeljiv s $3.$ Zaključili smo da su $m$ i $n$ djeljivi s $3,$ što znači da razlomak $\frac{m}{n}$ nije skraćen do kraja. To je nemoguće jer razlomak uvijek možemo skratiti do kraja.

Pogrešna je početna pretpostavka da je $\sqrt{3}$ racionalan pa zaključujemo da je iracionalan.

Broj $\sqrt{4}$ jednak je $2$ pa je racionalan. Uz oznake kao u prethodnom zadatku, iz činjenice da je broj $m^2$ djeljiv s $4,$ ne možemo zaključiti da je i $m$ djeljiv s $4.$ Na primjer, $6^2=36$ je djeljiv s $4$ , ali $6$ nije.