Matematika 5 - 4.1 Skupovi točaka u ravnini

Na početku...

Geometrija je jedna od najstarijih matematičkih grana. Potreba za geometrijom javila se, uz ostalo, radi mjerenja zemlje kako bi se odredilo zemljišno vlasništvo, izgradnja kuća i hramova te radi usavršavanja metoda promatranja zvijezda kako bi se poboljšala navigacija itd.

Sama riječ geometrija grčkog je podrijetla i znači mjerenje zemlje, a najstariji zapisi vezani za geometriju potječu iz Egipta.

Geometrija se bavi ravninskim i prostornim odnosima i oblicima.

Točka, ravnina i pravac glavni su pojmovi geometrije prostora i oni se ne definiraju nego samo opisuju.

Zanimljivost

Euklid (330 g. pr. Krista – 275. g. pr. Krista) iz Aleksandrije bio je jedan od najistaknutijih matematičara stare Grčke. Njegovo najpoznatije djelo su Elementi u kojem je prikupio tada poznata znanja o geometriji. Elementi su objavljeni oko 300 g. pr. Krista i bili su osnovni udžbenik geometrije do 18. stoljeća, pa i dijelom 19. stoljeća.

Pročitaj što je Euklid napisao o osnovim pojmovima geometrije.

Točka je ono što nema dijelova.
Crta je duljina bez širine. Krajevi crte su točke.
Dužina je ona crta koja jednako leži prema točkama na njoj. Ploha je ono što ima samo duljinu i širinu.
Krajevi plohe su crte.
Ravnina je ploha koja jednako leži prema dužinama na njoj.

Više o Elementima možeš pročitati na poveznici.

(grč. gea = zemlja, métron = mjera, mjeriti)

Točka i ravnina

Zanimljivost

Jeste li kada čuli za piksel, najmanji element koji izgrađuje digitalnu fotografiju?

piksel (engl. pixel, skraćeno od picture element što znači element slike)

Kao i točku u geometriji, piksel možemo zamisliti kao element bez veličine. Piksel je zapisan kao digitalni podatak na digitalnoj slici.

No, naravno, kad se prikazuje na zaslonu računala (kao i točka koju crtamo na papiru), piksel je najmanji element koji se prikazuje na zaslonu, a koji izgrađuje sliku.

U digitalnoj se fotografiji piksel prikazuje kao kvadrat.

Točka

Točka je glavni pojam u geometriji.

Ističemo je kružićem (katkad ste je u nižim razredima isticali i križićem), a označujemo velikim slovim latinične abecede.

Točka označuje položaj i nema veličinu.

Ravnina

Ravninu zamišljamo i opisujemo kao ravnu neomeđenu plohu. Ona se sastoji od beskonačno mnogo točaka.

Ravnina ima beskonačnu širinu i duljinu, a nema debljinu. Ravninu označujemo velikim pisanim slovom.

List papira, školsku ploču ili, na primjer, zid učionice možemo zamisliti kao ravninu.

Zanimljivost

Matematički znak za beskonačnost je $\infty .$

Ravnina je skup točaka. Ravnina ima beskonačno mnogo elemenata.

Označi istinite tvrdnje.

A \in R

B \in R

C \notin R

D \notin R

E \notin R

null

Pravac

Beskonačna crta

Na prikazanim slikama uočavamo ravne crte koje prolaze i povezuju beskonačno mnogo točaka. Te crte izgledaju kao da se mogu produžiti u beskonačnost u dva suprotna smjera. Takvu crtu nazivamo pravac.

Točkice čine pravac — Od točke do pravca

Pravac

Pravac opisujemo kao ravnu neomeđenu crtu. Sastoji se od beskonačno mnogo točaka.

Ima beskonačnu duljinu, a nema visinu, ni širinu. Označujemo ga malim pisanim slovom ili s pomoću dviju njegovih točaka.

Uoči! Pravac $A B$ i pravac $B A$ su isti pravci.

Označi točke koje pripadaju pravcu sa slike.

A

B

C

D

E

Pomoć:

Ne zaboravi da je pravac ravna neomeđena crta te da ga možeš beskonačno produljivati.

Postupak:

Točke $A,$ $B$ i $D$ pripadaju pravcu $a .$

Označi istinite tvrdnje.

F \in b

G \in b

H \notin b

I \notin b

null

Praktična vježba

S koliko je točaka određen pravac? Drugim riječima, koliko je najmanje točaka potrebno zadati da bismo mogli nacrtati samo jedan pravac koji prolazi tim točkama?

Istraži koristeći se sljedećim apletom.

Jednom točkom ravnine možemo nacrtati beskonačno mnogo pravaca.

Dvjema točkama ravnine možemo nacrtati samo jedan pravac. Kažemo da je pravac jedinstveno određen svojim dvjema različitim točkama.

Pravac određen dvjema točkama — Pravac dvjema točkama

Zanimljivost

Skup svih pravaca ravnine koji prolaze jednom točkom nazivamo pramen pravaca.

Primjer 1.

U ravnini su nacrtane četiri točke $A,$ $B,$ $C$ i $D .$ Nacrtajmo i ispišimo sve pravce određene zadanim točkama.

Nekolinearne točke

Pravac je određen dvjema točkama ravnine.

Četiri nekolinearne točke i pravci određeni njima — Nekolinearne točke i pravci

Zadanim točkama moguće je nacrtati šest pravaca. To su pravci $A B,$ $B C,$ $C D,$ $D A,$ $A C$ i $B D .$

Zadatak 1.

Nacrtaj i ispiši sve pravce određene zadanim točkama. Koliko ih ima?

Crtanje paralelnih (usporednih) i okomitih pravaca

Ponovi postupak crtanja paralelnih (usporednih) pravaca s pomoću dvaju trokuta.

Ponovi postupak crtanja okomitih pravaca.

Primijeti, okomiti pravci sijeku ravninu na četiri jednaka (sukladna) dijela.

Kolekcija zadataka #2

U kojem su položaju prikazani pravci? Odaberi točan odgovor.

okomiti

paralelni

null

U kojem su položaju prikazani pravci? Odaberi točan odgovor.

okomiti

paralelni

null

U kojem su položaju prikazani pravci? Odaberi točan odgovor.

okomiti

paralelni

null

U kojem su položaju prikazani pravci? Odaberi točan odgovor.

okomiti

paralelni

null

Polupravac

Na prikazanim fotografijama uočavamo dijelove pravaca, tj. polupravce.

Istaknemo li točku $T$ na pravcu $p,$ tada će točka $T$ dijeliti pravac $p$ na dva polupravca.

Točka $T$ je početna točka svakog od tih polupravaca.

Ako na prikazanim polupravcima istaknemo još po jednu točku, tada možemo imenovati prikazane polupravce.

Polupravac kojemu je početna točka $T$ i kojemu pripada točka $A$ nazivamo polupravcem $T A,$ a polupravac kojemu je početna točka $T$ i kojemu pripada točka $B$ nazivamo polupravac $T B .$

Za pravce $T A$ i $T B$ kažemo da su suprotni polupravci istoga pravca.

Polupravce možemo označiti malim pisanim slovom.

Pripada li početna točka polupravca tome polupravcu?

Da

Ne

null

Postupak:

Početna polupravca pripada polupravcu.
Na pravcu p istaknute su točke $C,$ $D$ i $E .$ Je li polupravac $C E$ podskup pravca $p,$ tj. vrijedi li $C E \subset p ?$

Da

Ne

null

Postupak:

Sve točke polupravca $C E$ pripadaju pravcu $p,$ stoga vrijedi da je polupravac $C E \subset p .$
Označi slike na kojima se sijeku prikazani polupravci?

Pomoć:

Ne zaboravi da je polupravac s jedne strane neomeđen!

pravci koji se sijeku	imaju točno jednu zajedničku točku
pravci koji se podudaraju	nemaju nijednu zajedničku točku
paralelni (usporedni) pravci	imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka

4.1 Skupovi točaka u ravnini

Na početku...

Zanimljivost

Točka i ravnina

Zanimljivost

Točka

Ravnina

Zanimljivost

Pravac

Pravac

Praktična vježba

Zanimljivost

Primjer 1.

Zadatak 1.

Međusobni položaji dvaju pravaca u ravnini

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #1

Crtanje paralelnih (usporednih) i okomitih pravaca

Kolekcija zadataka #2

Polupravac

...i na kraju

$a ∥ b$
$a ⊥ b$
$a \equiv b$