U animaciji su prikazani brojevi u zapisu koji se naziva decimalni. Više o tom zapisu te kako prelaziti iz decimalnog zapisa u razlomački naučit ćeš u ovoj jedinici.
Naš brojevni sustav naziva se dekadski brojevni sustav jer mu je baza broj deset.
Dekadski ili decimalni razlomak je razlomak kojemu je u nazivniku dekadska jedinica. Primjeri decimalnih razlomaka uključuju brojeve
710,
27100,
1111000 itd.
Svaki decimalni/dekadski razlomak može se napisati na jednostavniji način – kao decimalni broj.
Decimalni broj sastoji se od dvaju dijelova, cijelog i decimalnog, međusobno odvojenih decimalnom točkom.
Prvu znamenku desno od decimalne točke zovemo desetinka, drugu stotinka, treću tisućinka i tako redom. Te znamenke jednim imenom nazivamo decimale.
Dekadski razlomci javljaju se u djelima matematičara u periodu od 14. do 16. stoljeća. Neki od njih ističu da se do dekadskih razlomaka može doći "tako da se jedinica podijeli na deset jednakih dijelova, a onda se svaki taj dio dalje dijeli na deset jednakih dijelova itd.”.
Iz ovoga perioda treba istaknuti nizozemskog matematičara i inženjera Simona Stevina koji je u djelu Desetka (1585.) uveo dekadske razlomke i izložio koliko su oni u primjenama praktičniji od drugih razlomaka. Ovaj rad predstavljao je temelje za ujednačavanje sustava mjera na dekadskoj osnovi.
Približno 150 godina prije ove Stevinove knjige arapski matematičar al-Kashi u djelu Ključ aritmetike izložio je učenje o decimalnim brojevima. Ova knjiga dugo je bila nepoznata u Europi te Stevin vjerojatno nije mogao znati za nju.
Uoči, pri nazivu mjesnih jedinica desno od decimalne točke dodajemo nastavak ''-inka''
Istražimo
Prouči kako se čitaju decimalni brojevi.
a) 3.8 čita se tri cijela i osam desetinki
b) 0.31 čita se nula cijelih i trideset jedna stotinka
c) 1.234 čita se jedno cijelo dvjesto trideset četiri tisućinke
d) 0.07 čita se nula cijelih sedam stotinki
e) 2.0001 čita se dva cijela jedna desettisućinka
Istražimo
Promotri tablicu.
Razlomački zapis 710 1710 34510 7100 11100 121100 31000 271000 1234510000 Decimalni broj 0.7 1.7 34.5 0.07 0.11 1.21 0.003 0.027 1.2345 Primjećuješ li pravilnost? Koliko decimala ima decimalni zapis razlomka kojemu je nazivnik broj 10? Koliko decimala ima decimalni zapis razlomka kojemu je nazivnik 100? A 1 000? A 10 000?
Pri uočavanju pravilnosti pomoći će ti i sljedeći aplet.
Decimalni (dekadski) razlomak u svom decimalnom zapisu ima onoliko decimala koliko nazivnik tog razlomka ima znamenaka 0.
Poveži decimalni razlomak s njemu odgovarajućim decimalnim brojem.
1710
|
0.0017 |
17100
|
0.017 |
171 000
|
1.7 |
1710 000
|
0.17 |
Dopuni.
Primjer 1.
Zapišimo u obliku razlomka:
a) 1.2
b) 7.239
c) 103.4.
a)
1.2=1210
b)
7.239=72391000
c)
103.4=103410
Decimalni broj pišemo u obliku decimalnog razlomka tako da u brojnik napišemo broj bez decimalne točke, a u nazivnik dekadsku jedinicu s onoliko nula koliko početni broj ima decimala.
Primjer 2.
Dopunimo decimalnim brojem.
a) 54 mm je koliko cm
b) 1 234 lp je koliko knc) 56 cm2 je koliko dm2d) 43 g je koliko kg
a) 54 mm=5 cm 4 mm=5410 cm=5.4 cm
b) 1 234 lp=12 kn 34 lp=1234100 kn=12.34 kn
c)
56 cm2=0.56 dm2
d)
43 g=0.043 kg
Dopuni.
U mreži od
100 kvadratića prikazan je crtež božićnog drvca. Iskaži udio svake boje razlomkom i decimalnim brojem.
Svaki kvadratić predstavlja
1100, tj.
0.01 mreže.
Zelenom bojom obojeno je
28100, tj.
0.28 mreže.
Crvenom bojom obojeno je 5100, tj. 0.05 mreže.
Žutom bojom obojena je
1100, tj.
0.01 mreže.
Smeđom bojom obojena je
1100, tj.
0.01 mreže.
U prethodnom zadatku udio kvadratića obojenih pojedinom bojom iskazivali smo razlomkom s nazivnikom
100 i decimalnim brojem. Svaki razlomak s nazivnikom
100 može se zapisati u obliku postotka.
Umjesto zelenom bojom obojeno je 28100, tj. 0.28 mreže, možemo reći zelenom bojom obojeno je 28 % mreže (čitamo 28 posto).
Postotak
Postotak je razlomak s nazivnikom 100. Oznaka za postotak je %. Oznaka % čita se posto.
1 %=1100
Primjer 3.
Postotak je razlomak s nazivnikom 100 te možemo pisati:
3 %=3100=0.03
15 %=15100=0.15
100 %=100100=1
150 %=150100=1.5
Istražimo
Pretvaranja iz jednog zapisa u drugi možeš dodatno proučiti pomoću sljedećeg apleta.
Primjer 4.
Cijena jakne prije sniženja iznosila je 400 kn. Jakna se prodaje na sniženju od 30 %. Za koliko je kuna snižena cijena jakne?
Potrebno je izračunati
30 % od
400. U razlomačkom zapisu
30 %=30100.
30100 od 400 iznosi (400:100)·30=4·30=120.
Cijena jakne snižena je za
120 kn.
Postupak:
Cijenu od
200kn treba uvećati za PDV, tj.
25% od
200kn.
Riječ promil dolazi iz latinskog pro mille što znači kroz tisuću, na tisuću. Hrvatski naziv za promil glasi potisućak.
Promil
Promil je razlomak s nazivnikom 1 000. Oznaka za promil je ‰.
1 ‰=11 000
Primjer 5.
Promil je razlomak s nazivnikom 1 000 te možemo pisati:
7 ‰=71 000=0.007
43 ‰=431 000=0.043
100 ‰=1001 000=0.1.
Poveži tri odgovarajuće kartice.
Primjer 6.
Petar zna da razlomci predstavljaju računsku operaciju dijeljenja.
Koristeći se računalom, pretvorio je razlomak 13 u njemu odgovarajući decimalni zapis.
Dijeljenjem broja 1 s brojem 3 na zaslonu računala ispisalo se 0.33333333333...
Petar zna da tri točke na kraju broja znače da će se decimala 3 nastaviti ponavljati u beskonačnost, no pita se kako zapisati takav broj. Znaš li ti?
Broj
0.33333333333... primjer je beskonačnog decimalnog zapisa. S obzirom na to da se znamenka
3 ponavlja, broj kraće možemo zapisati
0.33333333333...=0.ˉ3=0.˙3.
Ako se u beskonačnom decimalnom zapisu ponavlja jedna znamenka, iznad nje crtamo točkicu ili crticu. Ako se ponavlja više znamenaka, crtamo točkicu iznad prve i iznad zadnje znamenke koja se ponavlja ili crticu iznad svih znamenaka koje se ponavljaju.
Broj u svom decimalnom zapisu može biti beskonačan. Ako se znamenke toga broja periodički ponavljaju, taj se broj naziva beskonačni periodički decimalni broj.
Postoje brojevi kojima se u njihovu decimalnom zapisu znamenke nikada neće periodički ponavljati. Primjer takvog broja je
0.123456789101112131415...
Koristeći se računalom, odredi decimalni zapis sljedećih razlomaka.
a)
19
b)
27
c)
16
d)
3599
a)
19=0.11111...=0.ˉ1=0.˙1
b)
27=0.285714285714285...=0.¯285714=0.˙28571˙4
c)
16=0.16666666...=0.1ˉ6=0.1˙6
d) 3599=0.3535353535...=0.¯35=0.˙3˙5
Poveži odgovarajuće zapise.
0.8333333...
|
0.¯83 |
0.8038038038...
|
0.8ˉ3 |
0.8383838...
|
0.¯803 |
0.803030303...
|
0.8¯03 |
Za kraj, uvježbaj pretvaranje iz jednog od zadanog zapisa broja (razlomak, decimalni broj ili postotak) u preostala dva zapisa.