Processing math: 100%
x
Učitavanje

5.4 Zapis decimalnim brojem i razlomkom

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

Na početku...

00:00
00:00

U animaciji su prikazani brojevi u zapisu koji se naziva decimalni. Više o tom zapisu te kako prelaziti iz decimalnog zapisa u razlomački naučit ćeš u ovoj jedinici.

Zanimljivost

Naš brojevni sustav naziva se dekadski brojevni sustav jer mu je baza broj deset.

Dekadski ili decimalni razlomak je razlomak kojemu je u nazivniku dekadska jedinica. Primjeri decimalnih razlomaka uključuju brojeve 710, 27100, 1111000 itd.

Svaki decimalni/dekadski razlomak može se napisati na jednostavniji način – kao decimalni broj.

Decimalni broj sastoji se od dvaju dijelova, cijelog i decimalnog, međusobno odvojenih decimalnom točkom.

Prvu znamenku desno od decimalne točke zovemo desetinka, drugu stotinka, treću tisućinka i tako redom. Te znamenke jednim imenom nazivamo decimale.

Zanimljivost

Dekadski razlomci javljaju se u djelima matematičara u periodu od 14. do 16. stoljeća. Neki od njih ističu da se do dekadskih razlomaka može doći "tako da se jedinica podijeli na deset jednakih dijelova, a onda se svaki taj dio dalje dijeli na deset jednakih dijelova itd.”.

Iz ovoga perioda treba istaknuti nizozemskog matematičara i inženjera Simona Stevina koji je u djelu Desetka (1585.) uveo dekadske razlomke i izložio koliko su oni u primjenama praktičniji od drugih razlomaka. Ovaj rad predstavljao je temelje za ujednačavanje sustava mjera na dekadskoj osnovi.

Približno 150 godina prije ove Stevinove knjige arapski matematičar al-Kashi u djelu Ključ aritmetike izložio je učenje o decimalnim brojevima. Ova knjiga dugo je bila nepoznata u Europi te Stevin vjerojatno nije mogao znati za nju.

Uoči, pri nazivu mjesnih jedinica desno od decimalne točke dodajemo nastavak ''-inka''

Tablica mjesnih vrijednosti
Tablica mjesnih vrijednosti. Prva red tablice podijeljne je na dekadska mjesta i na decimale. Dekadska mjesta podijeljena su na mjesne vrijednosti broja (stotisućice, desettisućice, tisućice, stotice, desetice i jedinice). Ispod tih vrijednosti nalaze se brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Prvi red (dekadska mjesta i decimale) odvodjen je stupcem decimalna točka. Decimale su podijeljene na desetinke, stotinke, tisućinke, desettisućinke i stotisućinke. Ispod tih stupaca su brojevi 7, 8, 9, 1 i 2 koji su oznaćeni kao decimale.

Čitanje decimalnih brojeva

Istražimo

Prouči kako se čitaju decimalni brojevi.

a) 3.8 čita se tri cijela i osam desetinki

b) 0.31 čita se nula cijelih i trideset jedna stotinka

c) 1.234 čita se jedno cijelo dvjesto trideset četiri tisućinke

d) 0.07 čita se nula cijelih sedam stotinki

e) 2.0001 čita se dva cijela jedna desettisućinka

Razlomački i decimalni zapis broja

Istražimo

Promotri tablicu.

Razlomački zapis 710 1710 34510 7100 11100 121100 31000 271000 1234510000
Decimalni broj 0.7 1.7 34.5 0.07 0.11 1.21 0.003 0.027 1.2345

Primjećuješ li pravilnost? Koliko decimala ima decimalni zapis razlomka kojemu je nazivnik broj 10? Koliko decimala ima decimalni zapis razlomka kojemu je nazivnik 100? A 1 000? A 10 000?

Pri uočavanju pravilnosti pomoći će ti i sljedeći aplet.

Decimalni (dekadski) razlomak u svom decimalnom zapisu ima onoliko decimala koliko nazivnik tog razlomka ima znamenaka  0.

Zadatak 1.

Poveži decimalni razlomak s njemu odgovarajućim decimalnim brojem.

1710
0.0017
17100
0.017
171 000
1.7
1710 000
0.17
null
null

Zadatak 2.

Dopuni.

  1. 1 234100=
  2. 1 23410=
  3. 1 23410 000=
  4. 1 2341 000=
null
null

Primjer 1.

Zapišimo u obliku razlomka:

a) 1.2

b) 7.239

c) 103.4.

a) 1.2=1210

b) 7.239=72391000

c) 103.4=103410


Decimalni broj pišemo u obliku decimalnog razlomka tako da u brojnik napišemo broj bez decimalne točke, a u nazivnik dekadsku jedinicu s onoliko nula koliko početni broj ima decimala.

Primjer 2.

Dopunimo decimalnim brojem.

a) 54 mm je koliko cm
b) 1 234 lp je koliko kn 
c) 56 cm2 je koliko dm2 
d) 43 g je koliko kg 

a) 54 mm=5 cm 4 mm=5410 cm=5.4 cm 

b) 1 234 lp=12 kn 34 lp=1234100 kn=12.34 kn 

c) 56 cm2=0.56 dm2 

d) 43 g=0.043 kg 


Zadatak 3.

Dopuni.

  1. 3 dm=
    m
  2. 12 cm=
    m
  3. 117 cm=
    m
  4. 39 mm=
    m
null
null

Postotci i promili

Božićno drvce u mreži kvadratića
Božićno drvce u mreži kvadratića

Zadatak 4.

U mreži od 100 kvadratića prikazan je crtež božićnog drvca. Iskaži udio svake boje razlomkom i decimalnim brojem.

Svaki kvadratić predstavlja 1100, tj. 0.01 mreže.

Zelenom bojom obojeno je 28100, tj. 0.28 mreže.

Crvenom bojom obojeno je 5100, tj. 0.05 mreže.

Žutom bojom obojena je 1100, tj. 0.01 mreže.

Smeđom bojom obojena je 1100, tj. 0.01 mreže.


U prethodnom zadatku udio kvadratića obojenih pojedinom bojom iskazivali smo razlomkom s nazivnikom 100 i decimalnim brojem. Svaki razlomak s nazivnikom 100 može se zapisati u obliku postotka.

Umjesto zelenom bojom obojeno je 28100, tj. 0.28 mreže, možemo reći zelenom bojom obojeno je 28 % mreže (čitamo 28 posto).

Postotak

Postotak je razlomak s nazivnikom 100. Oznaka za postotak je %. Oznaka % čita se posto.

%=1100

Primjer 3.

Postotak je razlomak s nazivnikom 100 te možemo pisati:

%=3100=0.03

15 %=15100=0.15

100 %=100100=1

150 %=150100=1.5

Istražimo

Pretvaranja iz jednog zapisa u drugi možeš dodatno proučiti pomoću sljedećeg apleta.

Primjer 4.

Cijena jakne prije sniženja iznosila je 400 kn. Jakna se prodaje na sniženju od 30 %. Za koliko je kuna snižena cijena jakne?

Potrebno je izračunati 30 % od 400. U razlomačkom zapisu 30 %=30100.

30100 od 400 iznosi (400:100)·30=4·30=120.

Cijena jakne snižena je za 120 kn.


Cijena šestara za ploču iznosi 200kn. Na tu cijenu obračunava se PDV (porez na dodanu vrijednost) u iznosu od 25 % cijene. Ukupna cijena koju treba platiti za šestar iznosi
kn.
null

Postupak:

Cijenu od 200kn treba uvećati za PDV, tj. 25% od 200kn.

Zanimljivost

Riječ promil dolazi iz latinskog pro mille što znači kroz tisuću, na tisuću. Hrvatski naziv za promil glasi potisućak.

Promil

Promil je razlomak s nazivnikom 1 000. Oznaka za promil je  .

=11 000

Primjer 5.

Promil je razlomak s nazivnikom 1 000 te možemo pisati:

=71 000=0.007

43 =431 000=0.043

100 =1001 000=0.1.

Zadatak 5.

Poveži tri odgovarajuće kartice.

Beskonačni decimalni zapis

Primjer 6.

Petar zna da razlomci predstavljaju računsku operaciju dijeljenja.

Koristeći se računalom, pretvorio je razlomak 13 u njemu odgovarajući decimalni zapis.

Dijeljenjem broja 1 s brojem 3 na zaslonu računala ispisalo se 0.33333333333... 

Petar zna da tri točke na kraju broja znače da će se decimala 3 nastaviti ponavljati u beskonačnost, no pita se kako zapisati takav broj. Znaš li ti?

Broj 0.33333333333... primjer je beskonačnog decimalnog zapisa. S obzirom na to da se znamenka 3 ponavlja, broj kraće možemo zapisati 0.33333333333...=0.ˉ3=0.˙3.


Ako se u beskonačnom decimalnom zapisu ponavlja jedna znamenka, iznad nje crtamo točkicu ili crticu. Ako se ponavlja više znamenaka, crtamo točkicu iznad prve i iznad zadnje znamenke koja se ponavlja ili crticu iznad svih znamenaka koje se ponavljaju.

Zanimljivost

Broj u svom decimalnom zapisu može biti beskonačan. Ako se znamenke toga broja periodički ponavljaju, taj se broj naziva beskonačni periodički decimalni broj.

Postoje brojevi kojima se u njihovu decimalnom zapisu znamenke nikada neće periodički ponavljati. Primjer takvog broja je 0.123456789101112131415...

Zadatak 6.

Koristeći se računalom, odredi decimalni zapis sljedećih razlomaka.

a) 19

b) 27

c) 16

d) 3599

a) 19=0.11111...=0.ˉ1=0.˙1

b) 27=0.285714285714285...=0.¯285714=0.˙28571˙4

c) 16=0.16666666...=0.1ˉ6=0.1˙6

d) 3599=0.3535353535...=0.¯35=0.˙3˙5


Zadatak 7.

Poveži odgovarajuće zapise.

0.8333333...
0.¯83
0.8038038038...
0.8ˉ3
0.8383838...
0.¯803
0.803030303...
0.8¯03
null
null

...i na kraju

Za kraj, uvježbaj pretvaranje iz jednog od zadanog zapisa broja (razlomak, decimalni broj ili postotak) u preostala dva zapisa.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh