Na početku...

Mato želi zamijeniti staru i dotrajalu ogradu novom. Duljina zemljišta u obliku pravokutnika koje treba ograditi iznosi $8$ $8$ metara, a širina $4$ metra. Kolika će biti ukupna duljina ograde?

Ukupna duljina ograde jednaka je zbroju duljina svih stranica Matina zemljišta koje je u obliku pravokutnika.

$8 + 4 + 8 + 4 = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24 m$

Ukupna duljina ograde iznost će $24$ metra.

Drvene pločice. Na prvoj, koja ima oblik kvadrata, piše — Drvene pločice

Zadatak 1.

Oko rubova drvenih pločica sa slike Nikolina želi zalijepiti ukrasno uže? Kolika joj je duljina užeta potrebna za svaki od likova?

Duljina vrpce koja joj je potrebna za kvadrat iznosi $12 + 12 + 12 + 12 = 4 \cdot 12 = 48 cm .$

Duljina vrpce koja joj je potrebna za jednakokračan trokut sa slike iznosi $8.5 + 8.5 + 8.5 = 3 \cdot 8.5 = 25.5 cm .$

Duljina vrpce koja joj je potrebna za pravokutnik iznosi $\begin{array}{l} 4.6 + 7.4 + 4.6 + 7.4 = 2 \cdot (4.6 + 7.4) = 2 \cdot 12 = 24 cm \end{array} .$

Zadatak 2.

Robert želi letvicom uokviriti sliku u obliku pravokutnika. Koliko najmanje letvice mu je za to potrebno ako je duljina slike $85.4 cm,$ a širina $65.8 cm ?$

$\begin{array}{l} 85.4 + 65.8 + 85.4 + 65.8 = 2 \cdot (85.4 + 65.8) = 2 \cdot 151.2 = 302.4 cm \end{array}$

Potrebno je najmanje $302.4 cm$ letvice.

Ponekad u životu trebamo znati npr. duljinu ograde kojom želimo ograditi neko zemljište ili vrt ili duljinu vrpce kojom bismo nešto obrubili ili uokvirili. Tada kažemo da trebamo odrediti opseg geometrijskog lika.

Opseg geometrijskog lika

Opseg je zbroj duljina stranica geometrijskog lika.

Primjer 1.

Napiši formulu za opseg svakog od prikazanih likova uz oznake na slici.

Kao pomoć može ti poslužiti animacija koja slijedi.

Trokut, kvadrat, pravokutnik

00:00

Opseg jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $a$ je $o = a + a + a = 3 \cdot a .$

Opseg kvadrata sa stranicom duljine $b$ je $o = b + b + b + b = 4 \cdot b .$

Opseg pravokutnika sa stranicama duljine $c$ i $d$ je $o = c + d + c + d = 2 \cdot c + 2 \cdot d = 2 \cdot (c + d) .$

Jednakokračan (stranice a i b) i raznostraničan trokut (stranice c, d i f) — Jednakokračan i raznostraničan trokut

Zadatak 3.

Napiši formulu za opseg jednakokračnog i raznostraničnog trokuta sa slike.

Kao pomoć ti može poslužiti animacija koja slijedi.

00:00

Opseg jednakokračnog trokuta sa slike je $o = a + b + b = a + 2 \cdot b .$

Opseg raznostraničnog trokuta sa slike je $o = c + d + f .$

Primjer 2.

Izračunaj opseg pravokutnika sa stranicama duljine $a = 5.6 cm$ i $b = 67 mm .$

Pravokutnik 5.6 cm · 67 mm — Pravokutnik sa stranicama duljine 5.6 cm i 67 mm

Pravokutnik je četverokut koji ima dvije i dvije nasuprotne stranice jednake duljine. Zato se opseg pravokutnika sa stranicama $a$ i $b$ može izračunati s pomoću formule $o = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b) .$

$a = 5.6 cm$

$b = 67 mm = 6.7 cm$

Dakle, $o = 2 \cdot (5.6 + 6.7) = 2 \cdot 12.3 = 24.6 cm .$

Opseg pravokutnika je $24.6 cm .$

Kolekcija zadataka #1

Dopuni riječima.

Opseg geometrijskog lika jednak je

njegovih

stranica.

null

Poveži lik i odgovarajuću formulu za opseg.

četverokut sa stranicama $a,$ $b,$ $c$ i $d$	$o = 2 \cdot a + 2 \cdot b$
pravokutnik sa stranicama $a$ i $b$	$o = a + 2 \cdot b$
kvadrat sa stranicom duljine $a$	$o = 4 \cdot a$
jednakostraničan trokut sa stranicom duljine $a$	$o = 3 \cdot a$
jednakokračan trokut kojemu je osnovica označena slovom $a,$ a krak slovom $b$	$o = a + b + c + d$

null

Izračunaj opseg kvadrata sa stranicom duljine $4.3 cm .$

Opseg tog kvadrata iznosi

$cm .$

null

Izračunaj opseg pravokutnika sa stranicom $a = 3.4 cm$ i $b = 123 mm .$

Opseg tog pravokutnika iznosi

$mm .$

null

Izračunaj opseg raznostraničnog trokuta s duljinama stranica $a = 115 cm,$ $b = 1.2 m,$ $c = 14 dm .$

Opseg tog trokuta iznosi

$m .$

null

Izračunaj opseg jednakokračnog trokuta ako je duljina osnovice $a = 3.4 m,$ a kraka $b = 23 dm .$

Opseg tog trokuta je

$m .$

null

Određivanje duljine nepoznate stranice lika

Primjer 3.

Opseg jednakostraničnog trokuta iznosi $17.7 cm .$ Kolika je duljina jedne njegove stranice?

jednakostranični trokut sa stranicom duljine a — Jednakostranični trokut sa stranicom duljine a

Jednakostraničan trokut ima tri stranice jednakih duljina. Zato je opseg tri puta veći od duljine stranice tog trokuta, tj. možemo reći da se opseg jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $a$ računa s pomoću formule $o = 3 \cdot a .$

Iz toga slijedi da je duljina stranice tog trokuta $a = 17.7 : 3 = 5.9 cm .$

Zadatak 4.

Opseg pravokutnika iznosi $15.6 cm .$ Ako je duljina stranice tog pravokutnika $a = 3.4 cm,$ kolika je duljina širine tog pravokutnika.

Pravokutnik sa stranicom a duljine 3.4 cm i opsegom 15.6 cm — Pravokutnik sa stranicom duljine 3.4 cm i opsegom 15.6 cm

Nazovimo nepoznatu stranicu tog pravokutnika slovom $b$ . Tada je $o = 2 \cdot a + 2 \cdot b .$

Uvrštavanjem zadanih podataka u formulu za opseg dobit ćemo:

$15.6 = 2 \cdot 3.4 + 2 \cdot b .$

Sređivanjem jednadžbe dobit ćemo:

$15.6 = 6.8 + 2 \cdot b .$

Vezom između zbrajanja i oduzimanja vidimo da je:

$2 \cdot b = 15.6 - 6.8,$

tj. $2 \cdot b = 8.8 .$

Tada je $b = 8.8 : 2 = 4.4 cm .$

Duljina širine tog pravokutnika iznosi $4.4 cm .$

Kolekcija zadataka #2

Opseg raznostraničnog trokuta iznosi $35.4 cm .$ Duljina dviju njegovih stranica su $10.5 cm$ i $8.7 cm .$ Kolika je duljina treće njegove stranice?

Duljina treće njegove stranice iznosi

$cm .$

null

Opseg kvadrata iznosi $252 mm .$ Kolika je duljina jedne njegove stranice?

Duljina stranice tog kvadrata iznosi

$mm .$

null

Opseg jednakokračnog trokuta s krakom duljine $5.4 cm$ iznosi $14.5 cm .$ Kolika je duljina osnovice tog trokuta?

Duljina osnovice tog trokuta iznosi

$cm .$

null

Duljina osnovice jednakokračnog trokuta iznosi $88 m .$ Opseg tog trokuta je $200 m .$ Kolika je duljina kraka tog trokuta?

Duljina kraka tog trokuta iznosi

$mm .$

null

Opseg pravokutnika iznosi $19.2 cm,$ a njegova širina je $3.4 cm .$ Kolika je duljina tog pravokutnika?

Duljina tog pravokutnika je

$cm .$

null

Opseg pravokutnika iznosi $346 cm,$ a njegova duljina je $95 cm .$ Kolika je širina tog pravokutnika?

Širina tog pravokutnika iznosi

$cm .$

null

Kutak za znatiželjne

Slike zadatka 1 i 2
Zadatak 1 ima plavi lik koji je dugačak 33 cm i sastavljen je od 3 manja dijela i svaki od njih je dugaka 13 cm.
Zadatak 2 ima žuti lik koji je nepravilnog oblika. Stranica a nalazi se sa desne strane lika, stranica b nalazi se sa donje strane lika. Dvije stranice c nalaze se na gornjem dijelu lika i jednake su duljine. — Slike zadatka 1 i 2

Zanimljivost

U prvom zadatku odredi opseg jednog malog plavog pravokutnika. U drugom zadatku iskaži simoblima opseg žutog lika. Originalni zadatak možeš pronaći na sljedećoj poveznici (na engleskom jeziku).

Primjer 4.

Opseg pravokutnika kojemu je duljina četiri puta veća od širine iznosi $53 cm .$ Kolike su dimenzije tog pravokutnika?

Pravokutnik sa stranicama duljine 4b i b te opsegom 53 cm — Pravokutnik sa stranicom a 4 puta duljom od stranice b i opsegom 53 cm

Opseg ovog pravokutnika uz oznake sa slike je $o = 4 \cdot b + b + 4 \cdot b + b = 10 b .$ Iz toga slijedi da je

$10 \cdot b = 53.$

Dakle, $b = 53 : 10 = 5.3 cm .$

Duljina stranice $a$ iznosi $a = 4 \cdot 5.3 = 21.2 cm .$

Zadatak 5.

Ako se duljine svih stranica kvadrata utrostruče, što će se dogoditi s njegovim opsegom?

kvadrat sa stranicom duljine a i kvadrat sa stranicom duljine 3a — Kvadrat sa stranicom duljine a i kvadrat sa stranicom duljine 3a

Kvadrat sa stranicom duljine $a$ ima opseg $o = 4 \cdot a .$

Ako se sve stranice utrostruče, novi će kvadrat imati stranice duljine $3 \cdot a$ te opseg $o_{1} = 4 \cdot 3 a = 12 \cdot a .$

Usporedimo li ta dva opsega, možemo vidjeti da je opseg novog kvadrata $12 : 4 = 3$ puta veći od opsega početnog kvadrata.

Dakle, ako se utrostruče duljine svih stranica kvadrata, utrostručit će se i njegov opseg.

Zadatak 6.

Duljina kraka nekoga jednakokračnog trokuta je $1.5$ puta manja od duljine njegove osnovice. Opseg tog trokuta iznosi $18.9 cm .$ Kolike su duljine stranica tog trokuta?

jednakokračni trokut sa stranicama duljine b, a=1.5xb, b — Jednakokračni trokut sa stranicama duljine b, 1.5b, b

Opseg jednakokračnog trokuta uz oznake na slici je $o = 1.5 \cdot b + b + b = 3.5 \cdot b .$

Dakle, $\begin{array}{l} 3.5 \cdot b = 18.9 \\ b = 18.9 : 3.5 \\ b = 5.4 cm \end{array}$ te

$\begin{array}{l} a = 1.5 \cdot 5.4 \\ a = 8.1 cm . \end{array}$

Duljina kraka tog trokuta je $5.4 cm,$ a osnovice $8.1 cm .$

...i na kraju

Za kraj istraži koliko pravokutnika, s cjelobrojnim duljinama stranica u centimetrima, možeš nacrtati ako je opseg pravokutnika $48 cm .$ Što će se dogoditi s brojem rješenja ako izostavimo uvjet da duljine stranica moraju biti cjelobrojne? Objasni svoj odgovor.

Opseg pravokutnika uvježbaj na sljedećem apletu.

Procijenite svoje znanje

Formula za opseg zadanog pravokutnika uz oznake sa slike je $o = 2 \cdot (x + y) .$

null

Označi formulu za opseg jednakokračnog trokuta s krakovima duljine $a$ i osnovicom duljine $b .$

$o = b + 2 \cdot a$

$o = a + 2 \cdot b$

$o = 3 \cdot a$

$o = a + b + c$

null

Spoji odgovarajuće parove.

$345 dm =$	$34 500 mm$
$3.45 m =$	$345 cm$
$34.5 mm =$	$0.345 km$
$345 m =$	$0.0345 m$

null

Odaberi broj koji tvrdnju čini točnom.

$3 \min =$
$3 h =$
$2 dana =$
$7 200 s =$
$1.2 h =$

null

Dopuni rečenicu odgovarajućom riječi.

Jedan hektolitar ima
litara.
Jedna litra ima
mililitara.
Jedan decilitar ima
mililitara.
Jedna litra ima
decilitara.

null

Spoji odgovarajuće parove.

$0.3 dag =$	$30 g$
$3 t =$	$30 dag$
$3 kg =$	$3 000 kg$
$0.3 kg =$	$3 000 g$

null

Opseg pravokutnika duljine

$12.7 cm$ i širine

$2.4 dm$ iznosi

$dm .$

null

Duljina stranice kvadrata kojemu je opseg

$21.72 m$ iznosi

$m .$

null

Duljina osnovice jednakokračnog trokuta opsega

$20.7 cm$ i duljine kraka

$7.3 cm$ iznosi

$cm .$

null

Opseg jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine

$26.7 cm$ iznosi

$cm .$

null

7.2 Opseg kvadrata, pravokutnika i trokuta

Na početku...

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Opseg geometrijskog lika

Primjer 1.

Zadatak 3.

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #1

Određivanje duljine nepoznate stranice lika

Primjer 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #2

Kutak za znatiželjne

Zanimljivost

Primjer 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: