Antoniju je omiljeni hobi snimanje i fotografiranje te postavljanje svojih materijala na internet. Tako je postavio još jedan video svog psa Ronija na Youtube. Veza ukupnog broja pogleda videa, P i broja dana, d, od postavljanja na internet modelirana je funkcijom P(d)=41.25d. Možete li zaključiti kad je Antonio vidio da je broj pogleda njegovog videa porastao na 1024? Koliko je pogleda bilo nakon dva dana?
Pokušajmo najprije odgovoriti na drugo pitanje. Uvrstimo
d=2 u modeliranu funkciju broja pogleda i dobijemo
P(2)=41.25·2=42.5=452=√45=(√4)5=25=32.
Za ovaj dio zadatka bilo je dovoljno poznavanje računa s potencijama.
Dakle, nakon
2 dana Antonijev video je pogledan
32 puta.
Sada uvrstimo za
P=1024. Dobijemo jednadžbu s jednom nepoznanicom
1024=41.25d. Nepoznanica nam je u eksponentu. Kako riješiti takvu jednadžbu?
Je li to jedini oblik eksponencijalne jednadžbe?
Jednadžbu u kojoj je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalna jednadžba.
Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.
Ponovimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.
Povežite točne tvrdnje za pripadajuće oznake jednakosti
y=ax.
a∈
|
R |
y∈
|
R+\{1} |
x∈
|
R+ |
Što je ekvivalent jednakosti y=ax?
Ako je
f(x)=ax eksponencijalna funkcija, njezina inverzna funkcija je
Za funkcije
f(x)=axig(x)=logax povežite istinite tvrdnje.
alogax=
|
0 |
logaax=
|
x,x∈R+ |
logaa=
|
1 |
loga1=
|
x,x∈R |
Riješimo zadatak do kraja.
Eksponencijalni oblik 1024=41.25d zapišimo u logaritamskom obliku 1.25d=log41024/:1.25⇒d=log4451.25=51.25=4.
Video je pogledan 1024 puta u 4 dana.
Jednadžbu smo riješili primjenom inverznosti.
Primjer 1.
Riješimo jednadžbe:
- 10x-2=5
- 5·23t=320
- 4·3y=20
U ovom zadatku je baza a=10. Prikažimo jednadžbu pripadajućim inverzom, dekadskim logaritmom i s pomoću džepnog računala izračunajmo x.
x-2=log5⇒x=log5+2≈2.7
Da bismo ovaj zadatak sveli na poznati eksponencijalni oblik ax=y⇒logay=x (čijim logaritmiranjem dobijemo nepoznanicu iz eksponenta), moramo jednadžbu podijeliti s 5.
23t=3205=64⇒3t=log264=log226=6·log22=6/:3⇒t=2
Koja pravila logaritma smo ovdje primijenili?
Kao i u 2. primjeru, podijelimo s 4 te primjenom inverznosti dobivamo rješenje.
3y=5⇒y=log35=log5log3≈1.465
Koje pravilo logaritma smo ovdje primijenili?
Za rješavanje primjera potrebno je bilo znati izračunati logaritme s pomoću džepnog računala.
Ponovite pravila kojima smo se koristili da bismo riješili primjer.
logaxr=rlogax
logaa=1
logab=logbloga
Eksponencijalne jednadžbe oblika a·bf(x)=c, gdje je b>0,b≠1, te su a i c istog predznaka, rješavamo uporabom svojstva inverznosti, tj. pretvaranjem u logaritamski oblik.
a·bf(x)=c/:a⇒bf(x)=ca⇒f(x)=logbca
Riješite jednadžbe.
Koje je rješenje eksponencijalne jednadžbe
2·6x=236?
Odaberite pripadajuće rješenje zadatka.
6·ey=300 | |
4·52x=300 | |
6·102t=48 | |
-2·30.2z=-400 |
Odaberite moguća rješenja jednadžbe.
Najraniji zapisi matematičkih problema potječu iz drevnog Egipta i pisani su na papirusu, između 1850. i 1600. g. pr. Kr. Dva najpoznatija matematička papirusa su Ahmesov ili Rhindov i Moskovski papirus. Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je svitak duljine 6m, širine 30cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650. g. pr. Kr. i vjerojatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu. Sadrži 87 matematičkih problema.
Jedan od posljednjih problema Rhindovog papirusa glasi: "U jednom selu bilo je 7 kuća; svaka od njih je imala 7 mačaka; svaka mačka uhvati po 7 miševa; svaki miš (da nije bilo mačaka) pojeo bi 7 zrna pšenice, a svako posijano zrno pšenice daje 7 mjerica žita. Koliko je mjerica žita spašeno zbog prisutnosti mačaka?"
Egipćani nisu poznavali notaciju eksponenta kao mi danas, ali su im bili bliski problemi eksponencijalnog rasta. Zapisi na papirusu koristili su se, između ostalog, za rješavanje preraspodjele hrane po gradovima.
Rješenje ćemo dobiti u obliku potencije broja 7, y=7x.
Odgovor: Zbog prisutnosti mačaka spašeno je 75=16807 mjerica žita.
Istražite, pogotovo ljubitelji povijesti, uz pomoć predmetnih nastavnika iz matematike, povijesti i umjetnosti, što je to papirus. Kakvo povijesno značenje ima? Postoje li još neki matematički papirusi osim Rhindovog i Moskovskog papirusa? Što sadrže ti papirusi, gdje i kako su nastali te tko ih je otkrio? Koliko se matematika razvila u jednoj od najnaprednijih i najstarijih civilizacija, staroegipatskoj? Kako su računali stari Egipćani?
Svoja saznanja prezentirajte učenicima i nastavnicima u školi.
Riješite eksponencijalnu jednadžbu
32x-1=27.
2x-1=log327
x=2
Jesmo li ovaj zadatak mogli riješiti na drugi način?
Uočimo da se desna strana jednakosti može napisati kao potencija broja 3.
32x-1=33
Na obje strane jednakosti imamo potenciju iste baze.
Prisjetimo se svojstva injektivnosti:
ax=ay⇒x=y.
Dakle, izjednačimo eksponente i dobijemo traženo rješenje.
2x-1=3⇒x=2
Primjer 2.
Riješimo eksponencijalnu jednadžbu 42x2+2x=8.
Kad bismo primijenili svojstvo inverznosti, dobili bismo kvadratnu jednadžbu s logaritmom (2x2+2x=log48). Pokušajte je riješiti sami primjenom temeljnog svojstva logaritma.
Uočimo da su baze, na obje strane jednadžbe, potencije broja 2.
(22)2x2+2x=23⇒22(2x2+2x)=23
Sad možemo primijeniti svojstvo injektivnosti te izjednačiti eksponente.
4x2+4x=3⇒4x2+4x-3=0
Riješimo kvadratnu jednadžbu prema formuli za rješenja.
a=4, i
Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na jednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstva injektivnosti, tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.
Primjer 3.
Riješimo eksponencijalne jednadžbe.
Iskoristimo svojstvo potencije te prikažimo kao potenciju broja pa izjednačimo eksponente.
Radili smo pravila potenciranja (prisjetite se). Neka od njih primijenit ćemo u ovom zadatku. Prebacimo korijen na desnu stranu te prikažimo sve kao potenciju broja
Prikažimo sve potencije s bazom te primijenimo pravilo umnoška potencija.
Riješite eksponencijalne jednadžbe primjenom injektivnosti.
Koja kvadratna jednadžba se dobije izjednačavanjem eksponenata?
Primjer 4.
Riješimo jednadžbu
Presložimo na jednu stranu potencije iste baze.
Izlučimo zajednički faktor (odaberimo iste eksponente za obje baze).
Kad imamo dvije baze koje ne možemo svesti na jednu, nova baza nam je kvocijent zadanih dviju (s istim eksponentom).
Stoga podijelimo jednadžbu s i sredimo je tako da nepoznanica ostane na jednoj strani.
Nakon sređivanja desne strane imamo
Riješite jednadžbu
Riješite sustav jednadžbi.
Riješite sustav jednadžbi.
Metodom komparacije izjednačite potencije te ih svedite na istu bazu. Izjednačavanjem eksponenata dobije se kvadratna jednadžba
Izračunamo rješenja kvadratne jednadžbe te ih uvrstimo u, npr. prvu, eksponencijalnu jednadžbu.
Rješenja su:
Pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe u kojima je i u bazi nepoznanica.
Riješimo jednadžbu
Općenito, rješavanje jednadžbi oblika gdje su neke algebarske funkcije, svodi se na četiri slučaja. Označimo s rješenje jednadžbe.
U zadatku imamo i
a. ali zbog nije rješenje.
b. to jest rješenje, jer su kvadratna i linearna funkcija definirane za sve realne brojeve pa tako i za
c. brojevi su iste parnosti, pa jest rješenje početne jednadžbe.
d. Izjednačimo eksponente i dobijemo Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su i
Dakle,
Pokušajte sami riješiti sljedeći zadatak:
Kako je zadatak se svodi na rješavanje tri slučaja (bez prvog), s uvjetima kako su prethodno navedeni.
Primjer 5.
Riješimo eksponencijalnu jednadžbu
Primijenimo pravilo potenciranja potencije i zapišimo potenciju Supstitucijom početna eksponencijalna jednadžba prelazi u kvadratnu jednadžbu. Riješimo je.
Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju. Dobijemo dvije eksponencijalne jednadžbe.
Jednadžba nema realna rješenja (potencija ne može biti negativan broj, odnosno pripadajući logaritam nije definiran za negativne brojeve).
Dakle, jednadžba ima samo jedno rješenje:
Eksponencijalnu jednadžbu oblika rješavamo supstitucijom tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika
Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije eksponencijalne jednadžbe.
Pazite! Ako je rješenje kvadratne jednadžbe
pripadajuća eksponencijalna jednadžba
nema rješenja.
Riješite jednadžbu
Riješite eksponencijalne jednadžbe.
Koju
supstituciju
uvodimo?
Odaberite rješenja eksponencijalne jednadžbe.
Primjenom pravila potencije, jednadžbu možete svesti na jednu bazu. Koju?
Koji zajednički faktor možete izlučiti?
Umnožak dvaju fakotra je nula kad je barem jedan od njih jednak nuli. Kako potencija nikad ne može biti nula, rješenje jednadžbe dobijemo tako da izjednačimo trinom s nulom. Koji oblik nakon sređivanja
(riješimo se nazivnika)
ima eksponencijalna jednadžba?
Pomoć:
Sredite jednadžbu
Metodom supstitucije odredite konačno rješenje eksponencijalne jednadžbe.
Riješite sustav jednadžbi.
Uputa: Iz prve jednadžbe jednu potenciju prikažite s pomoću druge i uvrstite u drugu jednadžbu.
Rješenja su:
Ponovimo.
Naučili smo tri načina rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.
I) Jednadžbu oblika gdje je te i istog predznaka, rješavamo primjenom inverznosti, tj. pretvaranjem u logaritamski oblik.
II) Eksponencijalne jednadžbe koje možemo svesti na jednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom injektivnosti, tj. izjednačavanjem njihovih eksponenata.
III) Eksponencijalnu jednadžbu oblika rješavamo supstitucijom tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije eksponencijalne jednadžbe.
Pazite! Ako je rješenje kvadratne jednadžbe pripadajuća eksponencijalna jednadžba nema rješenja.
I za kraj, riješite tri eksponencijalne jednadžbe s državne mature.