3.2 Pomaci grafa kvadratne funkcije

Istražimo

Ne prolaze sve parabole kroz ishodište koordinatnog sustava.

Što ako su nam parabole zadane kao na slici 2?

Pronađimo jednadžbe parabola čije tjeme nije u ishodištu koordinatnog sustava.

Provjerite u sljedećoj interakciji (pomoću zadanih klizača) što se događa s parabolom ako argumentu $x$dodamo/oduzmemo neki realan broj $x_0,$ to jest ako vrijednost funkcije uvećamo/umanjimo za $y_0.$

Vodeći koeficijent prilagodite kako želite.

Počnimo redom.

Prema potrebi vratite se na ovu interaktivnu vježbu i upotrijebite je kao pomoć u rješavanju zadataka.

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$

Primjer 1.

Pomaknimo parabolu $y=x^2$ udesno za $3$ jedinice. Kako glasi jednadžba pomaknute parabole? Gdje joj je tjeme?

Parabolu pomičemo tako da pomaknemo točke parabole. Odaberemo nekoliko točka, pomaknemo ih udesno za $3$ i skiciramo novu parabolu kroz dobivene točke. Prateći animaciju pokušajte sami skicirati novu parabolu. Što se događa s tjemenom, odnosno s koordinatama točaka na paraboli koje se pomiču u smjeru osi $x$?

Naslućujete li opću jednadžbu parabole kojoj je tjeme na osi $x,$ s koordinatama $T(x_0,0)?$ Kako glasi jednadžba osi simetrije?

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $x$ za $x_0$ udesno ako je $x_0>0,$ to jest ulijevo ako je $x_0<0.$ ​

Točku $T\left(x_0,0\right)$ nazivamo tjeme parabole $y=a{\left(x-x_0\right)}^2.$ Ako je $a>0,$ parabola je otvorena prema gore, dok je za $a<0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x=x_0.$

Primjer 2.

Skicirajmo parabole:

1. $y=2{\left(x+1\right)}^2$​
2. $y=2{\left(x-1\right)}^2$​
3. $y=-\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2$​
4. $y=-2{\left(x-2\right)}^2.$

Postupak skiciranja je kao u primjeru 1.:

• skiciramo $y=a{x}^2$
• pomaknemo točke u smjeru osi apscisa
• skiciramo traženi graf s tjemenom $T\left(x_0,0\right)$
• os simetrije tim parabolama je pravac $x=x_0.$

Pogledajmo kako to izgleda.

Razmislite: Po čemu se razlikuju parabole koje imaju isti vodeći koeficijent, a pomak $\left(x_0\right)$ im se razlikuje? Što je s parabolama kojima je pomak isti, a razlikuju se za $a?$

Zadatak 1.

Odredite koordinate tjemena, os simetrije te skicirajte parabole.

1. $y=\frac{2}{3}{\left(x+3\right)}^2$ ​
2. $y=3{\left(x-4\right)}^2$
3. $y=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$ ​
4. $y=-\frac{5}{4}(x+1{)}^2$

Primjer 3.

Parabolama sa slike odredimo jednadžbu.

1. način

Uočimo koordinate tjemena $T\left(4,0\right)$ i jedne točke, npr. $(2,2).$ Uvrstimo koordinate u jednadžbu parabole $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$ pa imamo $2=a{\left(2-4\right)}^2\Rightarrow 4a=2/:4\Rightarrow a=\frac{1}{2},$ te je tražena funkcija $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2.$

Na isti način dobijemo i funkciju $g.$ Tjeme je $T\left(-\frac{3}{2},0\right)$ te jedna točka $\left(-\frac{5}{2},-2\right).$ Uvrstimo koordinate u jednadžbu parabole $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$ pa imamo $-2=a{\left(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\right)}^2\Rightarrow a=-2,$ te je tražena funkcija $g\left(x\right)=-2{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2.$

2. način

Zamislimo da nam je os simetrije parabole os $y$ pa je tjeme $\left(0,0\right)$ (tj. pomaknimo koordinati sustav s ishodištem u tjemenu). Prisjetimo se traženja vodećeg koeficijenta iz primjera prošle jedinice, pomaci od jedne točke na paraboli do druge. Pročitajmo nove koordinate točaka na mreži: za funkciju $f$ to je točka $\left(-2,2\right),$ a za funkciju $g$ točka $\left(-1,-2\right).$

Uvrstimo u jednadžbu $y=a{x}^2$ točku $\left(-2,2\right)\Rightarrow a=\frac{y}{x^2}=\frac{2}{{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{2}.$

Vratimo se u pravi koordinatni sustav. Uz koordinate tjemena naše parabole $T\left(4,0\right),$ odnosno $x_0=4,$ slijedi da je tražena funkcija $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-4\right)}^2.$

Učinimo isto za drugi graf. Uvrstimo $\left(-1,-2\right)\Rightarrow a=\frac{y}{x^2}=\frac{-2}{{\left(-1\right)}^2}=-2.$ Tjeme je $T\left(-1,0\right)\Rightarrow x_0=-1.$ Tražena funkcija glasi $g\left(x\right)=-2{\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2.$

Zadatak 2.

Odredite jednadžbe parabola sa slike.

Parabolu $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$ možemo skicirati odmah, bez skiciranja osnovne parabole $y=a{x}^2$ i pomaka. Odredimo tjeme, $T\left(x_0,0\right)$ te izračunamo nekoliko točaka koje pripadaju paraboli, nacrtamo ih u koordinatnom sustavu i provučemo kroz njih traženu parabolu. Pokušajte prethodne primjere riješiti na taj način.

Sljedeći zadatak riješite svođenjem izraza na potpuni kvadrat. Sami odaberite metodu rješavanja (direktno ili pomakom osnovne parabole).

Zadatak 3.

Odredite os simetrije parabole $y=-x^2+4x-4.$ Skicirajte tu parabolu.

Najprije prikažimo parabolu u obliku $y=a{\left(x-x_0\right)}^2.$ Svođenjem na potpun kvadrat dobivamo: $y=-x^2+4x-4=-{\left(x-2\right)}^2\Rightarrow a=-1,T\left(2,0\right)\mathrm{i} x=2$ je tražena os simetrije. Sada lako skiciramo parabolu.

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2+y_0$

Primjer 4.

Pomaknimo sada parabolu $y=x^2$ prema dolje za $2$ jedinice. Kako glasi jednadžba pomaknute parabole? Gdje joj je tjeme?

Odaberemo nekoliko točka, pomaknemo ih dolje za $2$ i skiciramo novu parabolu kroz dobivene točke. Prateći animaciju pokušajte sami skicirati novu parabolu. Što se sada događa s tjemenom, odnosno s koordinatama točaka na paraboli koje se pomiču u smjeru osi $y$?

Možete li naslutiti opću jednadžbu parabole kojoj je tjeme na osi $y,$ s koordinatama $T\left(0,y_0\right)?$ Kako glasi jednadžba osi simetrije?

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2+y_0$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $y$ za $y_0$ prema gore ako je $y_0>0,$ odnosno prema dolje ako je $y_0<0.$

Točku $T\left(0,y_0\right)$ nazivamo tjeme parabole $y=a{x}^2+y_0.$ Ako je $a>0,$ parabola je otvorena prema gore, dok je za $a<0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x=0$ (jednadžba osi ordinate).

Vidimo da je $y_0$ slobodni koeficijent kvadratne funkcije pa je to zapis kvadratne funkcije kojoj je $b=0\mathrm{i}c=y_0.$ Zato često pišemo: $f\left(x\right)=a{x}^2+c.$

Primjer 5.

Skicirajmo parabole.

1. $y=3x^2+1$
2. $y=3x^2-1$
3. $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}$
4. $y=-2x^2+\frac{3}{2}$

Postupak je isti kao pri skiciranju parabole oblika $y=a{\left(x-x_0\right)}^2.$

• skiciramo s pomoću tablice $y=a{x}^2$
• pomaknemo točke u smjeru osi ordinata
• skiciramo traženi graf s tjemenom $T\left(0,y_0\right)$
• os simetrije tim parabolama je os $y,$ $x=0$

Rješenja provjerite s pomoću sljedeće aktivnosti.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Riješite zadatke.

1. Povežite translaciju parabole $y=a{x}^2$ s pripadajućom jednadžbom parabole.
   

   $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$	u smjeru osi ordinatau smjeru osi apscisa
   $y=a{x}^2+y_0$	u smjeru osi ordinatau smjeru osi apscisa

   

    
   

    
   

2. Ponuđenim parabolama dodijelite pripadajuće koordinate tjemena.
   

   $y=3{\left(x+3\right)}^2$  ​	$\left(0,-3\right)$
   $y=-{\left(x-3\right)}^2$	$\left(-3,0\right)$
   $y=-\frac{1}{2}{x}^2+3$  ​	$\left(0,3\right)$
   $y=4x^2-3$	$\left(3,0\right)$

   

    
   

3. Koje su parabole uže od zadane $y=\frac{3}{2}{\left(x-1\right)}^2?$​

   $y=-\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2$  ​

   $y=\frac{3}{2}{x}^2-1$  ​

   $y=2x^2+3$  ​

   $y=\frac{5}{3}{\left(x+5\right)}^2$  ​

   $y=-x^2-1$  ​

   $y=-3{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$  ​

   

   null

4. Poveži os simetrije s pripadajućim kvadratnim funkcijama.
   

   $f\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2$	x = 2x = 0x = 1x = -1x = -2
   $f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2$	x = 2x = 0x = 1x = -1x = -2
   $f\left(x\right)=3{\left(x+2\right)}^2$  ​	x = 2x = 0x = 1x = -1x = -2
   $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2$  ​	x = 2x = 0x = 1x = -1x = -2
   $f\left(x\right)=2{\left(x-1\right)}^2$  ​	x = 2x = 0x = 1x = -1x = -2

   

    
   

   null

Zadatak 5.

Odredite koordinate tjemena te skicirajte parabole.

1. $y=\frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{3}$​
2. $y=3x^2-4$
3. $y=-x^2-\frac{1}{2}$
4. $y=-\frac{5}{4}{x}^2+\frac{1}{4}$

Rješenje

 ​

---

Zatvori

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0$

Primjer 6.

Primjenjujući dosad stečeno znanje, skicirajmo funkciju ​ $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2+1$ prateći korake u nastavku i odgovarajući na pitanja.

1. korak
Najprije odredimo točke i skiciramo graf funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2,$ kojoj je $a=$ . Parabola je otvorena prema  .

 

 

2. korak

U kojem smjeru i za koliko pomičemo dobiveni graf (odaberite sve pomake)?

desno za $2$

dolje za $2$

gore za $1$

dolje za $1$

lijevo za $2$

desno za $1$

3. korak

Tjeme je dobivene parabole:

$T\left(-\mathrm{2,1}\right)$

$T\left(2,1\right)$  ​

$T\left(1,-2\right)$  ​

$T\left(\mathrm{1,2}\right)$  ​

$T\left(2,-1\right).$ ​

4. korak

Os simetrije parabole je:

$x=0$  ​

$x=1$  ​

$x=2$  ​

$x=-2$  ​

$x=-1.$

null

null

5. korak

Graf je zadane funkcije:

 

Graf funkcije $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f\left(x\right)=a{x}^2$ u smjeru osi $x$ za $x_0$ i u smjeru osi $y$ za $y_0.$

Tjeme parabole je u točki $T \left(x_0,y_0\right).$ Ako je $a>0,$ tjeme je najniža točka parabole (njegova ordinata je najmanja vrijednost funkcije), a ako je $a<0,$ tjeme je najviša točka parabole (njegova ordinata je najveća vrijednost funkcije).

Os simetrije je pravac $x=x_0.$

Zadatak 6.

Odredite koordinate tjemena, os simetrije te skicirajte parabolu $y=2{\left(x+3\right)}^2-1.$

 ​

Povezani sadržaji

Podsjećaju li vas ovi pomaci na graf funkcije koji ste radili u prvom razredu?

Prisjetite se grafa funkcije apsolutne vrijednosti. Vidite li sličnost s parabolom?

Ponovimo i usporedimo funkciju apsolutne vrijednosti s kvadratnom funkcijom.

Funkcija apsolutne vrijednosti	Kvadratna funkcija	Crtanje/pomak
$f\left(x\right)=a\left|x\right|$	$g\left(x\right)=a{x}^2$	$a>0\Rightarrow$ okrenute prema gore $a<0\Rightarrow$ okrenute prema dolje
$f\left(x\right)=a\left|x-x_0\right|$	$g\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$	pomak osnovnoga grafa po osi apscisa za $x_0$
$f\left(x\right)=a\left|x\right|+y_0$	$g\left(x\right)=a{x}^2+y_0$	pomak osnovnoga grafa po osi ordinata za $y_0$
$f\left(x\right)=a\left|x-x_0\right|+y_0$	$g\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0$	pomak osnovnoga grafa po osi apscisa za $x_0$  te po osi ordinata za $y_0$
Točka loma $V\left(x_0,y_0\right)$	Točka tjemena $T\left(x_0,y_0\right)$

Svaka se funkcija može prikazati s pomoću pomaka osnovne funkcije iz ishodišta koordinatnog sustava. Pokušajmo to učiniti s pravcem (odnosno grafom linearne funkcije), koji vam je također poznat iz prvog razreda.

Linearna funkcija, $f\left(x\right)=ax$ ​raste za $a>0,$ odnosno pada za $a<\mathrm{0,}$ te prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava. Pomaknemo li je za $x_0$ po osi apscisa te za $y_0$ po osi ordinata, trebali bismo dobiti, prema analogiji s prethodnim funkcijama, $f\left(x\right)=a(x-x_0)+y_0.$

Općenito, vrijednost apscise umanjimo za $x_0,$ a vrijednost ordinate uvećamo za $y_0,$ i to svakoj točki koja pripada tom grafu.

Vizualizirajmo to grafički kao na slici ispod. Pomacima za $x_0=4$ te $y_0=-3$ dolazi se do točke na pravcu s jednadžbom $y=3\left(x-4\right)-3=3x-15$ (što je vidljivo iz grafa).

Za linearnu funkciju nema smisla takav zapis jer je ona monotona (ili je rastuća ili je padajuća na svojoj domeni). Kod kvadratne funkcije ili funkcije apsolutne vrijednosti postoji najniža ili najviša točka $\left(x_0,y_0\right),$ u kojoj funkcija poprima svoju najmanju ili najveću vrijednost, $y_0.$ Upravo tu točku lako možemo pročitati iz promatranog zapisa s pomoću pomaka.

Zadatak 7.

Riješite sljedeće zadatke riječima.

Traženje jednadžbe parabole

Pokušajte sada sami pronaći kvadratnu funkciju oblika​ $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0,$ uz uvjete dane u zadatku. Prisjetimo se, ako točka ​ $\left(x,y\right)=\left(x,f\left(x\right)\right)$ pripada grafu funkcije, mora zadovoljiti njezinu jednadžbu. S pomoću tog svojstva riješite sljedeći zadatak. Za provjeru rješenja pogledajte videozapis u nastavku.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 8.

Odredite kvadratnu funkciju ​ $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2+y_0$ čiji graf prolazi ishodištem koordinatnog sustava, a kojem je os simetrije pravac $x=2.$ Pripadajući se graf dobije pomakom parabole $y=a{\left(x-x_0\right)}^2$ po osi ordinata za $6$ prema dolje. Izračunajte vodeći, linearni i slobodni koeficijent pripadajućeg polinoma drugog stupnja, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.$

Rješenje

---

Zadatak 9.

Odredite polinom drugog stupnja, $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ i nacrtajte njegov graf ako funkcija poprima najveću vrijednost $1$ za $x_0=2$ te vrijedi $f\left(1\right)=0.$

Rješenje

$x_0=2,y_0=1\Rightarrow T\left(2,1\right),f\left(1\right)=0\Rightarrow 0=a{\left(1-2\right)}^2+1\Rightarrow a=-1$

$f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+1=-x^2+4x-3$ 

---

Zadatak 10.

Odredite kvadratnu funkciju $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ za graf na slici.

Rješenje

Iz oblika $f\left(x\right)=-{\left(x-1\right)}^2-2$ kvadriranjem i sređivanjem slijedi rješenje: $f\left(x\right)=-x^2+2x-3.$

---

Zadatak 11.

Odredite jednadžbu parabole $y=a{x}^2+bx+c$ dobivene translacijom parabole $y=4x^2$ za $\frac{1}{2}$ ulijevo i $5$ gore.

Rješenje

$y=4{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+5\Rightarrow y=4x^2+4x+6$

---

Zatvori