7.4 Eksponencijalne nejednadžbe

Ponavljanje

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam vrlo važna svojstva eksponencijalne funkcije. Ponovite svojstvo injektivnosti, kojim ste se već koristili prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi.

Monotonost eksponencijalne funkcije vrlo je važna za ispravno rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Mijenjajući vrijednost $a$ klizačem na interakciji mijenjate vrijednost baze eksponencijalne funkcije. Ako je baza veća od $1,$ funkcija raste, a za bazu između $0$ i $1$ funkcija pada. Što to znači?

Promatrajte dvije točke na funkciji.

1. Ako je baza veća od $1,$ a $x_1<x_2,$ u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za $x_1$ i $x_2?$
2. Ako je baza između $0$ i $1,$ a $x_1<x_2,$ u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za $x_1$ i $x_2?$

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od $1,$ raste li funkcija ili pada?

raste

pada

null

null

Ako je baza eksponecijalne funkcije broj između $0$ i $1,$ raste li funkcija ili pada?

raste

pada

null

null

Eksponencijalna funkcija ima bazu veću od $1.$

Ako vrijedi $x_1<x_2,$ koji znak nejednakosti stoji između ​ $a^{x_1}$ i $a^{x_2}$	><
Ako vrijedi $x_1>x_2,$ koji znak nejednakosti je između $a^{x_1}$ i $a^{x_2}$	><

null

null

Eksponencijalna funkcija ima bazu između $0$ i $1.$

Ako vrijedi $x_1<x_2,$ koji znak nejednakosti ide između $a^{x_1}$ i $a^{x_2}$	><
Ako vrijedi $x_1>x_2,$ koji znak nejednakosti ide između $a^{x_1}$ i $a^{x_2}$	><

null

null

Zadatak 2.

Ako niste točno odgovorili na pitanja i pojam monotonosti još vam nije sasvim jasan, pogledajte rješenja koja slijede.

Rješenje

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od $1,$ funkcija je rastuća.

Iz $x_1<x_2$ slijedi $a^{x_1}<a^{x_2}.$

Ako je baza eksponencijalne funkcije manja od $1,$ a veća od $0,$ funkcija je padajuća.

Iz $x_1<x_2$ slijedi $a^{x_1}>a^{x_2}.$

---

Zatvori

Primjena monotonosti kod eksponencijalnih nejednadžbi

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),a>1,a\ne 1$
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right),a>1,a\ne 1$
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),0<a<1,a\ne 1$​
• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right),0<a<1,a\ne 1$

Primjer 1.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe primjenom svojstva monotonosti.

1. $7^{3x+4}<{49}^{2x+1}$​
2. ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2x-10}\le {\left(\frac{1}{36}\right)}^{3x+13}$

Rješenja:

1. $7^{3x+4}<{49}^{2x+1}$

   $7^{3x+4}<{\left(7^2\right)}^{2x+1}$

   $7^{3x+4}<7^{4x+2}$

   Baza funkcije veća je od $1,$ pa je funkcija rastuća, te je nejednadžba ekvivalentna s nejednadžbom:

   $3x+4<4x+2$

   $-x<-2/·\left(-1\right)$
   

   $x>2$
   

   $x\in ⟨2,\infty ⟩.$
   

2. ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2x-10}\le {\left(\frac{1}{36}\right)}^{3x+13}$
   

   ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2x-10}\le {\left(\frac{1}{6}\right)}^{6x+26}$
   

   Baza funkcije manja je od $1,$ funkcija je padajuća, pa je nejednadžba ekvivalentna s nejednadžbom:
   

   $2x-10\ge 6x+26$
   

   $-4x\ge 36/:\left(-4\right)$
   

   $x\le -9$
   

   $x\in \left.⟨-\infty ,-9\right].$
   

Zadatak 3.

Riješite zadatake primjenom monotonosti.

1. ${12}^{x-4}>{144}^{x-6}$​
2. $8^{x-1}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}$
   
3. ${81}^{3-x}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{5x-6}$
   

Primjer 2.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe.

1. $5^x·{25}^{x+1}\ge \frac{1}{5}$
   
2. $3^{2^{4x+1}}<3^{2^{2x+3}}$
   

Rješenja:

1. $5^x·{25}^{x+1}\ge \frac{1}{5}$
   

   $5^x·5^{2x+2}\ge \frac{1}{5}$
   

   $5^{3x+2}\ge 5^{-1}$
   

   $3x+2\ge -1$
   

   $3x\ge -3$
   

   $x\ge -1$
   

2. $3^{2^{4x+1}}<3^{2^{2x+3}}$
   

   I u ovom primjeru možemo primijeniti monotonost, i to dva puta ili koliko puta je potrebno.

   $2^{4x+1}<2^{2x+3}$
   

   $4x+1<2x+3$
   

   $2x<2$
   

   $x<1$

Zadatak 4.

Riješite nejednadžbe.

1. $16·4^{y-1}<\frac{1}{2}$​
2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2^{x-5}}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2^{3-2x}}$

Koraci rješavanja eksponencijalne nejednadžbe pomiješali su se. Posloži ih da dobiješ pravilan redoslijed.

• $x<\frac{1}{2}$  ​
• $2^{x-1}<2^{-x}$  ​
• $x+x<1$ 
  
• $2^{x-1}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$  ​
• $2x<1$  ​
• $x-1<-x$  ​

null

null

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi primjenom inverznosti

Primjer 3.

Sjetite se jedinice 7.1 Eksponencijalne jednadžbe koju smo rješavali u primjenom inverznosti.

${10}^{x-2}=5$

U ovom zadatku je baza $a=10.$ Prikažimo jednadžbu pripadajućim inverzom, dekadskim logaritmom i s pomoću džepnog računala izračunajmo $x.$

$x-2=\log 5\Rightarrow x=\log 5+2=2.69897\approx 2.7$

Možemo li sličan postupak ponoviti za nejednadžbu ${10}^{x-2}>5?$

Na što moramo paziti? Moramo paziti na bazu i razmišljati o monotonosti. Kako je baza $10,$ funkcija je monotono rastuća.

$x-2>\log 5$

$x>\log 5+2$

$x>2.69897$

Primjer 4.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

$e^{8-5x}<7$

Baza je $e,$ pa je funkcija monotono rastuća.

$8-5x<\ln 7$

$-5x<\ln 7-8$

$x>\frac{8-\ln 7}{5}$

$x>1.2108$

Možemo li riješiti ovu nejednadžbu na drugi način? Logaritmirajmo nejednadžbu prirodnim logaritmom.

$\ln e^{8-5x}<\ln 7$

Iskoristimo li sada svojstvo $\ln e^x=x,$ imamo sljedeću nejednakost:

$8x-5<\ln 7,$ koja je jednaka kao u prvom slučaju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonost logaritamske funkcije.

Istražite monotonost logaritamske funkcije uz pomoć interakcije koju ćete sami izraditi. Upute pogledajte u sljedećem videu.

Ako je:

• $a>1$ i $x>y,$ onda je ${\log }_{a}x>{\log }_{a}y$
  

• $0<a<1$ i $x>y,$ onda je ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y.$
  

Također vrijedi:

• $a>1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y,$ onda je $x<y$
  
• $0<a<1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y,$ onda je $x>y.$ 
  

Primjer 5.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

$2^{5x}>5^{8-5x}$

$\log 2^{5x}>\log 5^{8-5x}$

Dobivenu nejednadžbu riješimo kao logaritamsku jednadžbu.

$5x\log 2>\left(8-5x\right)\log 5$

$5x\log 2>8\log 5-5x\log 5$

$5x\left(\log 2+\log 5\right)>8\log 5$

Iskoristimo još jedno svojstvo logaritama.

$5x\log 10>8\log 5$

$5x>8\log 5$

$x>\frac{8}{5}·\log 5$

$x>1.2$

Primjena metode supstitucije

Primjer 6.

Riješimo nejednadžbu:

$2^x+4^x>6$ 

Imamo li nejednadžbu istih ili različitih baza? Ako $4^x$prikažemo kao ${\left(2^x\right)}^2,$ imamo iste baze, ali i broj $6.$ Ako $2^x$ u nejedandžbi zamijenimo novom nepoznanicom $y,$ imamo novu nejednadžbu. Kojoj vrsti nejednadžbi pripada ta nejednadžba?

$y^2+y-6>0$

To je kvadratna nejednadžba. Prikažimo je grafički.

Dakle, $y<-3$ ili $y>2.$ Ako u nejednadžbe umjesto $y$ vratimo $2^x,$ imamo dvije eksponencijalne nejednadžbe:

$2^x<-3$ i $2^x>2.$

Kako $2^x$ ne može biti negativno, ostaje nam riješiti drugu nejednadžbu. Baza je pozitivna, pa slijedi $x>1.$

Zaključak je da su rješenja početne nejednadžbe svi brojevi veći od $1.$

Primjer 7.

Riješimo nejednadžbu ​ $e^{2y}+4e^y-21<0.$

Ako umjesto $e^y$ uvrstimo $t,$ imamo nejednadžbu:

$t^2+4t-21<0$

Dakle, $-7<t<\mathrm{3\; .}$ Slijedi da je $-7<e^y<3.$ Ako logaritmiramo, dobit ćemo:

$\ln \left(-7\right)<y\ln e<\ln 3.$ Kako lijeva strana nije definirana za negativne brojeve, imamo:

$y<1.1$

Zadatak 7.

Riješite eksponencijalnu nejednadžbu ​ $3·{25}^x+2·5^x-5>0.$

Zanimljivost

Kad su se prvi put pojavili znakovi nejednakosti?

Prvi koji je upotrijebio simbole za strogo veće $>$ i strogo manje $<$ bio je matematičar Thomas Harriot. Prvi put su upotrijebljeni u knjizi "Analitička umjetnost primijenjena na rješavanje algebarskih jednadžbi", koja je objavljena 1631. godine, nakon njegove smrti.

Navodno je Harriot inspiraciju dobio putujući po Sjevernoj Americi, gdje je na rukama Indijanaca vidio simbol:

Kutak za znatiželjne

Riješimo jedan složeniji problem.

Ako su $a$ i $b$ minimum i maksimum skupa svih rješanja nejednadžbe  $2^x·\left(2·2^x+8\right)\le 8^x·\left(5-2^x\right),$ koliko je $a+b?$

Ako $2^x$ zamijenimo s $t,$ dobit ćemo nejednadžbu:

$t\left(2t+8\right)-t^3\left(5-t\right)\le 0$

Tu nejednadžbu ćemo faktorizirati.

$t\left(t+1\right)\left(t-2\right)\left(t-4\right)\le 0$

Vidimo da predznake sada trebamo ispitati u sljedećim intervalima:

$\left.⟨-\infty ,-1\right]$ , $\left[-1,2\right]$ , $\left[2,4\right]$ i $\left[4,\infty \right.⟩.$

Nejednakost je zadovoljena u prvom i trećem intervalu, ali uz uvjet $t=2^x>0$ imamo za rješenje jedino treći interval.

Slijedi da je minimum $1,$ a maksimum $2,$ uz rješavanje $2^x=2$ i $2^x=4,$ pa je $a+b=1+2=3.$