1.3 Potenciranje kompleksnih brojeva

Potencije - ponavljanje

Ponovimo računanje s potencijama u nekoliko zadataka.

1. ​ $2^3·2^6$ jednako je:
   

   $4^9$  ​

   $2^9$  ​

   $2^{18}$  ​

   $4^{18}.$  ​

   

   null

   null

2. ​ ${\left(a^2\right)}^5$ jednako je: ​

   $a^7$  ​

   $a^{10}$  ​

   $a^{25}$  ​

   $a^{32}.$  ​

   

   null

   null

3. Kvadrat imaginarne jedinice ​ $i$ jednak je:

   $-1$  ​

   $1$  ​

   $\sqrt{-1}$  ​

   $0.$

   

   null

   null

4. $(-1{)}^4$ jednako je:
   

   $-1$  ​

   $1.$

   

   null

   null

5. $(-1{)}^5$ jednako je: ​
   

   $-1$

   $1.$  ​

   

   null

   null

Pogledajmo kako su potencije broja $-1$ smještene na brojevni pravac.

Potencije broja $-1$ sa slike pridružite točki A ili B.

Potencije imaginarne jedinice

Primijetimo pravilnost vezanu za eksponent potencije broja $-1.$ Ako je eksponent neparan broj, potencija je jednaka $-1,$ a ako je eksponent paran broj onda je potencija $1.$

Pri množenju imaginarne jedinice $i$ brojevima $i,$ $-1,$ $1$ , $-i$ možemo primijetiti još jedno zanimljivo svojstvo:

Primjer 1.

$i·i=-1$

$-1·i=-i$

$-i·i=1$

$1·i=i.$

Primjer 2.

Pogledajmo kako tu pravilnost pri potenciranju imaginarne jedinice možemo iskoristiti.

$i^1=i$

$i^2={\left(\sqrt{-1}\right)}^2=-1$

$i^3=i·i^2=i·(-1)=-i$

$i^4=i^2·i^2=\left(-1\right)·\left(-1\right)=1$

$i^5=i^4·i=1·i=i$

$i^6=i^4·i^2=1·\left(-1\right)=\left(-1\right)$

$i^7=i^4·i^3=1·\left(-i\right)=-i$

$i^8=i^4·i^4=1·1=1$

$i^9=i^8·i={\left(i^4\right)}^2·i=1^2·i=i$

Vrijednosti $i,-1,-i,1$ ponavljaju se u potenciranju imaginarne jedinice.

To ćemo ponavljanje iskoristiti da bismo mogli potencirati imaginarnu jedinicu i kada su eksponenti brojeva veći od $10.$

Uočimo da smo već u primjeru upotrijebili $i^4=1.$

$\begin{array}{l}{i}^{4n+1}=i^{4n}·i={\left(\begin{array}{l}{i}^4\end{array}\right)}^n·i={\left(\begin{array}{l}1\end{array}\right)}^n·i=1·i=i\end{array}$

$\begin{array}{l}{i}^{4n+2}=i^{4n}·i^2={\left(i^4\right)}^n·i^2={\left(1\right)}^n·i^2=1·i^2=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}{i}^{4n+3}=i^{4n}·i^3={\left(i^4\right)}^n·i^3={\left(1\right)}^n·i^3=1·i^3=-i\end{array}$

$\begin{array}{l}{i}^{4n+0}=i^{4n}·i^0=i^{4n}·1=1^n·1=1\end{array}$ 

Za potencije imaginarne jedinice vrijedi:

$i^k=i^{4n+r}$ 

gdje je $n$ cjelobrojni rezultat dijeljenja eksponenta $k$ s brojem $4,$ a $r$  je ostatak pri tom dijeljenju i može biti jedan od brojeva iz skupa $\left\{0,1,2,3\right\}.$

Primjer 3.

Izračunajmo

1. $i^{67}$

   $67=16·4+3$

   Primjenimo sada svojstva potencija uz ​ $i^4=1$

2. $\begin{array}{l}{i}^{67}=i^{16·4+3}={\left(i^4\right)}^{16}·i^3=1^{16}·i^3=i^3=-i\end{array}$

   $i^{2018}$

   $2018=504·4+2$

   $i^{2018}=i^{504·4+2}=i^2=-1$

Zadatak 1.

Izračunajte, pa provjerite.

1. $i^{70}$​
2. $\frac{1}{i^{2020}}$ ​

Rješenje

---

Koristeći se Generatorom zadataka možete vježbati potenciranje imaginarne jedinice uz mogućnost provjere rješenja. Puno uspjeha!

Računanje s potencijama imaginarne jedinice

Primjer 4.

Primijenimo sada računanje potencije imaginarne jedinice u zadatcima sa zbrajanjem, oduzimanjem i množenjem.

1. $i^3+i^6+i^5=-i-1+i=-1$
2. $\begin{array}{l}i-i^3+i^5-i^7+\dots -i^{39}=i+i+i+i+\dots +i=20i\end{array}$
3. $\left(i-i^3\right)·\left(2i^5+i^7\right)$

Dva su moguća načina rješavanja.

• Prvi način

  $\begin{array}{l}\left(i-i^3\right)·\left(2i^5+i^7\right)=\left(i+i\right)·\left(2i-i\right)=2i·i=2i^2=-2\end{array}$​

• Drugi način

  $\begin{array}{l}\left(i-i^3\right)·\left(2i^5+i^7\right)=2i^6+i^8-2i^8-i^{10}=2\left(-1\right)+1-2-\left(-1\right)=-2-1+1=-2\end{array}$

Rješenja zadataka unesite u pravi skup brojeva.