Matematika 2 - 1.6 Kompleksna ravnina

Na početku...

Matematičar Sir William Rowan Hamilton je dobar dio svojeg života posvetio traganju za prikazom trodimenzionalnih rotacija. Odgovor je pronašao u kvaternionima, brojevima oblika:

$q = a_{0} + a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$

gdje je $i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = - 1,$ a brojevi $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ su iz skupa $R .$

Ovo je osnovna animacija zmije, stvorena s pomoću računala te s pomoću interpolacije okreta nekoliko određenih točaka. Animacija je primjer primjene kompleksnih brojeva u 3D animaciji na kojoj je godinama radio Sir William Rowan Hamilton.

Ova je jedinica tek početak u shvaćanju ideje kako napraviti takvu animaciju.

Kompleksni broj u kompleksnoj ravnini

Kompleksni broj $z$ zapisujemo u obliku $\begin{array}{l} z=x+yi, \end{array}$ gdje je $x$ realni, a $y$ imaginarni dio kompleksnog broja $z .$ Ako realni i imaginarni dio kompleksnog broja zapišemo kao uređeni par, tada kompleksni broj možemo prikazati u koordinatnoj ravnini.

Pridruživanje

$z = x + y i \to (x, y)$

je jednoznačno.

Svakom kompleksnom broju jednoznačno je pridružena točka i svakoj je točki jednoznačno pridružen kompleksni broj.

Koordinatna ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve naziva se Gaussova ili kompleksna ravnina. U kompleksnoj ravnini os x naziva se realna os, a os y naziva se imaginarna os. Na realnu os smještamo realni dio kompleksnog broja, a na imaginarnu os imaginarni dio kompleksnog broja (kao što je prikazano na slici).

Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini

Kompleksna ravnina

Primjer 1.

Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini

Prikažimo u Gaussovoj ravnini sljedeće kompleksne brojeve.

$z_{1} = 2 + 7 i$

$z_{2} = - 7 + 3 i$

$z_{3} = - 4 i$

$z_{4} = - 5$

Sljedeće kompleksne brojeve pridružite točkama u kompleksnoj ravnini.

$- 0.5 - 3 i$	C
$2 - 0 i$	D
$- 5$	A
$- 3 - 2 i$	E
$2 - 3 i$	B

null

Zadatak 1.

U kompleksnoj ravnini, koju ste nacrtali na papiru, prikažite brojeve koji su rješenja zadataka.

$z_{1} = (\frac{1}{2} + i) - (\frac{7}{2} + 5 i) =$
$z_{2} = i^{55} + 2 =$
$z_{3} = \frac{{(- 1 - i)}^{2}}{i^{37}} =$

Kompleksna ravnina i apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Kompleksnom broju $z = x + y i$ prikazanom u Gaussovoj ravnini možemo izračunati udaljenost od ishodišta koristeći se Pitagorinim poučkom. Udaljenost kompleksnog broja od ishodišta dana je formulom

$d$ ( $O, z$ ) $= \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Desna strana formule zapravo je apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ (vidi jedinicu Apsolutna vrijednost kompleksnog broja).

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z = x + y i$ jednaka je udaljenosti točke M $(x, y)$ od ishodišta koordinatnog sustava.

Odgovorite na pitanja.

Što primjećujete? Kako grafički pronaći zbroj dvaju kompleksnih brojeva?
Koja nejednakost vrijedi za zbroj apsolutnih vrijednosti i apsolutnu vrijednost zbroja dvaju kompleksnih brojeva?

Iz prethodnog primjera možemo zaključiti da su dva kompleksna broja i njihov zbroj vrhovi paralelograma čije su stranice $|z_{1}|$ i $|z_{2}|,$ tj. dva kompleksna broja, njihov zbroj i ishodište su vrhovi paralelograma.

Uočimo sada trokut sa stranicama $|z_{1}|,$ $|z_{2}|$ i $|z_{1} + z_{2}| .$ Za taj trokut vrijedi nejednakost trokuta (pogledaje Nejednakost trokuta u prvom razredu), pa možemo pisati:

$|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}| .$

Dokazali smo svojstvo apsolutne vrijednosti kompleksnog broja iz prethodne nastavne jedinice.

Primjer 2.

Geometrijsko značenje razlike dva kompleksna broja

Na slici je grafički prikaz rezulatata oduzimanja dvaju kompleksnih brojeva $z_{1} = 2 + 3 i$ i $z_{2} = 5 + i :$

$\begin{array}{l} z_{1} - z_{2} = 2 + 3 i - (\begin{array}{l} 5 + i \end{array}) = - 3 + 2 i \end{array} .$

Oduzimanje kompleksnih brojeva možemo interpretirati kao zbrajanje sa suprotnim brojem, što je vidljivo na slici.

Primijenite sukladnost trokuta na slici. Uočite dva trokuta: prvi, koji je određen ishodištem i točkama $z_{1}$ i $z_{2},$ te drugi, određen ishodištem te točkama $- z_{2}$ i $z_{1} - z_{2} .$

Udaljenost točka u kompleksnoj ravnini

Možemo zaključiti:

$\begin{array}{l} |z_{1} - z_{2}| = |(x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \end{array}$

Dobili smo formulu za udaljenost dviju točaka u kompleksnoj ravnini.

$|z_{1} - z_{2}|$ je udaljenost točaka $z_{1}$ i $z_{2}$ u kompleksnoj ravnini.

Primjer 3.

U prošloj ste jedinici naveli sljedeće svojstvo za modul kompleksnog broja:

$|z_{1} + z_{2}| \geq ||z_{1}| - |z_{2}|| .$

Dokažimo to svojstvo koristeći se grafičkim prikazom.

Na slici uočimo trokut sa stranicama $|z_{1}|, |z_{2}| i |z_{1} + z_{2}| .$

Znamo da je svaka stranica trokuta veća od razlike duljina preostalih dviju stranica. Zbog toga vrijedi nejednakost $|z_{1} + z_{2}| \geq ||z_{1}| - |z_{2}|| .$

Pokušajte uočiti i napisati još neke nejednakosti s ove ili s prethodnih ilustracija.

Primjer 4.

U kompleksnoj ravnini prikažimo sljedeće kompleksne brojeve:

$z_{1} = 3 + 4 i,$ $z_{2} = - 3 + 4 i,$ $z_{3} = 5 i,$ $z_{4} = 5 + 0 i,$ $z_{5} = - 3 - 4 i,$ $z_{6} = 4 - 3 i,$ $z_{7} = - 5 i,$ $z_{8} = - 5 + 0 i$ $.$

Svi ti brojevi imaju istu apsolutnu vrijednost, a to znači da su jednako udaljeni od ishodišta. Zato se svi brojevi nalaze na kružnici polumjera $5$ sa središtem u ishodištu.

Skup kompleksnih brojeva

$\begin{array}{l} k = \{z \in C : \bar{z - z_{0}} = r, z_{0} \in C, r > 0\} \end{array}$

predstavlja kružnicu u kompleksnoj ravnini polumjera $r$ sa središtem u $z_{0} .$

Gdje se u kompleksnoj ravnini nalaze točke pridružene broju $z$ ako je:

$\|z\| = 3$
$\|z\| < 3$
$\|z\| > 3$

null

Kružnica polumjera $5$ sa središtem u točki $(3, - 2) .$
Kružnica polumjera $4$ sa središtem u točki $(0, 2) .$
Kružnica polumjera $8$ i središtem u $(- 2, 7) .$
Prazan skup.

Zadatak 2.

Odredite skup točaka u ravnini za koji vrijedi $|\begin{array}{l} z \end{array}| = |\begin{array}{l} z + 2 i \end{array}| .$

Pravac $y = 2$ .

Primjer 5.

Kompleksni broj $z = 5 + i$ pomnožimo brojem $i .$ Nastavimo postupak:

$(5 + i) \cdot i = - 1 + 5 i$

$(- 1 + 5 i) \cdot i = - 5 - i$

$(- 5 - i) \cdot i = 1 - 5 i$

$(1 - 5 i) \cdot i = 5 + i .$

Nakon četiriju množenja imaginarnom jedinicom vratili smo se na početnu točku. Prikažimo sada te brojeve u kompleksnoj ravnini.

...i na kraju

Množenjem kompleksnog broja imaginarnom jedinicom rotiramo ga oko ishodišta za 90° u smjeru obrnutom od kazaljke na satu.

Ispitajte rotaciju kompleksnih brojeva za

$- i,$

$2 i, - 2 i .$

Ta rotacija početak je trodimenzionalnih rotacija za koje je zaslužan matematičar Sir William Rowan Hamilton. Ona je i dio animacije s početka naše priče.