Matematika 2 - 7.2 Logaritamske jednadžbe

Na početku...

Prodaja videoigrice objavljene 2005. godine naglo je krenula, ali kako je vrijeme odmicalo, prodaja se smanjivala. Na slici je prikazan broj prodanih igrica u milijunima od 2005., kad je izišla na tržište, pa do 2015. godine. Na osi $x$ je prva godina, 2005., u točki $(1, 0),$ a 2015. u točki $(11, 0) .$ Funkcija, $f (x) = 141.9 + 10.5 \ln x$ je modelirana s pomoću GeoGebre na temelju ovih $11$ podataka, naredbom PrilagodbaLogaritamska(<lista točaka>). Podaci su zaokruženi na jednu decimalu.

Tvrtka koja je izdala igricu planirala je poboljšati je nakon prodanih $170$ milijuna primjeraka. Možemo li pretpostaviti kad će to biti, ako se trend prodaje nastavi ovom brzinom?

Uvrštavanjem u $f (x) = 170$ dobijemo $170 = 141.9 + 10.5 \ln x \Rightarrow 10.5 \ln x = 28.1 / : 10.5 \Rightarrow \ln x = 2.676 .$

Problem smo sveli na rješavanje jednadžbe u kojoj je nepoznanica unutar logaritma. S takvim logaritamskim oblikom upoznali ste se u 6. modulu Logaritamske funkcije. Prateći analogiju s eksponencijalnim jednadžbama ovaj zadatak možemo svesti na eksponencijalni oblik, pa nam je rješenje $x = e^{2.676} \approx 14.5 .$

Novu verziju igrice možemo očekivati u drugoj polovici 2018. godine.

Podaci o prodaji igrice za 11 godina u koordinatnom sustavu s modeliranom logaritamskom funkcijom.

Zanimljivost

Kad se radi s podacima koji u početku naglo rastu, a zatim se rast brzo smanjuje, obično se za modeliranje koristi logaritamska funkcija oblika $f (x) = a + b \ln x .$

Ako se radi o podacima s financijskog tržišta, kao što je prodaja igrica iz našeg uvoda, u ekonomiji se kaže da su prinosi opadajući.

Ponovimo logaritme

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik $\log_{a} x = b,$ gdje je $x$ nepoznanica.

Zadatak 1.

Ponovimo neka pravila logaritma koja će nam pomoći pri rješavanju logaritamskih jednadžbi.

Čemu su jednaki sljedeći logaritmi, definirani za bazu $a > 0, a \neq 1$ te argument $x \in R^{+} ?$

$\log_{a} a^{x}$	$1$
$\log_{10} x$	$\log x$
$\log_{a} 1$	$x$
$\log_{e} x$	$0$
$\log_{a} a$	$\ln x$

null

Povežite pravila logaritmiranja za baze $a, b > 0, a, b \neq 1 .$

Za $x, y \in R^{+},$ $\log_{a} x^{y}$	$\log_{a} x + \log_{a} y$
$\log_{a} b$	$\log_{a} x - \log_{a} y$
Za $x, y \in R^{+},$ $\log_{a} (x \cdot y)$	$\frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$
Za $x, y \in R^{+},$ $\log_{a} \frac{x}{y}$	$\frac{1}{\log_{b} a}$
$\log_{a} x, x \in R^{+}$	$y \log_{a} x$

null

Povežite dane tvrdnje sa svojstvima logaritama za danu bazu $a > 0, a \neq 1 .$

$\log_{a} y = x \Leftrightarrow a^{x} = y$
$\log_{a} x = \log_{a} y \Rightarrow x = y$

null

Za koje realne brojeve $x$ jednadžba $y = \log_{a} x$ ima rješenja?

$x \in R$

$x \in ⟨0, \infty⟩$

$x \in ⟨- \infty, 0⟩$

$x > 1$

$x \in ⟨0,1⟩$

null

null

Rješavanje logaritamskih jednadžbi primjenom inverznosti

Primjer 1.

Riješimo logaritamsku jednadžbu $2 \ln x + 3 = 7 .$

$\begin{array}{l} 2 \ln x = 4 / : 2 \\ \ln x = 2 \\ x = e^{2} \end{array}$

Za rješavanje ove jednadžbe primijenili smo definiciju logaritma, odnosno svojstvo inverznosti logaritamske i eksponencijalne funkcije.

$\log_{a} y = x \Leftrightarrow a^{x} = y,$ uz uvjet $a, y > 0, a \neq 1$

Za bazu prirodnog logaritma vrijedi $\ln y = x \Leftrightarrow e^{x} = y,$

odnosno za dekadski logaritam pišemo $\log y = x \Leftrightarrow 10^{x} = y .$

Primjer 2.

Riješimo jednadžbu $\log_{2} x + \log_{2} (3 x - 5) = 3$ koristeći se definicijom logaritma te svojstvom umnoška logaritma.

Prema pravilu umnoška imamo

$\log_{2} (x (3 x - 5)) = 3 \Rightarrow \log_{2} (3 x^{2} - 5 x) = 3 .$

$3 x^{2} - 5 x = 2^{3}$

$3 x^{2} - 5 x - 8 = 0$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot 3 \cdot 8}}{6} = \frac{5 \pm 11}{6}$

Kvadratnoj jednadžbi su rješenja $x_{1} = \frac{8}{3}, x_{2} = - 1 .$

Provjerimo jesu li doista oba rješenja u domeni zadane logaritamske jednadžbe.

Iz prvog logaritma vrijedi $x > 0,$ a iz drugog dobijemo $x > \frac{5}{3} .$

Iz oba uvjeta slijedi da je $x > \frac{5}{3} .$

Samo nam prvo rješenje zadovoljava početnu jednadžbu.

Jedino rješenje ove jednadžbe je $x = \frac{8}{3} .$

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu $4 = \log_{a} 81 .$

Napišimo pripadajuću eksponencijalnu jednadžbu:

$\begin{array}{l} a^{4} = 81 \\ a^{4} = 3^{4} \end{array}$

Rješenja ove jednadžbe su $a_{1} = 3 i a_{2} = - 3 .$ Međutim, kako je $a$ baza logaritma, rješenje može biti samo pozitivan broj $a = 3 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Za logaritamsku jednadžbu $\log_{2} x + \log_{2} (x - 2) = 3$ odaberite pripadajuće rješenje.

$- 2, 4$

$\frac{5}{2}$

$4$

$- 2$

null

null

Zadanim jednadžbama odredite nepoznanicu $x .$

$\log_{x} (x + 2) = 2$
$\log_{x - 1} (x^{2} + 2 x - 15) = 2$
$\log (x - 9) + 2 \log (\sqrt{2 x - 1}) = 2$
$\log_{2} (\log_{3} x) = 0$
$\log_{3} (4 \cdot 3^{x} - 1) = 2 x + 1$

Pomoć:

Provjerite zadovoljava li rješenje početnu jednadžbu. Logaritam je definiran za pozitivne brojeve.

null

Zadatak 3.

Odredite bazu u logaritamskoj jednadžbi $\log_{x} 3 - \log_{x} 2 = \frac{1}{2} .$

$\log_{x} \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} /^{2} \Rightarrow x = \frac{9}{4}$

Zatvori

Primjena injektivnosti kod logaritamskih jednadžbi

Primjer 4.

Riješimo jednadžbu $\frac{\log (35 - x^{3})}{\log (5 - x)} = 3 .$

Najprije se riješimo nazivnika.

$\log (35 - x^{3}) = 3 \log (5 - x) \Rightarrow \log (35 - x^{3}) = \log {(5 - x)}^{3}$

Argumenti jednakih logaritama su jednaki.

$35 - x^{3} = {(5 - x)}^{3}$

Prisjetite se formule za kub binoma, izračunajte i sredite jednadžbu.

Dobivena kvadratna jednadžba $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ima rješenja $x_{1} = 3, x_{2} = - 2 .$

Provjerimo zadovoljavaju li početnu logaritamsku jednadžbu.

$\frac{\log (35 - 3^{3})}{\log (5 - 3)} = \frac{\log 8}{\log 2} = \frac{\log 2^{3}}{\log 2} = \frac{3 \log 2}{\log 2} = 3$

Pokažite da i drugo rješenje zadovoljava jednadžbu.

Kad logaritamsku jednadžbu svedemo na oblik $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x),$ primijenimo svojstvo injektivnosti logaritma te izjednačimo argumente.

$\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Rightarrow$ $f (x) = g (x),$ uz uvjet $a, f (x), g (x) > 0, a \neq 1$

Zadatak 4.

Primjenom injektivnosti logaritamsku jednadžbu $\log_{p} x^{2} = \log_{p} (2 x - 1)$ svedemo na kvadratnu. Dopišite koeficijente dobivene kvadratne jednadžbe.

$a =$
1
, $b =$
-2
$,$ $c =$
1
.
Rješenje jednadžbe je
1
.

null
Ovisi li rješenje ove logaritamske jednadžbe o bazi?

Da

Ne

null
Koje je rješenje logaritamske jednadžbe $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24) ?$

$- 2, 9$

$2, 3$

$9$

$- 2$

null

Povežite rješenja s pripadajućim logaritamskim jednadžbama.

$\log x + \log (x - 1) = 1 - \log 5$
$\log \sqrt{x - 5} + \log \sqrt{2 x - 3} + 1 = \log 30$
$\log_{3} (x - 2) = \log_{3} (3 x + 2) + 1$
$\log_{2} (x^{2} - 6 x) = 3 + \log_{2} (1 - x)$

Pomoć:

Kako dobiti logaritam uz realni broj?

Npr. $4 - \log x = 4 \log 10 - \log x = \log 10^{4} - \log x = \log \frac{10^{4}}{x}$

null

Metoda supstitucije ili svođenje na algebarsku jednadžbu

Primjer 5.

Riješimo jednadžbu $4 - \log x = 3 \sqrt{\log x} .$

Najprije ispitajmo kad je ova jednadžba definirana.

Kako pod korijenom mora biti pozitivan broj, imamo $\log x > 0 .$ Vrijednost funkcije korijena uvijek je pozitivna, pa i lijeva strana jednakosti mora biti pozitivna, imamo $4 - \log x > 0 \Rightarrow \log x < 4 .$ Ove logaritamske nejednadžbe nećemo rješavati do kraja (time ćete se baviti u sljedećim jedinicama). Provjerit ćemo samo zadovoljava li vrijednost logaritma dobivenog rješenja ove uvjete.

Jednadžbu u ovom obliku ne možemo riješiti niti inverzijom niti injektivnošću. Pokušajmo supstitucijom (kako smo to radili i s eksponencijalnim jednadžbama).

$\log x = t \Rightarrow 4 - t = 3 \sqrt{t}$

Zadatak svodimo na rješavanje iracionalne jednadžbe. Prisjetimo se kako se rješavaju takve jednadžbe. Kad nam je korijen sam na jednoj strani, kvadriramo cijelu jednadžbu.

$\begin{array}{l} 4 - t = 3 \sqrt{t} /^{2} \\ 16 - 8 t + t^{2} = 9 t \\ t^{2} - 17 t + 16 = 0 \end{array}$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $t_{1} = 1, t_{2} = 16 .$ Međutim, uvrštavanjem ovih rješenja u početnu iracionalnu jednadžbu vidimo da $16$ ne zadovoljava jednakost. Stoga je jedino moguće rješenje $1,$ odnosno vrijedi $\log x = 1$ (što zadovoljava i početni uvjet zadatka).

Riješimo zadatak do kraja: $\log x = 1 \Rightarrow x = 10 .$

Ako logaritamska jednadžba nakon sređivanja ima oblik

$A {\log_{a}}^{2} f (x) + B \log_{a} f (x) + C = 0,$ $a, f (x) > 0,$ $a \neq 1,$ $A, B, C \in R,$ $A \neq 0,$

svedemo je na algebarsku (kvadratnu) supstitucijom $\log_{a} f (x) = t \Rightarrow f (x) = a^{t} .$

Pripazite!

Nije isto: ${\log_{a}}^{2} x \neq \log_{a} x^{2} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Riješite jednadžbu $\log^{2} x - \log x - 6 = 0 .$

$\log x = t \Rightarrow t^{2} - t - 6 = 0 \Rightarrow t_{1} = 3, t_{2} = - 2$

$\log x = 3 \Rightarrow x_{1} = 10^{3} = 1 000$

$\log x = - 2 \Rightarrow x_{2} = 10^{- 2} = \frac{1}{100}$

Zadatak 6.

Riješite jednadžbu

\frac{1}{5 - \log_{2} x} + \frac{2}{1 + \log_{2} x} = 1 .

Najprije redom ispitajmo uvjete na rješenje.

\log_{2} x \neq

\log_{2} x \neq

null

Supstitucijom

\log_{2} x = t

i množenjem sa zajedničkim nazivnikom dobije se kvadratna jednadžba s koeficijentima:

a =

1

b =

- 5

c =

6

null

Rješenja kvadratne, odnosno logaritamske jednadžbe, su:
- manje:

\log_{2} x =

\Rightarrow x_{1} =

i
- veće:

\log_{2} x =

\Rightarrow x_{2} =

null

Zadatak 7.

Riješite jednadžbu ${(\log_{2} x)}^{2} - \log_{2} x^{2} = 0 .$

Uočite da je isto ${(\log_{2} x)}^{2} = {\log_{2}}^{2} x$ ili ${(\log_{2} x)}^{2} \neq \log_{2} x^{2} .$

Uvođenjem supstitucije imamo $\log_{2} x = t \Rightarrow t^{2} - 2 t = 0 \Rightarrow t (t - 2) = 0 .$

Rješenja zadatka su $1 i 4 .$

Zatvori

Grafičko rješavanje logaritamskih jednadžbi

Katkad je do rješenja nekih jednadžbi lakše doći grafičkim putem. Grafička metoda nam može pomoći u provjeri točnosti rješenja.

Primjer 6.

Riješimo jednadžbu $\log_{4} x = x - 2 .$

Uočimo da na lijevoj strani imamo logaritamsku jednadžbu $y = \log_{4} x,$ a na desnoj pravac $y = x - 2 .$ Nacrtajmo oba grafa u istom koordinatnom sustavu. U točki presjeka pročitamo rješenja jednadžbe.

$x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = 1$

Primjer 7.

Riješimo logaritamsku jednadžbu $2 + \log_{4} x = \log_{4} (x + 15) .$

I) Riješimo zadatak analitički.

$\begin{array}{l} 2 \log_{4} 4 + \log_{4} x = \log_{4} (x + 15) \Rightarrow \log_{4} 4^{2} + \log_{4} x = \log_{4} (x + 15) \end{array}$

$\log_{4} (16 x) = \log_{4} (x + 15)$

$16 x = x + 15$

$x = 1$

II) Riješimo zadatak s pomoću programa dinamične geometrije.

Upotrijebit ćemo ponuđeni predložak u nastavku. U polje za unos upišimo ove dvije jednadžbe: $y = 2 + \log_{4} x i y = \log_{4} (x + 15) .$ Koristimo se naredbom Sjecište da bismo dobili zajedničku točku ovih krivulja.

Dobijemo rješenje kao na slici, $x = 1 .$

Grafički smo provjerili i potvrdili dobiveno rješenje.

Zadatak 8.

Riješite logaritamske jednadžbe. Koristeći se predloškom dinamične geometrije provjerite dobivena rješenja.

$\log_{3} (3^{x} - 8) = 2 - x$
$\log_{2} {(x - 1)}^{2} = 9 + \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$
$\log_{3} (4 \cdot 3^{x} - 1) = 2 x + 1$

$x = 2$
$x = 9$
$x_{1} = 0, x_{2} = - 1$

Sustavi logaritamskih jednadžbi

Primjer 8.

Riješimo sustav jednadžbi.

$\{\begin{cases} \log_{2} x + \log_{4} \frac{1}{y} = 3 \\ x^{2} + 16 y^{2} = 17 \end{cases}$

Kako nam je logaritam definiran za pozitivne brojeve, ispišimo najprije uvjete na nepoznanice $x i y .$

$x > 0$

$\frac{1}{y} > 0 \Rightarrow y > 0$

Za rješavanje ovog zadatka primijenit ćemo još jedno pravilo logaritma:

$\log_{a^{n}} x = \frac{1}{n} \log_{a} x, x, a > 0, a \neq 1, n \neq 0 .$

Pokušajte sada sami riješiti ovaj primjer.

Rješenje je uređeni par

(x, y) = (4, \frac{1}{4}) .

Ako niste uspjeli dobiti rješenje, pogledajte sljedeći video, u kojem se opisuje postupak rješavanja.

Kutak za znatiželjne

Dokažite formulu koja se primjenjuje u prethodnom primjeru.

Tvrdnja:

$\log_{a^{n}} x = \frac{1}{n} \log_{a} x,$ $x, a > 0,$ $a \neq 1,$ $n \neq 0.$

Dokaz:

Za dokaz primijenite pravilo promjene baze $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a},$ tako da umjesto $a$ uvrstite $a^{n}$ i umjesto $b$ stavite $a .$

Zadatak 9.

Riješite sustave jednadžbi i rješenja provjerite s pomoću predloška dinamične geometrije.

$\{\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 21 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x + \log y = 3 \\ 3 x + \log y^{2} = 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} \log_{2} (x - y) = 2 \\ 3^{x - 2} \cdot 2^{y} = 324 \end{cases}$

Uputa: riješite zadatak metodom suprotnih koeficijenata. Rješenje je $(100, 10) .$
Uputa: koristite se svojstvom umnoška logaritma. Dobije se sustav linearne i kvadratne jednadžbe koji ima dva rješenja. Samo jedno zadovoljava početnu logaritamsku jednadžbu. Zašto? Rješenje je $(25, 4) .$
Uputa: primijenite pravilo prebacivanja eksponenta ispred logaritma. Rješenje je $(2, 10) .$
Uputa: najprije se riješite logaritma primjenom inverznosti, a zatim metodom supstitucije (prikažite jednu nepoznanicu s pomoću druge) riješite zadatak do kraja. Rješenje je $(6, 2) .$

Kutak za znatiželjne

Riješimo jednadžbu $5^{\log x} - 3^{\log x - 1} = 3^{\log x + 1} - 5^{\log x - 1} .$

Dokažimo formulu koja će nam pomoći pri rješavanju zadatka.

Tvrdnja:

Za realne brojeve $a, x, y > 0$ vrijedi $x^{\log_{a} y} = y^{\log_{a} x}$ .
Dokaz:

Zbog komutativnosti množenja vrijedi $\log_{a} x \cdot \log_{a} y = \log_{a} y \cdot \log_{a} x .$

Prvi faktor (ispred drugog logaritma) na obje strane jednakosti dignemo u eksponent, zbog svojstva $y \cdot \log_{a} x = \log_{a} x^{y} .$

$\log_{a} y^{\log_{a} x} = \log_{a} x^{\log_{a} y}$ te zbog injektivnosti direktno slijedi tvrdnja.

Primijenimo tu jednakost u zadanoj jednadžbi.

$x^{\log 5} - \frac{1}{3} \cdot x^{\log 3} = 3 \cdot x^{\log 3} - \frac{1}{5} \cdot x^{\log 5}$

Sređivanjem ove jednakosti dobijemo

$\frac{6}{5} x^{\log 5} = \frac{10}{3} x^{\log 3} / \cdot (\frac{3}{10} \cdot x^{- \log 5}) \Rightarrow \frac{9}{25} = x^{\log 3 - \log 5}$

${(\frac{3}{5})}^{2} = x^{\log \frac{3}{5}} \Rightarrow {(\frac{3}{5})}^{2} = {(\frac{3}{5})}^{\log x} .$
Primjenom injektivnosti eksponencijalne funkcije dobijemo rješenje.
$\log x = 2 \Rightarrow x = 100 .$

Zadatak 10.

Sljedeće zadatke pokušajte riješiti primjenom prethodne jednakosti koju smo dokazali i bez njezine primjene.

Riješite jednadžbu $4^{\log x} - 32 + x^{\log 4} = 0 .$
Riješite sustav jednadžbi. $\{\begin{cases} 5^{\log x} = 3^{\log y} \\ {(3 x)}^{\log 3} = {(5 y)}^{\log 5} \end{cases}$

$x = 100$

$(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{5})$

...i na kraju

Ponovimo.

Naučili smo tri načina rješavanja logaritamskih jednadžbi.

I) Jednadžbu oblika $\log_{a} y = x, a, y > 0, a \neq 1$ rješavamo primjenom inverznosti, tj. upotrebom definicije logaritma.

$\log_{a} y = x \Leftrightarrow y = a^{x}$

Za bazu prirodnog logaritma vrijedi $\ln y = x \Leftrightarrow y = e^{x} .$

Za dekadski logaritam pišemo $\log y = x \Leftrightarrow y = 10^{x} .$
II) Logaritamske jednadžbe koje možemo svesti na oblik $\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)$ rješavamo primjenom injektivnosti, tj. izjednačavanjem njihovih argumenata.

$\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Rightarrow$ $f (x) = g (x), a > 0, a \neq 1 .$
III) Logaritamsku jednadžbu oblika

$A \cdot {\log_{a}}^{2} f (x) + B \cdot \log_{a} f (x) + C = 0,$ $a, f (x) > 0,$ $a \neq 1,$ $A, B, C \in R,$ $A \neq 0$

rješavamo supstitucijom $\log_{a} f (x) = t,$ tako da riješimo pomoćnu kvadratnu jednadžbu oblika $A \cdot t^{2} + B \cdot t + C = 0 .$ Dobivena rješenja uvrstimo u početnu supstituciju i riješimo pripadajuće dvije logaritamske jednadžbe.

Na početku...

Zanimljivost

Ponovimo logaritme

Zadatak 1.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi primjenom inverznosti

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjena injektivnosti kod logaritamskih jednadžbi

Zadatak 4.

Metoda supstitucije ili svođenje na algebarsku jednadžbu

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Grafičko rješavanje logaritamskih jednadžbi

Zadatak 8.

Sustavi logaritamskih jednadžbi

Kutak za znatiželjne

Zadatak 9.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 10.

...i na kraju

7.3 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi