7.3 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi

Modeliranje i rješavanje problema uz eksponencijalne jednadžbe

Pogledajmo nekoliko problema iz prethodnih jedinica, koje smo do poznavanja eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi rješavali očitavanjem s grafa. Riješimo ih sada koristeći se znanjem o rješavanju jednadžbi.

Primjer 1.

Prateći broj korisnika (u milijunima) interneta od 1995. godine došli smo do funkcije koja opisuje rast broja korisnika.

$f\left(x\right)=8.58·e^x$ $x$ je broj godina.

Odgovorimo na pitanje:

Uz rast prema istome modelu, za koliko godina će broj korisnika biti $500$ milijuna?

Imamo jednadžbu:

$500000000=8.58·e^x.$ 

Podijelimo lijevu i desnu stranu s $8.58.$

$e^x=58275058.28$

Ako sada lijevu i desnu stranu logaritmiramo prirodnim logaritmom, imamo:

$x=\ln 58275058.28,$ odnosno broj godina je $17.88.$

Ako je početna godina bila 1995., broj korisnika od $500$ milijuna dosegnut je u drugoj polovici 2012. godine.

Zadatak 1.

Modelirajući broj posjetitelja nove web stranice došli smo do funkcije $f\left(x\right)=12.1·{1.8}^x.$

1. Nakon koliko će mjeseci broj posjetitelja biti $50000?$
2. U ranijem smo primjeru s grafa očitali da će broj posjetitelja biti $10000$ nakon $11$ mjeseci i $13$ dana. Provjerite.
   

Rješenje

---

Sjetimo se:

Malthusov model

$N=N_0{e}^{kt}$ uz $N_0=N\left(0\right)$

$k$ - koeficijent rasta ili pada​

$t$- vrijeme u satima

$N_0$ - početni broj jedinki

Ako je ​ $k<0,$ populacija pada, dok se za ​ $k>0$ radi o rastu populacije. Kad je $k=0,$ broj jedinki populacije se ne mijenja.

Sad možemo izračunati koeficijent rasta ili pada te predvidjeti za koliko će vremena biti određen broj jedinki.

Primjer 2.

Koristeći se Malthusovim modelom riješimo zadatke.

1. Ako je populacija zečeva za $2$ godine od početnog broja $12$ narasla na $1200,$ izračunajmo konstantu rasta.
2. Uz konstantu iz a) izračunajmo vrijeme koje je potrebno da broj zečeva bude $2500.$

Rješenje:

1. $N=N_0·e^{kt}$

   $1200=12·e^{17520k}/\ln$

   $\ln 100=\ln e^{17520·k}$

   $\ln 100=k·17520$

   $k=2.63·{10}^{-4}$

2. $N=N_0·e^{kt}$

   $2500=12·e^{2.63·{10}^{-4}·t}$

   $\ln 208.33=2.63·{10}^{-4}·t$

   $t=20300$ dana

   Ili $2.3$ godine.

Zadatak 2.

Znanstvenica je u početku imala $100$ bakterija. Nakon $5$ sati bakterija je bilo $120.$

Odredite za koliko će vremena biti dvostruko više bakterija nego na početku.

Rješenje

---

Modeliranje i rješavanje problema uz logaritamske jednadžbe

Primjer 3.

Prisjetimo se primjera iz 6.5. Modeliranje logaritamskom funkcijom. Iz podataka o dobi stanovnika od 1900. do 2010. godine (promjena je bilježena svakih $10$ godina) za životni vijek ljudi pronašli smo logaritamski model $f\left(x\right)=39.17+15.7\ln x,$ gdje je $x$ broj desetljeća, a $f\left(x\right)$ životni vijek.

S pomoću tog modela izračunat ćemo kad će životni vijek ljudi biti $95$ godina.

$95=39.17+15.7\ln x$

$\ln x=3.56$

$e^{3.56}=x$

$x=35$

Početna godina bila je 1900., a promjenu smo pratili svakih $10$ godina. Za $35$ desetljeća, odnosno tek 2250. možemo očekivati da će životna dob biti $95$ godina.

Zadatak 3.

Brzina vjetra $v$ u $\mathrm{km/h}$ u blizini središta tornada može se izračunati s pomoću sljedeće jednakosti: $v=93\log d+\mathrm{65,}$ gdje je $d$ udaljenost koju tornado prijeđe.

1. Ako je tornado prešao $200\mathrm{km},$ kolika mu je bila brzina?
2. Izrazite udaljenost koju tornado prijeđe s pomoću brzine vjetra. 
3. Ako je brzina vjetra $300\mathrm{km/h},$ koliku će udaljenost tornado prijeći?
   

Rješenje

---

Još nekoliko primjera

Primjer 4.

Logaritamsku skalu objasnili smo u jedinici Modeliranje logaritamskom funkcijom. Kako se logaritamskom skalom koriste kemičari? Jeste li čuli za pH? Za kisele i lužnate namirnice. Pogledajte kako to funkcionira.

pH se obično rabi da bi se izrazila kiselost u kemijskoj smjesi.

pH je definiran kao $pH=-log\left[H+\right].$

Ako je pH jednak $5.2,$ koliko je $\left[H+\right]?$

Imamo logaritamsku jednadžbu: $-5.2=\log \left[H+\right].$

Uz primjenu svojstva inverznosti imamo sljedeću eksponencijalnu jednadžbu: ${10}^{-5.2}=\left[H+\right].$

$\left[H+\right]=0.000006309=6.309·{10}^{-6}$

Već smo ranije spominjali kamatni račun. Vrlo je važno da ga dobro proučite. Dobro je znati raspolagati svojim novcem. Novac ćete možda trebati posuditi ili ćete ga štedjeti/uložiti. Pod kojim uvjetima ga posuditi? Kako ga je najbolje uložiti?

Proučimo nekoliko primjera.

$C_n=C_0·e^{kt}$

$C_0$ - uloženi ili posuđeni novac

$k$ - kamatnjak

$t$ - vrijeme u godinama

$C_n$ - dobiveni novac ili glavnica s kamatama

Primjer 5.

Štedjeli ste neko vrijeme i imate $80000\mathrm{kn}.$ Za kupovinu automobila koji želite treba vam $95000\mathrm{kn}.$ Ako novac stavite na štednju uz kamatnjak od $3\%,$ koliko godina ćete trebati štedjeti da biste mogli kupiti željeni automobil?

Postavimo jednadžbu.

$C_n=C_0·e^{kt}$

$95000=80000·e^{0.03t}$

$e^{0.03t}=\frac{19}{16}$

$0.03·t·\ln e=\ln \left(\frac{19}{16}\right)$

$t=\frac{\ln \left(\frac{19}{16}\right)}{0.03}=5.73$

Za približno $5$ godina i $9$ mjeseci imat ćete dovoljno novca.

Zadatak 4.

Problem iz prethodnog primjera možemo promotriti i s druge strane.

1. Ne želite čekati toliko dugo. Posudit ćete novac, tj. dignuti kredit od $15000\mathrm{kn}$ na $5.73$ godine, uz kamatnjak od $3\%.$ Koliko ćete novca vratiti? ​
2. Ili vam vrijeme štednje ne odgovara. Želite za kraće vrijeme doći do novca. Koliki treba biti kamatnjak ako želite uštedjeti novac za $2$ godine?
   

Rješenje

---

$C_n=C_0{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$

$C_n$ - količina novca nakon određenog vremena štednje

$C_0$ - početna suma novca

$r$ - kamatnjak

$n$ - koliko se puta godišnje pripisuje kamata

Primjer 6.

Kad ste se rodili, vaši roditelji su oročili $10000$ kuna kako bi vam skupili novac za studiranje, uz kamatnjak $4\%$ i pripisivanje kamate kvartalno.

1. Koliko ćete novca imati kad navršite $18$ godina?
2. S kolikim kamatnjakom su vaši roditelji trebali oročiti novac da za $18$ godina imate $30000$ kuna?

Rješenje:

1. $C_n=C_0{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^{nt}$
   

   $C_n=10000{\left(1+\frac{0.04}{4}\right)}^{4·18}=20470.99$
   

2. $30000=10000{\left(1+\frac{r}{4}\right)}^{4·18}$
   

   $3={\left(1+\frac{r}{4}\right)}^{72}$
   

   $\ln 3=72·\ln \left(1+\frac{r}{4}\right)$
   

   $0.015=\ln \left(1+\frac{r}{4}\right)$
   

   $e^{0.015}=1+\frac{r}{4}$
   

   $r=4·\left(e^{0.015}-1\right)=0.06$
   

   Kamatnjak je trebala biti $6\%.$
   

Povezani sadržaji

1960. W. F. Libby dobio je Nobelovu nagradu za otkriće metode radioaktivnog izotopa ugljika $\mathrm{C}-14.$ To je tehnika kojom se može odrediti starost fosila, odjeće, kostiju, stijena, itd. Primjenjuje se u arheologiji, antropologiji, geologiji.

Ugljik dioksid u zraku sadrži radioaktivni izotop ugljik- $14,$ isto kao i stablini izotop, ugljik $12.$ Biljke apsorbiraju ugljik dioksid iz zraka, što znači da je omjer ugljika- $14$ i ugljika- $12$ u biljkama (ili životinjama koje jedu biljke) isti kao u zraku. Kad biljka ili životinja ugine, apsorpcija prestaje. Ugljik $12$ koji se nalazi u životinji ili biljci ostaje isti, dok se količina ugljika $14$ postupno smanjuje, a omjer ugljika $14$ i ugljika $12$ eksponencijalno pada.

Omjer ugljika $14$ i ugljika $12$ u vremenu $t$ dan je sljedećom funkcijom:

$R\left(t\right)=R_0{e}^{-kt}$

Vrijeme poluraspada ugljika $14$ je $5730$ godina.

Primjer 7.

Arheolog je pronašao staru posudu u kojoj je omjer ugljika $14$ i ugljika $12$ jedna petina omjera iz atmosfere. Koliko je pronađena posuda stara?

Prema danim podacima ​ $R\left(t\right)=\frac{1}{5}{R}_0,$ zato je:

$\frac{1}{5}{R}_0=R_0{e}^{-kt}/:R_0$

$\frac{1}{5}=e^{-kt}$

$\ln \left(\frac{1}{5}\right)=-kt$

$t=\frac{\ln 5}{k}$ uz vrijeme poluraspada od $5730$ godina možemo izračunati:

$k=\frac{\ln 2}{5730}=\mathrm{0.000121.}$

Tako je starost predmeta:

$t=\frac{\ln 5}{k}=13300$ godina.

Inspektor Bero i slučaj stare kosti