2.9 Primjena kvadratnih jednadžbi

Problemi drugog stupnja

Da bismo riješili probleme drugog stupnja, najvažnije je problemski zadatak točno matematički interpretirati.

Postupak rješavanja problema drugog stupnja provodimo u nekoliko koraka:

1. nekoliko puta pažljivo pročitati problem
2. uočiti koji podaci su nam poznati, a što se očekuje da izračunamo
3. imenovati poznate i nepoznate varijable
4. ako je potrebno, grafički predočiti problem pomoću slika, tablica i sl.
5. postaviti matematičke veze između poznatih i nepoznatih veličina
6. napisati jednadžbe ili sustave jednadžbi
7. riješiti matematički zapis problema
8. interpretirati rješenje
9. provjeriti točnost i smislenost rješenja.

Primjer 1.

Koliki je $n$ ako je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva $210?$

Zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva računamo formulom $\frac{n(n+1)}{2}.$

Ako znamo da je zbroj jednak $210,$ možemo postaviti jednadžbu $\frac{n\left(n+1\right)}{2}=210.$

$n(n+1)=420$

$n^2+n-420=0$

$n_{\mathrm{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{1+841}}{2}$

$n_{\mathrm{1,2}}=\frac{-1\pm 29}{2}$

$n_1=20$

$n_2=-21$

Kako $n$ ne može biti negativan broj, uvjet zadatka da je zbroj $210$ zadovoljava prvih $20$ prirodnih brojeva.

Zadatak 1.

Koliki je $n$ ako je zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva $861?$

Problemi koji se svode na kvadratne jednadžbe

Primjer 2.

Odredimo prirodni broj čiji je kvadrat za $3$ veći od prethodnika.

Ako taj broj označimo slovom $n,$ uvjet da je kvadrat za $3$ veći od prethodnika matematički bismo zapisali: $n^2=3+n-1.$

Dobili smo kvadratnu jednadžbu $n^2-n-2=0$ čija rješenja su $n_1=2,n_2=-1.$ Kako se traži prirodan broj, rješenje je $n=2.$

Primjer 3.

Dvjema cijevima (širom i užom) bazen se napuni za $6$ sati. Isti bazen bi se punio $5$ sati dulje kad bi se punio samo užom cijevi. Za koliko vremena bi se napunio bazen uporabom samo uže cijevi? ​

Iz fizike znamo da je brzina jednaka kvocijentu puta i vremena, tj. vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini.

$v=\frac{s}{t}$

$t=\frac{s}{v}$ 

Neka je

$x$ - vrijeme za koje uža cijev napuni bazen ​

$x-5$ - vrijeme za koje šira cijev napuni bazen.

Tada je brzina kojom uža cijev napuni $1$ bazen jednaka $v_u=\frac{1}{x}.$

Brzina kojom šira cijev napuni bazen je $v_{š}=\frac{1}{x-5}.$

Brzina kojom zajedno napune $1$ bazen $\left(s=1\mathrm{i}t=6\mathrm{h}\right)$ je $v_z=\frac{1}{6}.$

Dakle, $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{6}.$

Množeći jednadžbu s nazivnicima i sređivanjem dolazimo do kvadratne jednadžbe:

$x^2-17x+30=0.$

Rješenja te jednadžbe su :​ $x_1=15,x_2=2.$

Kako mora biti $x>5,$ slijedi da je $x=15.$

Samo uža cijev napuni bazen za $15$ sati, a samo šira za $10$ sati.

Problemi koji se svode na sustav kvadratne i linearne jednadžbe

Matematička interpretacija nekih problema svodi se na sustav kvadratne i linearne jednadžbe.

Primjer 4.

Jedna stranica pravokutnika je za $5\mathrm{cm}$ dulja od druge. Odredimo duljine stranica pravokutnika ako je njegova površina $24{\mathrm{cm}}^2.$

Znamo da je jedna stranica pravokutnika za $5\mathrm{cm}$ dulja od druge, a njegova površina je $24{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Označimo stranice pravokutnika oznakama $a$ i $b.$ Iz uvjeta zadatka tada slijedi $a=b+5$.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku stranica, pa je $a·b=24.$

Sustav glasi: $a=b+5$ i $a·b=24.$

Supstitucijom linearne u kvadratnu jednadžbu imamo ​

$(b+5)·b=24$

$b^2+5b-24=0$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su​ $b_1=3b_2=-8.$ Kako duljina stranice ne može biti negativna, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje $b=3\mathrm{cm}.$ Tada je duljina stranice $a$ za $5\mathrm{cm}$ veća od $b,$ $8\mathrm{cm}.$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Sofijin brat rođen je kad je ona imala $3$ godine. Koliko godina ima Sofija danas ako je umnožak njihovih godina $28?$

Rješenje

Sofija ima $7$ godina.

---

Zadatak 5.

Opseg pravokutnika iznosi $23\mathrm{cm},$ a njegova površina iznosi $30{\mathrm{cm}}^2.$ Kolike su duljine stranica pravokutnika?

Rješenje

$a=4\mathrm{cm}$

$b=7.5\mathrm{cm}$

---

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Baka Ana je kupila $16\mathrm{m}$ žice. Kako može ograditi svoj vrt oblika pravokutnika, a da površina ograđenog dijala bude najveća?

Pogledajmo ovisnost površine o duljinama stranica pravokutnika