Matematika 2 - 2.2 Posebni oblici kvadratne jednadžbe

Na početku...

Slobodni pad

Kvadratne jednadžbe razvile su se iz potrebe za rješavanjem praktičnih problema u raznim područjima - fizika, ekonomija, poljoprivreda...

Pogledajmo na početku dva fizikalna problema.

Vertikalni hitac-nepotpuna kvadratna jednadžba

Dječak je ispalio raketu brzinom $30 \frac{m}{s} .$ Nakon koliko će vremena ostatci rakete pasti na tlo?

Gibanje rakete opisujemo vertikalnim hitcem prema gore i formulom:

$s = v t - \frac{g t^{2}}{2},$ gdje je $s$ put, $v$ brzina, $t$ vrijeme, a $g = 9.81 {m/s}^{2} .$

Ako na desnoj strani umjesto $s$ (puta) uvrstimo $0,$ dobiti ćemo sljedeću jednadžbu:

$\frac{g t^{2}}{2} - v t = 0,$ a uz $v = 30 \frac{m}{s}$ dobivamo kvadratnu jednadžbu:

$4.905 t^{2} - 30 t = 0,$ u kojoj je slobodni koeficijent $c = 0 .$

Ako izlučimo $t,$ jednadžba je faktorizirana:

$t \cdot (4.905 t - 30) = 0,$ pa je: $t = 0$ ili $4.905 t - 30 = 0$ tj. $t = 6.12 s .$

Dakle ostatci rakete past će na tlo za $6.12$ sekundi.

U prvom primjeru imali smo kvadratnu jednadžbu:

$4.905 t^{2} - 92 = 0,$ kod koje je linearni koeficijent bio jednak nuli, tj. $b = 0 .$

U drugom primjeru kvadratna jednadžba je bila:

$4.905 t^{2} - 30 t = 0,$ a kod nje je slobodni koeficijent jednak nuli, tj. $c = 0 .$

Dakle, prilikom postavljanja problema osim kvadratnih jednadžbi sa sva tri koeficijenta različita od $0,$ koje zovemo potpune, javljaju se i jednadžbe kojima su pojedini koeficijenti jednaki $0 .$

Takve jednadžbe zovemo nepotpune kvadratne jednadžbe.

U nastavku ćemo vidjeti kako ovakve jednadžbe prepoznati i riješiti.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Ako je linearni koeficijent u kvadratnoj jednadžbi jednak nuli, tj. $b = 0,$ onda kvadratna jednadžba ima oblik:

$a x^{2} + c = 0 .$

Jednadžbu ovog oblika rješavamo tako da slobodni član prebacimo na desnu stranu jednadžbe:

$a x^{2} = - c .$

Zatim jednadžbu podijelimo s koeficijentom $a :$

$x^{2} = - \frac{c}{a} .$

Uz $- \frac{c}{a} = k$ imamo jednadžbu $x^{2} = k .$

ako je $k > 0$ rješenja su realni i različiti brojevi $x_{1} = \sqrt{k}$ i $x_{2} = - \sqrt{k}$

ako je $k = 0$ rješenja su $x_{1} = x_{2} = 0$ .

ako je $k < 0$ rješenja su konjugirano kompleksni brojevi $x_{1} = i \sqrt{|k|}$ i $x_{2} = - i \sqrt{|k|}$

Sada su rješenja jednadžbe $x^{2} = - \frac{c}{a} :$

$x_{1} = \sqrt{- \frac{c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{- \frac{c}{a}} .$

Primjer 1.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

$9 x^{2} - 25 = 0$

$9 x^{2} = 25 / : 9$

$x^{2} = \frac{25}{9}$

Uz primjenu gore navedenog postupka imamo dva realna rješenja:

$x_{1} = \frac{5}{3}, x_{2} = - \frac{5}{3}$

Primjer 2.

Riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

$x^{2} + 16 = 0$

$x^{2} = - 16$

$x_{1} = 4 i, x_{2} = - 4 i .$

Rješenja su dva konjugirano kompleksna broja.

Primjer 3.

Riješimo kvadratnu jednadžbu:

${(x + 3)}^{2} = 16 .$

Provedimo isti postupak kao za jednadžbu: $x^{2} = 16 .$

Imamo dva slučaja:

$x + 3 = 4, x + 3 = - 4 .$

Iz ovih dviju jednadžbi imamo dva rješenja:

$x_{1} = 1, x_{2} = - 7.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Riješite jednadžbu $16 x^{2} - 81 = 0 .$

$x_{1} = \frac{9}{4}, x_{2} = - \frac{9}{4} .$

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu $12 x^{2} + 16 = 0.$

$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} i, x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} i$

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu ${(x + 5)}^{2} = 8.$

$x_{1} = 2 \sqrt{2} - 5, x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 5$

Zatvori

Kada je slobodni koeficijent jednak nuli, $c = 0,$ kvadratna jednadžba poprima oblik:

$a x^{2} + b x = 0.$

Kvadratnu jednadžbu bez slobodnog člana rješavamo tako da izlučimo zajednički faktor $x :$

$x \cdot (a x + b) = 0.$

Umnožak na lijevoj strani jednak je nuli, a to znači da barem jedan od faktora također mora biti jednak nuli:

$x = 0, a x + b = 0,$

pa su rješenja ove jednadžbe:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a}$

Primjer 4.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

$27 x^{2} - 9 x = 0$

$9 x \cdot (3 x + 1) = 0$

$9 x = 0, 3 x + 1 = 0$

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{3}$

Zadatak 4.

Riješite kvadratnu jednadžbu $\frac{7}{4} x^{2} - \frac{7}{2} x = 0 .$

$x_{1} = 0, x_{2} = 2$

Osim navedenih kvadratnih jednadžbi posebnog oblika, imamo i slučaj kada su $b = 0, c = 0 .$

Jednadžba tada glasi: $a x^{2} = 0 .$

Ova jednadžba ima rješenje $x = 0 .$

Do sada rješavane kvadratne jednadžbe imale su dva rješenja, pa ćemo i za ovu jednadžbu reći da ima dva rješenja koja su jednaka. Govorit ćemo o dvostrukom rješenju i pisati:

$x_{1} = x_{2} = 0 .$

Primjer 5.

Grafički prikaz problema

Najkraća stranica pravokutnog trokuta je $6 cm$ kraća od hipotenuze. Razlika u duljini drugih dviju stranica iznosi $3 cm .$ Ako je najkraća stranica $a - 3,$ pronađimo stranicu $a .$

Prikažimo problem grafički.

Koristeći se Pitagorinim poučkom problem ćemo svesti na rješavanje kvadratne jednadžbe.

${(a - 3)}^{2} + a^{2} = {(a + 3)}^{2}$

$a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} = a^{2} + 6 a + 9$

$a^{2} - 12 a = 0$

$a \cdot (a - 12) = 0$

Dakle, nepoznanica $a$ može biti ili $0 cm$ ili $12 cm .$ Rješenje polaznog zadatka je $a = 12 cm .$

Zadatak 5.

Ponovimo pojmove koje smo naučili!

Razvrstaj nepotpune kvadratne jednadžbe prema vrsti.

$x^{2} = 7$

$\frac{7}{2} = x^{2}$

$3 x^{2} - 5 = 0$

$7 x^{2} = 5 x$

$x^{2} + 6 x - 5 = - 5$

$\frac{4}{3} x^{2} + 5 x = 0$

Kvadratna jednadžba bez linearnog člana

Kvadratna jednadžba bez slobodnog člana

null
Jedno od rješenja kvadratne jednadžbe $x^{2} - 5 = 0$ je:

$\sqrt{5}$
Točno!

$5$
Pokušaj ponovno!

$0$
Pokušaj ponovno!

null

Upari nepotpune kvadratne jednadžbe s vrstama rješenja.

$7 x^{2} + 7 = 0$
$\frac{7}{8} x^{2} = 0$
${(x - 5)}^{2} = 24$

null

...i na kraju

Napravimo sada mali sažetak naučenoga.

Rješenja jednadžbe $a x^{2} + c = 0$ ovise o predznacima koeficijenta $a$ i $c :$

ako su $a$ i $c$ suprotnih predznaka onda su rješenja različiti realni brojevi,
ako su $a$ i $c$ istih predznaka onda su rješenja konjugirano kompleksni brojevi.

Jednadžba $a x^{2} + b x = 0$ uvijek ima dva realna rješenja, od kojih je jedno $0 .$

Jednadžba kod koje je $b = 0, c = 0$ tj. $a x^{2} = 0$ ima dvostruko rješenje jednako $0 .$