6.5 Modeliranje logaritamskom funkcijom

Određivanje logaritamske funkcije s pomoću točaka s grafa

Primjer 1.

U ovom primjeru, s pomoću dviju točaka na grafu logaritamske funkcije odredit ćemo logaritamsku funkciju ​

$f\left(x\right)=a+b\ln x.$

Zadane su točke $\left(\mathrm{1,3}\right)$ i $\left(\mathrm{5,3.8}\right).$ Uvrstimo ih u funkciju.

$3=a+b\ln 1$

$3.8=a+b\ln 5$

Nakon što izračunamo prirodni logaritam od $1$ i $5,$ dobit ćemo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice (zaokružit ćemo rezultate na dvije decimale).

$a=3$

$3.8=a+b·1.61$

$1.61b=0.8$

$b=0.5$

Funkcija koja prolazi kroz zadane točke je funkcija $f\left(x\right)=3+\frac{1}{2}\ln x.$

Primjer 2.

Nacrtajmo sada funkciju iz prethodnog primjera i smjestimo točke na graf. Možemo li precizno očitati još neke točke? Vidimo da su zadane točke na grafu, ali je teško precizno očitati koordinate još nekih točaka.

Primjer 3.

U koordinatnom sustavu prikazan je graf logaritamske funkcije $f\left(x\right)=a+b\ln x.$

1. Pokušajmo očitati dvije točke i pronaći kojoj funkciji pripada graf.
2. Nakon što pronađemo funkciju, odredimo vrijednost funkcije za $x=3.$
3. Točku $\left(3,f\left(x\right)\right)$ prikažimo na grafu funkcije. ​

Rješenje

---

Zadatak 1.

Pronađite logaritamsku funkciju $f\left(x\right)=a+b\ln x$ ako su zadane točke $\left(\mathrm{0.5,0.96}\right)$ i $\left(\mathrm{1,2}\right),$ koje se nalaze na grafu te funkcije.

1. Nacrtajte u bilježnicu graf funkcije.
2. S pomoću logaritamske funkcije odredite vrijednost funkcije za argument $2.5.$
3. Provjerite je li dobivena točka na grafu funkcije.

Rješenje

---

Eksponencijalni ili logaritamski model?

Zadatak 2.

Možemo li iz zadanih podataka znati koji model upotrijebiti?

U uvodu smo rekli da se logaritamskim modelom opisuju pojave kod kojih vrijednost u početku ubrzano raste/pada, a zatim se usporava. O eksponencijalom modelu govorili smo u prethodnome modulu. Ovim modelom opisujemo pojave kod kojih vrijednost u početku vrlo sporo raste/pada, a onda se naglo ubrzava.

U zadatku pokušajte podacima pridružiti odgovarajući model.

 Uparite podatke u tablici s eksponencijalnim ili logaritamskim modelom.

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $y$ $1$ $6$ $23$ $124$ $620$ $3130$ $15600$	eksponencijalni modellogaritamski model
$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $y$ $50$ $42$ $37$ $33$ $31$ $28$	eksponencijalni modellogaritamski model

null

null

Zadatak 3.

Za podatke iz prethodnog zadataka pronađite pripadajući model.

Rješenje

---

Modeliranje logaritamske funkcije koja opisuje problem

Kod modeliranja koristit ćemo se funkcijom $f\left(x\right)=a+b\ln x.$

Pripazimo na ono što smo naučili u prethodnim jedinicama:

• Sve ulazne vrijednosti (argumenti) $x$ moraju biti veće od $0.$
  
• Točka $\left(1,a\right)$ je na grafu.
  
• Ako je $b>0,$ radi se o modelu rasta.
• Ako je $b<0,$ radi se o modelu pada.

Pogledajmo kako to izgleda na primjeru.

Primjer 4.

Zbog poboljšanih životnih uvjeta i napretka u medicini životni vijek stanovništa u razvijenim zemljama povećao se od početka 20. stoljeća. U tablici su podaci o dobi stanovnika od 1900. do 2010. godine. Odredimo logaritamski model i izračunajmo koliki će, prema danom pravilu, biti očekivani životni vijek 2040. godine.

Neka $x$ koordinata prikazuje desetljeća, počevši s $x=1$ za 1900. godinu, a očekivani životni vijek neka prikazuje $y$ koordinata.

Godina	1900	1910	1920	1930	1940	1950
Očekivani životni vijek	$47.3$	$50.0$	$54.1$	$59.7$	$62.9$	$68.2$
Godina	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Očekivani životni vijek	$69.7$	$70.7$	$73.7$	$75.4$	$76.8$	$79.7$

​

S pomoću naredbe Prilagodba Logaritamska (u GeoGebri) uz odabir svih točaka dobiti ćemo funkciju:

$f\left(x\right)=42.53+13.86\ln \mathrm{x.}$

Uvrstimo $x=13.$

$f\left(x\right)=42.53+13.86\ln 15=80.06$

Očekivani životni vijek u 2040. godini je $80$ godina.

U ovom primjeru pronašli smo logaritamsku funkciju koja opisuje model u GeoGebri.

Primjer 5.

Za prethodni primjer odabrat ćemo sada dvije točke i izračunati funkciju kao u primjeru 1.

Odabrali smo točke $\left(\mathrm{2,50}\right)$ i $\left(\mathrm{9,73.7}\right).$ Uvrstimo ih u model logaritamske funkcije.

$50=a+b\ln 2\Rightarrow a=50-0.69b$

$73.7=a+b\ln 9\Rightarrow a=73.7-2.2b$

$1.51b=23.7\Rightarrow b=15.7$

$a=39.17$

Logaritamski model je ​ $f\left(x\right)=39.17+15.7\ln x.$

Ako s pomoću ovog modela izračunamo očekivani životni vijek u 2040., dobit ćemo:

$f\left(15\right)=39.17+15.7·\ln 15=81.69$

Ova funkcija ovisi o izboru točaka.

Prikažimo obje funkcije u istom koordinatnom sustavu.

Možemo reći da obje funkcije dobro prikazuju podatke. Funkcija koju smo izračunali prolazi kroz više točaka, ali funkcija koju smo dobili s pomoću GeoGerbe bliža je većini točaka. Obje zadovoljavaju uvjete i mogu prilično točno predvidjeti očekivani životni vijek.

Zadatak 4.

Vrijednost novog automobila u početku naglo pada, a zatim se pad njegove vrijednosti usporava. U tablici su prikazani podaci za jedan model vozila i pad njegove vrijednosti u kunama za prvih $8$ godina.

​

starost vozila	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
vrijednost vozila u tisućama kuna	$105$	$82.5$	$69$	$57$	$45$	$37$	$32.5$	$26.2$

Pronađite logaritamski model i odredite vrijednost automobila koji je star $10$ godina.

Rješenje

---

Logaritamska ljestvica

Što je to logaritamska ljestvica i za što se upotrebljava?

Ako brojeve ​ $0,1,10,100,1000,10\mathrm{000..}.$ trebamo prikazati na istom brojevnom pravcu, imat ćemo problem. Ako smanjimo razmak na $100,$ prvi brojevi neće biti vidljivi, tj. stopit će se u jedan broj, a tu je i problem veličine papira (nemamo tako velik papir da bismo uspjeli ucrtati sve veličine).

Poigrajmo se malo logaritmima.

$\log 100=2$

$\log 1000=3$

Slično je prema pravilima za logaritmiranje  $\log {10}^n=n.$

Pogledajmo sljedeću tablicu.

$n$	$1$	$10$	$1000$	${10}^6$	${10}^{15}$
$\log n$	$0$	$1$	$3$	$6$	$15$

Prvi red u tablici nije lako prikazati na brojevnom pravcu, ali drugi red možemo prikazati bez problema. Drugi red su vrijednosti na logaritamskoj ljestvici.

Logaritamskom se ljestvicom koristimo da bismo prikazali veličine čiji je kvocijent ili vrlo velik (potresi) ili vrlo malen (ph vrijednosti).

Primjer 6.

Podatke iz tablice prikažimo na logaritamskoj ljestvici.

Izvor zvuka	Tlak zvuka u mikroPascalima ( $\mu Pa$ )	$log$(tlaka zvuka)
Lansiranje Space Shuttlea	$2000000000$	$9.3$
Simfonijski orkestar	$2000000$	$6.3$
Vlak pri punoj brzini	$200000$	$5.3$
Normalni razgovor	$20000$	$4.3$
Šapat u knjižnici s 2 m	$2000$	$3.3$
Radio studio izvan upotrebe	$200$	$2.3$
Najtiši zvuk koji ljudsko uho može čuti	$20$	$1.3$

Potres i logaritamska ljestvica

Pogledajmo Richterovu ljestvicu, logaritamsku funkciju koja se primjenjuje za mjerenje snage potresa. Snaga potresa povezana je s količinom energije koja se oslobodila potresom. Seizmograf je instrument koji detektira podrhtavanje tla. Najslabije podrhtavanje koje se može detektirati je val s amplitudom $A_0.$

Magnituda potresa računa se kao

$M=\log \left(\frac{A}{A_0}\right),$

gdje je $A$ mjerena amplituda u trenutku potresa, a $A_0$ amplituda najslabijeg podrhtavanja koje se može mjeriti.

Na toj skali magnituda od $1$ do $5$ označava slabiji potres. Potres od $5$ do $8$ izazvat će materijalnu štetu, a jači potresi su razorni.

Primjer 7.

Izračunajmo magnitudu potresa ako je amplituda $450·A_0.$

$M=\log \left(\frac{450·A_0}{A_0}\right)=\log 450=2.65$

Magnituda tog potresa je $2.65$ prema Richterovoj ljestvici i on pripada slabijim potresima.

Osim računanja magnitude potresa prema Richterovoj ljestvici, logaritamska funkcija povezuje i magnitudu potresa s energijom koja se prilikom potresa oslobađa.

$M=\frac{2}{3}\log \left(\frac{E}{E_0}\right),$

gdje je

$E$  - količina energije oslobođena potresom u joulima

$E_0={10}^{4.4}\mathrm{J}$ - energija osolobođena u minimalnom podrhtavanju tla.

Primjer 8.

Za vrijeme potresa osolobodilo se približno ​ $6·{10}^{16}\mathrm{J}$ . Kolika je magnituda tog potresa?

Podatke uvrstimo u formulu.

$M=\frac{2}{3}\log \left(\frac{6·{10}^{16}}{{10}^{4.4}}\right)=\frac{2}{3}\log \left(2.4·{10}^{12}\right)=8.3$

Potres koji je oslobodio tu energiju bio je razoran.

Zadatak 5.

Za vrijeme jednog potresa oslobodilo se $3·{10}^{13}\mathrm{J}$ energije, a kod potresa na drugom kraju svijeta $3·{10}^{10}\mathrm{J}.$

Koliko puta je prvi potres jači? Izračunajte magnitude obaju potresa.

Rješenje

---

Atmosferski tlak

Kutak za znatiželjne

Atmosferski tlak pada s povećanjem nadmorske visine (s obzirom na razinu mora). Na morskoj razini atmosferski tlak je $1.033227\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}}$ ili $1$ atmosfera ( $\mathrm{atm}$) ili $101325\mathrm{Pa}$ (Pascala). Kako se povećava nadmorska visina, atmosferski tlak pada. Razlog tome je taj što je atmosferski tlak posljedica težine stupca zraka. Što smo više, stupac zraka iznad nas je manji i lakši te je i tlak niži.

Naravno, nije sve tako jednostavno. Ovdje treba uzeti u obzir i temperaturu te gustoću zraka i druge veličine. Formula koja povezuje tlak zraka i visinu na kojoj se nalazimo nije jednostavna.

Za više informacija pogledajte: https://hr.wikipedia.org/wiki/Atmosferski_tlak

Uz tu temu vežemo dva istrumenta: barometar i visinomjer (altimetar).

Barometar mjeri atmosferski tlak, a visinomjer određuje visinu na kojoj se nalazimo.

Primjer 9.

Povežimo nadmorsku visinu i atmosferski tlak iz sljedeće tablice logaritamskim modelom. Uz pomoć druge i šeste točke pronalazimo logaritamski model:

$h\left(x\right)=0.22-7.53\ln x$

Atmosferski tlak ( $\mathrm{atm}$)	Nadmorska visina (u $\mathrm{km}$)
$1$	$0$
$\frac{1}{2}$	$5.486$
$\frac{1}{3}$	$8.376$
$\frac{1}{10}$	$16.132$
$\frac{1}{100}$	$30.901$
$\frac{1}{1000}$	$48.467$
$\frac{1}{10000}$	$69.464$
$\frac{1}{100000}$	$96.282$

 ​

Zadatak 6.

Inspektor Bero ima novi slučaj. Na utrci balonima dogodilo se ubojstvo. Kad su balon sa žrtvom spustili, inspektor je pregledao balon i uočio slupani barometar koji je pokazivao atmosferski tlak u trenutku ubojstva od $0.8$ atmosfera. Bilo je vidljivo da je slupan u trenutku smrti.

"Da barem umjesto barometra imamo altimetar", zaključi inspektor.

"Zašto?" upita pomoćnik Marin.

"Altimetar bi nam otkrio visinu balona u trenutku smrti, pa bismo suzili krug sumnjivih osoba. Ovako, moramo sve ispitati i tko zna koliko će to trajati", zagunđa inspektor.

"Ne mora biti inspektore, evo matematike opet upomoć. Ovaj logaritamski model povezuje visinu i atmosferski tlak. Samo mi očitajte tlak, a ja ću riješiti ostalo."

"Nema problema, ali imam još jedan posao za tebe", reče Bero. "Zaplijeni snimke i pogledaj koji su baloni bili na istoj visini s našim balonom i sortiraj prema visini od najmanje do najveće".

"Ali, inspektore,..." pobuni se Marin.

Marin je iz snimki saznao da su baloni sa slika u jednom trenutku bili na istoj visini sa žrtvinim balonom. Saznao je i da se prvi balon popeo do $1500$ metara, drugi je ostao letjeti na visini od $1700$ metara. Zadnji balon dosegnuo je visinu od $2100\mathrm{m}.$

Upotrijebite Marinovu aplikaciju da iz tlaka pronađete visinu balona u trenutku letačeve smrti. Možete tlak upisati u zelenu kućicu i dobiti ćete visinu balona. Ili pomjerajte zelenu točku na grafu tako da je prva koordinata točke jednaka tlaku. Druga koordinata biti će tada jednaka visini balona.

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Logaritmi se primjenjuju i u matematici.

Gabrielov rog (ili Torricellijeva truba) je figura koju je otkrio Evangelista Torricelli, koja ima beskonačnu površinu, ali konačan volumen. Torricelli (1608. - 1647.) je bio talijanski fizičar i matematičar, najpoznatiji po svojemu izumu barometra. Paradoks je dobio ime po anđelu Gabrijelu, koji svirajući trubu najavljuje Sudnji dan.  

Zanimljivo je to da se površina presjeka (u koordinatnoj ravnini) može izračunati s pomoću formule ​ $P=\frac{2}{\log e}.$

Pogledajte nastanak Gabrielovog roga u sljedećoj animaciji. Možete zaustaviti animaciju u bilo kojem trenutku i dodati koordinatne osi koristeći tipke.